ヒミツ

ヒミツ

題意より、a,b,cいずれも1より大きい。
また、ab-1はcの倍数、bc-1はaの倍数、ca-1はbの倍数である。
さらに、a,b,cは互いに素な関係である。

よって、
(ab-1)(bc-1)(ca-1)はabcの倍数。

(ab-1)(bc-1)(ca-1)＝(abc)^2-abc(a+b+c)+ab+bc+ca-1

(abc)^2-abc(a+b+c)の部分はabcの倍数であることが明らか。
よって残りのab+bc+ca-1もabcの倍数である。

またここで、ab+bc+ca-1≧abcであることが言え、かつa≦b≦cであることから、bc≧ca≧abが言える。
よって3bc-1≧abcとなり、a＜3であることがわかる。
aは1より大きい自然数なので、a=2。
ab+bc+ca-1≧abcに代入して、
2(b+c)+bc-1≧2bc
変形すると、(b-2)(c-2)≦3
b,cは自然数なので(b-2)，(c-2)も自然数。
b≦cなので
(b-2,c-2)=(1,2)または(1,3)
よってb=3,c=4または5
c=4の場合、a=2であるので互いに素にならない。よってc=5。
(a,b,c)＝(2,3,5)を問題の条件に当てはめると、確かに一致する。

よって(a,b,c)＝(2,3,5)

a,b,c（すべて自然数）のどれかが1と等しいと割り切れるので不適。
したがって少なくとも2以上。
さらに a≦b≦c であるが、等号の場合はいずれかがわりきれてしまうので矛盾する。
したがって等号は成立せず、2≦a<b<c である。

条件より
(ab-1) がcの倍数
(bc-1) がaの倍数
(ca-1) がbの倍数
だから (ab-1)(bc-1)(ca-1)=(abc)^2-abc(a+b+c)+ab+bc+ca-1 がabcの倍数。
前二つはabcで割り切れるから (ab+bc+ca-1) がabcの倍数。

したがって
ab+bc+ca-1≧abc
ab+ca-abc≧1-bc
a(b+c-bc)≧1-bc
a(bc-b-c)≦bc-1
ここで bc-b-c=(b-1)(c-1)-1 について
2≦a<b<c より bとcはともに3以上だから (b-1)(c-1)≧4
よってbc-b-c>0

したがって2≦aの両辺にbc-b-c(>0)をかけて
2(bc-b-c)≦a(bc-b-c)≦bc-1
よって
2(bc-b-c)≦(bc-1)
bc-2b-2c+1≦0
(b-2)(c-2)≦3
2<b<c より 1≦(b-2)<(c-2)
したがって (b-2)(c-2)≧2 であるから (b-2)(c-2)=2,3
順にそれぞれ (b,c)=(3,4),(3,5) である。
(b,c)=(3,4) のとき、bc=12 をaで割って余りが1なのでaは11の約数で1,11のどちらか。
a<b より a=1 だがこれは a≧2 に矛盾する。
(b,c)=(3,5) のとき、bc=15 をaで割って余りが1なのでaは14の約数で1,2,7,14のどれか。
2≦a<b=3 なので a=2 のみ。
(a,b,c)=(2,3,5) のとき (bc,ca,ab)=(15,10,6) となり条件を満たす。

答え．(a,b,c)=(2,3,5)

ヒミツ

答え:a=2,b=3,c=5

求め方:
abをcで割った余りは、aの倍数からcの倍数を引いたものなのでa,cの最大公約数の倍数になる。
従ってa,cの最大公約数は1であり、a,cは互いに素。
同様にして、a,b,cのどの2数も互いに素。
a≠1は明らかなので、a>=2,b>=3,c>=4
よってabc>=2bc,abc>=3ac,abc>=4abであり、ab+bc+ca<=abc/2+abc/3+abc/4=abc*13/12
また、ab+bc+caをa,b,cで割った余りはすべて1になるので、ab+bc+ca-1はabcの倍数になる。
よってab+bc+ca>=abc+1>abcであり、abc<ab+bc+ca<=abc*13/12
abcで割ると、1<1/a+1/b+1/c<=13/12
1/a>1/b>1/cなので、1/a>(13/12)/3=13/36>1/3
よってa<3であり、a=2
a=2より、1/2<1/b+1/c<=7/12
1/b>(7/12)/2=7/24>1/4
よってb<4であり、b=3
すると、1/6<1/c<=1/4となるので、c=4,5
c=4のときはa,cが互いに素にならないので不適。
以上より(a,b,c)=(2,3,5)のみが答えになり得ることが分かった。
これは問題の条件を満たしているのでこれが答えである。