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 算数パズル（穴埋め式）
難易度：★★★
 ボムボム
2008/12/18 21:03
下の式は四つの分数の和が整数になるという式です。
下の◯に、０から９まで10個の整数を一つずつ入れて、等式を完成させてください。 ただし分数は既約分数になるようにしてください。 注）最後の◯◯は積ではなくて、二桁の数字を意味しています。→要はJ＝(A/B) + (C/D) + (E/F) + {G/(10×H+I)}です  解を一つにできれば良かったんですが、残念ながら二つになっちゃいます  （前の三つの分数の入れ替えたものは同一とみなします） どちらか一方でも見つけられたらそれでも正解とします  感服メダルは、他に組がないことを示して頂けると進呈します  （補足）＠12/19 16:10 「既約分数になるように」というよりも「もうすでに既約分数なもの」としたほうが、僕の意図が伝わりやすいかもしれませんので、補足しておきます。 さらにもう少し補足@12/22 22:20 「上の式の◯に数字を当てはめたときに、ちゃんと当てはめたままの形になるようにしてください」 です。詳しくはNo.5をご覧下さい。
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回答募集は終了しました。
ボムボム
分数は既約分数と限定していますので、例えば8/4は約分できるので不可となります
既約分数とは、分母と分子の公約数が1しかないようなものを言います。 そのような組み合わせを他にも探してみてください
「既約分数にしてください」というよりかは「もうすでに既約分数なもの」といったらいいのでしょうか。
例えば4/7はOKですが6/8は不可です。 wikipediaによりますと… 「既約分数」：分母と分子が互いに素 「互いに素」：二つの整数が1と-1以外に共通の約数を持たない これからすると、もう一つパターンが増えるかもしれません…  もう少し皆さんの反応を待ってみます… 
ボムボム
そうですね、これがもう一つのパターンです
きっとfyhさんが来て下さると思っていました  算数・数学が得意（←だと僕が勝手に思い込んでいる）なfyhさんに質問です これ既約分数として認めていいと思いますか？ だとすると３パターンになりますが… 個人的には、「分数」と言ってしまっているので、少し違和感があるんですが… ーーーーーーーーーー 追記に対するコメントは下の方でしております
ボムボム
ご参加ありがとうございます
囁きで正解でございます。きっといはらさんのことですから、ちゃんと絞り込んでおられるのだと思います  絞り込みの過程は年末ですし、お暇があればどうぞ
少しレスを頂いてみましたが、僕の当初の趣旨、分数と言い切ってることなどから、もう少し条件を付け足させて頂きます。
それは、 「上の式の◯に数字を当てはめたときに、ちゃんと当てはめたままの形になるようにしてください」 です。 したがって約分されてしまうような「4/6」とか、例えば「4/1=4」などの分母が1で整数になってしまうものは除外して考えてください。 この中には「0/1」も含まれます。 wikipediaによれば、0は±1のみ互いに素なので、これも当てはまってしまうかもしれません。 これも除外することにします。 簡単に言い換えると 「分母に1はダメ（5/1とか）、0/1とかもやっぱりだめ、約分できるのもダメよ（4/6とか）、割り切れるのも当然ダメよ(9/3とか)」 ですね。 なんか、こう書くと縛りがたくさんあるように見えますね 問題としてどうかとも思いますが、引き続き上記の条件でお考え願います。 「既約分数」という言葉だけでできるだけ纏めたかったのですけどね…  この場合、当初の予定通り、解は二つです。 お考えの皆様、0の位置に注意して考えてみてください
参加者も少ないですし、ちょっとずつヒントのような回答のようなものを進めていきます
まず「0の位置に注意」と書きましたので、0の位置を決めましょう。 上のコメントのように、0/?のような形は認めていませんので、右辺の分子は入りません。 また、一桁の分母に0も当然ですが入りません。 左辺はどうでしょうか？ 右辺は全部0より大きなものの足し算になっているので、当然0より大きくなるはずなので、左辺に0は入りません。 ということは残ったのは一番最後の二桁の分母、ここに入ることになります。 …と書いていてイヤなことに気付きましたが、二桁の分母の十の位に入った場合を考慮すべきかどうかが、あやふやなような… まあここは 「二桁の数字を表します」 「上の式の◯に数字を当てはめたときに、ちゃんと当てはめたままの形になるようにしてください」 という文言から、十の位の0はなしということで。 （実際は議論を進めれば十の位0では当てはまる組み合わせがないことが分かります） ですので、0の位置は最後の二桁の分母の一の位に入ります。 ◯ ◯ ◯ ◯ ◯＝ー＋ー＋ー＋ーー ◯ ◯ ◯ ◯０ とりあえずここまで。 ここから考える場合は「5」の位置に注意してください
さらに考察を進めます
「5」の位置に注意、と書きましたので、次は5の位置について考えてみましょう 既約分数の足し算をした後に、計算結果で分母が消えるのはどういうときでしょうか？ また、分母が消えなくても約分できるようになるとき、どのような数で約分できるのでしょうか？ このことについて考察してみます。 （互いに素とは、公約数が1だけとなるものを意味しています） 「2/15 + 1/6 = 9/30 = 3/10」を例にとってみます。 この計算では分母の公約数3が最後約分できています。 また「1/6 + 1/2 = 4/6 = 2/3」でも公約数2が約分できています。 ところが「1/9 + 1/3 = 4/9」では約分はできません。 詳しい計算は下に書きますが、既約分数の足し算では次のことが言えます。 （１）足し算の後に約分できるとしたら、分母の公約数だけ。「2/15 + 1/6」や「1/6 + 1/2」が当てはまります。 （２）ただし公約数と、もとの分母を公約数で割ったものの間に、さらに1以外の公約数が存在すると、少なくとも分母の最大公約数では約分できない。「1/9 + 1/3」は公約数3で9を割ると 9/3=3 なので、これともとの公約数3が互いに素ではなくなります。 （３）足し算で整数になるのは分母が同じときに限る。右辺を計算していくと、最終的に 1/2+3/2 のようになるということです。 ＜なぜなら…＞ 数式を使って証明します。 A/B+C/D の計算をします。 分母 B,D の最大公約数をMとします。 すると B=Mb, D=Md と書けます。 ここでAとB(=Mb)は互いに素、すなわちAとM、Aとbは互いに素。 同様にCとM、Cとdも互いに素。 bとdも互いに素です。 A/B+C/D=(Ad+Cb)/Mbd ここで Ad+Cb について、Aとd二つともbと互いに素なので、Ad+Cb はbと互いに素になります。 同様に Ad+Cb はdとも互いに素です。 したがって仮に約分できるとするなら、Mの約数しかあり得ません。 つまり約分できるとしたら最大公約数Mの約数、つまり分母B,Dの公約数となります。 ところがもしMとbが互いに素でないとします。 このとき、Mとbの最大公約数をmとして、M=mX, b=mYと書けます（mは1より大きな自然数）。 このときXとYは互いに素です。 すると (Ad+Cb)/Mbd=(Ad+CmY)/(mX*mY*d) となります。 Aは B=Mb=(mX)*(mY) と互いに素なのでAとmは互いに素。 dとB=mYは互いに素なのでdとmも互いに素。 以上より、分子は少なくともmは因数に持ちません。 だから、分母B,Dの最大公約数Mが、b,dのどちらかと互いに素でない場合は、最大公約数では約分できない。 要約すれば、 「約分できるとすれば、最大公約数Mの約数で、bやdと互いに素なものだけ」 とも言い換えられます。 また結局bdが通分しても消えないので、足し算して整数になるときはb=d=1、つまり分母が等しい既約分数の足し算だけ、となります。
長々と書きましたが、結局元に戻ると次のように考察が進められます。
二桁の分数の下一桁は0ですので、二桁の分数の分母は必ず5の因数を持ちます。 したがって、既約分数の足し算で計算していく過程で、この因数5を消さないと最終的には整数にできない、ということが上のことからわかったのです！ なので、どこかで分母に5の既約分数がいないとダメ。 残ったのは全て分母が一桁なので、右辺の分母の一つは5だと分かるのです。 ◯ ◯ ◯ ◯ ◯＝ー＋ー＋ー＋ーー ◯ ◯ ５ ◯０ さてさらに進める場合は、二桁の分母「◯０」の十の位を絞り込みましょう。 残った数字は「12346789」ですが、いくつか不可能なものがすぐに分かりそうですね
では、さらに「◯０」のところを絞り込んでみましょう。
既約分数の足し算の後に約分できるとすれば、分母の公約数だけ、ということなので、例えば「７」が入ってしまうと、「◯/７０」となり、因数７を持ちます。 ところが、他の分数の分母に７を使えなくなるので、この因数７はどうやっても消えない、つまり整数にならないということになります。 したがって「７」は入りません。 同じように他のも見ていきましょう。 「８０」ではどうか？ この場合「A/5+B/80」で因数５が消せたとすると残る分数の形は「?/16」です。 すると、上のコメントの（２）が効いてきます。 残る分数の分母は全て一桁なので、16と公約数を持つ場合は、その公約数は2,4,8のどれかとなりますが、公約数で16を割ったときに残るのが2の倍数なので、互いに素ではないのです。 したがって既約分数の足し算では約分できないことになり、右辺は整数になりません。 同様に「９０」でも「?/18」の形になりますが、因数９を消すことができません。 ということで、残った数字のうち「789」は二桁の分母の十の位には入りません。 残る候補は「12346」です。 一つ一つ見ていく前に、「◯/２０」だけは不可能だとわかります。 なぜなら「A/5+B/20」の計算で因数５が消せたとすると、残る形は「△/4」となります。 ◯ ◯ △ ◯＝ー＋ー＋ー ◯ ◯ ４ 残る分数の分母と４の公約数が２だと、上のコメントの（２）から約分はできません。 また分母が８の分数と足し算すると、逆に８が約分できません。 ということは、必ず分母４となる分数を含んでいないと、最終的に右辺は整数になりません。 ◯ ◯ △ ◯＝ー＋ー＋ー ◯ ４ ４ 分母が４同士を足し算して整数になってしまうなら、分数が一個残るので不適。 ということは分母が４同士で約分して分母が２になる場合しか残らないが、そうすると、残った最後の分数の分母は２ということになるが、二桁の分母に「２０」と使ってしまったのでこれも不適。 すなわち「２０」という形の解は存在しないことが分かります。 以上から二桁の分母「◯０」の十の位は「1346」のどれか、ということになります。 ここまで絞り込んで、あとは地道に一つずつ見ていくだけとなります
まずは二桁が「１０」だったときを見てみましょう。
◯ ◯ ◯ ◯ ◯＝ー＋ー＋ー＋ーー ◯ ◯ ５ １０ 残っている数字は2346789です。 「?/5+?/10」の計算で因数5を除けたとして、できるのは?/2の形になります。 ◯ ◯ △ ◯＝ー＋ー＋ー ◯ ◯ ２ 残り二つの分数の分母の候補を考えてみましょう。 No.7のコメントから、残った二つの分数の足し算でできるのは?/2というように、分母が2でないと最終的に和が整数になりません。 残った数字2346789のどれかを分母にもってきて既約分数同士の足し算をしたときに、計算結果が2になる可能性があるのは「?/3+?/6」だけです。 つまり ◯ ◯ ◯ ◯ ◯＝ー＋ー＋ー＋ーー ３ ６ ５ １０ となります。 残る数字は24789で、6の分子に来るのは互いに素な7だけ。 すると10の分子に来るのは、残った中で互いに素な9しかない。 残る数字は248で「?/5+9/10」の計算で因数5が消えるのは8だけ。 また「?/3+7/6」の計算で因数3が消えるのは4だけ。 つまり右辺は ４ ７ ８ ９ ５ ５ ー＋ー＋ー＋ーー＝ー＋ー＝５ ３ ６ ５ １０ ２ ２ ところが左辺は残った数字の2なので成立しない。 結局二桁のところが「１０」では満たすものはなかった、ということである。
次は二桁のところが「３０」だった場合を見てみます。
◯ ◯ ◯ ◯ ◯＝ー＋ー＋ー＋ーー ◯ ◯ ５ ３０ 残っている数字は1246789です。 「?/5+?/30」の計算で因数5を除けたとして、できるのは「?/6」という形になります。 ◯ ◯ △ ◯＝ー＋ー＋ー ◯ ◯ ６ 上の場合と同じように、残りの分数の分母の候補を考えてみましょう。 No.7のコメントから、残った二つの分数の足し算でできるのは?/6というように、分母が6でないと最終的に和が整数になりません。 残った数字1246789のうち、条件から1は分母には入らないとしています。 残りの246789のどれかを分母にもってきて既約分数同士の足し算をしたときに、計算結果で分母が6になる可能性があるものを探します。 まず結果的に分母が6になるので、少なくとも因数3を持つものが必要です。 これが9だと、No.7のコメントから因数9がそのまま残ってしまうので不適。 したがって一方は6であるはずです。 つまり「?/?+?/6」で分母はそのまま6になる必要があり、もう一方の分母に何が入るかを検討してみます。 9は上で述べたように入らず、7も因数が消えないので無理、8も9と同じ理由から不適です。 残る2と4ですが、No.7のコメントから「?/4+?/6」は因数2が消せないので「?/12」となり、4は不適。 では2ならどうか？ ところが「A/2+B/6」では「(3A+B)/6」となります。 A,Bはともに2と互いに素、つまり奇数なので、分子が偶数になってしまいます。 すなわち「?/6」という形にはならないので、右辺の計算結果はどうやっても整数にはならない、ということがわかります。 すなわち、二桁の分母が「３０」とした場合では満たす解は存在しない、ということがわかりました。
では、次は二桁のところが「６０」だった場合を見てみましょう。
（順番だと４０ですが、実を言うとこちらに解が存在します。なので解のない６０の方を先に、ということで ）◯ ◯ ◯ ◯ ◯＝ー＋ー＋ー＋ーー ◯ ◯ ５ ６０ 残っている数字は1234789です。 「?/5+?/60」の計算で因数5を除けたとして、できるのは「?/12」という形になります。 ◯ ◯ △ ◯＝ー＋ー＋ーー ◯ ◯ １２ 今までと同じように、残りの分数の分母の候補を考えてみましょう。 同様にして、残った二つの分数の足し算でできるのは「?/12」という形であるはずです。 残った数字1234789のうち、条件から1は分母には入らないとしています。 残りの234789で分母が12になる可能性があるものを探します。 まず結果的に分母が12になるので、少なくとも因数3を持つものが必要です。 これが9だと、No.7のコメントから因数9がそのまま残ってしまうので不適。 したがって一方は3であるはずです。 つまり「?/?+?/3」で分母は12になる必要があり、もう一方の分母に何が入るかを検討してみます。 12=3×4なので、因数4も必要です。 このことから、8か4しかありませんが、No.7の考察から8だと分母は24、4だと分母は12となります。 したがって、可能性としては「?/4+?/3=?/12」だけとなります。 ◯ ◯ ◯ ◯ ◯＝ー＋ー＋ー＋ーー ３ ４ ５ ６０ 残る数字は12789です。 60の分子にくるのは互いに素な1か7。 まず1から考えます。 「?/5+1/60=?/12」と因数5が除けるように5の分子を考えると、2か7です。 つまり「2/5+1/60=25/60=5/12」あるいは「7/5+1/60=85/60=17/12」となります。 次に7の場合。 「?/5+7/60=?/12」と因数5が除けるように5の分子を考えると、9しかありません。 つまり「9/5+7/60=115/60=23/12」となります。 以上三通りあるので、それぞれ残りを考えていきます。 ◯ ◯ ２ １ ◯＝ー＋ー＋ー＋ーー （残る数字は７８９） ３ ４ ５ ６０ 「?/3+?/4」の候補としては、「7/3+9/4=55/12」「8/3+7/4=53/12」「8/3+9/4=59/12」です。 これと後ろ二つの計算結果「5/12」を計算して整数になるのは、一番初めだけです。 ところが完成した右辺を計算すると「7/3+9/4+2/5+1/60=5」なので残った数字の8にはならないので不適。 ◯ ◯ ７ １ ◯＝ー＋ー＋ー＋ーー （残る数字は２８９） ３ ４ ５ ６０ この場合4の分子には互いに素な9しか来れません。 9を入れて後ろ三つを計算すると「9/4+7/5+1/60=(135+84+1)/60=11/3」となります。 したがって3の分子に2か8のどちらを入れても右辺を整数にできないので、この場合も解なし。 ◯ ◯ ９ ７ ◯＝ー＋ー＋ー＋ーー （残る数字は１２８） ３ ４ ５ ６０ この場合も4の分子に入るのはただ一つで1だけです。 1を入れて後ろ三つを計算すると「1/4+9/5+7/60=(15+108+7)/60=13/6」となります。 分母が3にならなかったので、この場合も解なし、となります。 以上から二桁の分母が「６０」でも解はありませんでした。 ということで、残ったのは二桁が「４０」となるものだけですね 後はこれを考察することになります。 ◯ ◯ ◯ ◯ ◯＝ー＋ー＋ー＋ーー （残る数字は１２３６７８９） ◯ ◯ ５ ４０ お考え中の方がいらっしゃる場合は、残る二つの分母を考察してみてください。 続きはまた後日に
最後の考察です。
二桁の分母は４０だけが残っています。 これに該当する解を探していきましょう。 ◯ ◯ ◯ ◯ ◯＝ー＋ー＋ー＋ーー （残る数字は１２３６７８９） ◯ ◯ ５ ４０ まず「?/5+?/40」の計算で因数5を除いた場合、残るのは「?/8」という形になります。 ◯ ◯ △ ◯＝ー＋ー＋ー ◯ ◯ ８ 上に書いたように、残りの二つの分母を考えてみましょう。 8=2*2*2なので、因数2以外を持ちません。 もし残りの分数が8以外であれば、残った数字と8との公約数はせいぜい2。 この場合、No.7のコメントから計算結果で分母が消えることはありません。 つまり残りの分母には必ず8が入る必要があります。 すると「?/8+?/8（ただし?は異なる数でもいい）」の計算では、少なくとも因数2は約分されます。 さらに場合によっては因数4や8などが除かれる可能性もあります。 分数が一つ残るので、残った分数と足し算して整数になるには、因数8が除かれてしまうと不適。 因数2が除かれると「?/4」となりますが、すでに4は使っているから残る分数で「?/4」は作れず不適。 したがって、「?/8+?/8」では因数4が除かれて、「?/2」という形になる必要があり、残りの分数は「?/2」であることが分かりました。 ◯ ◯ ◯ ◯ ◯＝ー＋ー＋ー＋ーー （残る数字は１３６７９） ２ ８ ５ ４０ あとはこれで当てはまる組み合わせを探していきます。 まず「?/5+?/40」の組み合わせを考えると 「3/5+1/40=5/8」「9/5+3/40=15/8」「1/5+7/40=3/8」「6/5+7/40=11/8」「7/5+9/40=13/8」 です。 この結果とさらに「?/8」と足し算して「?/2」にできるのは二番目と五番目以外で、四番目は二つあって、 「7/8+5/8=3/2」、「9/8+3/8=3/2」、「1/8+11/8=3/2」「9/8+11/8=5/2」 です。 ここまで絞れたら、あとは一つずつ見ていきましょう。 まず一つ目。 「?=?/2+7/8+3/5+1/40」 残る数字は6と9で、必然的に2の分子には9しか入らず、左辺は6です。 右辺を計算すると「9/2+7/8+3/5+1/40=(180+35+24+1)/40=240/40=6」なので一致していますね。 したがってこれが答えの一つです。 ９ ７ ３ １ （答え１）６＝ー＋ー＋ー＋ーー ２ ８ ５ ４０ 二つ目。 「?=?/2+9/8+1/5+7/40」 残る数字は3と6で、2の分子には必然的に3しか入らず、左辺は6です。 右辺を計算すると「3/2+9/8+1/5+7/40=(60+45+8+7)/40=120/40=3」で左辺の6と一致しません。 この場合の解はなし、ということです。 三つ目。 「?=?/2+1/8+6/5+7/40」 残る数字は3と9で、2の分子にはいずれも入る可能性があります。 右辺の分かっているところを計算すると「3/2」ですので、残りに3と9をどう入れても式は成り立ちません。 この場合も解なし、です。 四つ目。 「?=?/2+9/8+6/5+7/40」 残る数字は1と3で、2の分子にはいずれも入る可能性があります。 右辺を分かっているところを計算すると「5/2」ですので、左辺に3を、2の分子に1を入れると式は成り立ちます。 したがって、もう一つの答えがこれです。 １ ９ ６ ７ （答え２）３＝ー＋ー＋ー＋ーー ２ ８ ５ ４０ 以上、長かったですが、答えが二つ見つかりました。
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