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余りが1
難易度:
★★★
コロン
abをcで割った余り、bcをaで割った余り、caをbで割った余りがいずれも1となるような自然数 a,b,c を求めてください。
ただし、a≦b≦c とします。
[追記] できれば求め方も書いてください
【
>>3
>>4
>>6
】
回答募集は終了しました。
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▽
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No.1
ヒミツ
りんだい
意図する解法ではないかもしれませんが
コロン
結論はあっています。
ただ、a,b,c を a≦b≦c を満たす自然数であるとしか与えていないので、
自然数を[
1〜9
]に絞って考えることができる理由を説明する必要があると思います。
▲
△
▽
▼
No.2
ヒミツ
?
?
コロン
正解です^-^
▲
△
▽
▼
No.3
題意より、a,b,cいずれも1より大きい。
また、ab-1はcの倍数、bc-1はaの倍数、ca-1はbの倍数である。
さらに、a,b,cは互いに素な関係である。
よって、
(ab-1)(bc-1)(ca-1)はabcの倍数。
(ab-1)(bc-1)(ca-1)=(abc)^2-abc(a+b+c)+ab+bc+ca-1
(abc)^2-abc(a+b+c)の部分はabcの倍数であることが明らか。
よって残りのab+bc+ca-1もabcの倍数である。
またここで、ab+bc+ca-1≧abcであることが言え、かつa≦b≦cであることから、bc≧ca≧abが言える。
よって3bc-1≧abcとなり、a<3であることがわかる。
aは1より大きい自然数なので、a=2。
ab+bc+ca-1≧abcに代入して、
2(b+c)+bc-1≧2bc
変形すると、(b-2)(c-2)≦3
b,cは自然数なので(b-2),(c-2)も自然数。
b≦cなので
(b-2,c-2)=(1,2)または(1,3)
よってb=3,c=4または5
c=4の場合、a=2であるので互いに素にならない。よってc=5。
(a,b,c)=(2,3,5)を問題の条件に当てはめると、確かに一致する。
よって(a,b,c)=(2,3,5)
風花
すいません。
正解パターンは見つけられたのですが、証明はできませんでした。
なので他サイトでカンニングしました(コラ
コロン
正解です
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No.4
a,b,c(すべて自然数)のどれかが1と等しいと割り切れるので不適。
したがって少なくとも2以上。
さらに a≦b≦c であるが、等号の場合はいずれかがわりきれてしまうので矛盾する。
したがって等号は成立せず、2≦a<b<c である。
条件より
(ab-1) がcの倍数
(bc-1) がaの倍数
(ca-1) がbの倍数
だから (ab-1)(bc-1)(ca-1)=(abc)^2-abc(a+b+c)+ab+bc+ca-1 がabcの倍数。
前二つはabcで割り切れるから (ab+bc+ca-1) がabcの倍数。
したがって
ab+bc+ca-1≧abc
ab+ca-abc≧1-bc
a(b+c-bc)≧1-bc
a(bc-b-c)≦bc-1
ここで bc-b-c=(b-1)(c-1)-1 について
2≦a<b<c より bとcはともに3以上だから (b-1)(c-1)≧4
よってbc-b-c>0
したがって2≦aの両辺にbc-b-c(>0)をかけて
2(bc-b-c)≦a(bc-b-c)≦bc-1
よって
2(bc-b-c)≦(bc-1)
bc-2b-2c+1≦0
(b-2)(c-2)≦3
2<b<c より 1≦(b-2)<(c-2)
したがって (b-2)(c-2)≧2 であるから (b-2)(c-2)=2,3
順にそれぞれ (b,c)=(3,4),(3,5) である。
(b,c)=(3,4) のとき、bc=12 をaで割って余りが1なのでaは11の約数で1,11のどちらか。
a<b より a=1 だがこれは a≧2 に矛盾する。
(b,c)=(3,5) のとき、bc=15 をaで割って余りが1なのでaは14の約数で1,2,7,14のどれか。
2≦a<b=3 なので a=2 のみ。
(a,b,c)=(2,3,5) のとき (bc,ca,ab)=(15,10,6) となり条件を満たす。
答え.(a,b,c)=(2,3,5)
ボムボム
初めまして、こんばんは
これでいかがでしょうか?
不思議ですね〜もっとあってもよさそうですが…
コロン
正解です
確かにもっと組があってもいいような気がしますね。
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No.5
ヒミツ
s
色々パターンがありますね
コロン
>色々パターンがありますね
いえ、実はそれ以外に題意を満たすa,b,c は存在しないのです。
sさんの回答だとその部分の証明が不足していますね。
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No.6
答え:a=2,b=3,c=5
求め方:
abをcで割った余りは、aの倍数からcの倍数を引いたものなのでa,cの最大公約数の倍数になる。
従ってa,cの最大公約数は1であり、a,cは互いに素。
同様にして、a,b,cのどの2数も互いに素。
a≠1は明らかなので、a>=2,b>=3,c>=4
よってabc>=2bc,abc>=3ac,abc>=4abであり、ab+bc+ca<=abc/2+abc/3+abc/4=abc*13/12
また、ab+bc+caをa,b,cで割った余りはすべて1になるので、ab+bc+ca-1はabcの倍数になる。
よってab+bc+ca>=abc+1>abcであり、abc<ab+bc+ca<=abc*13/12
abcで割ると、1<1/a+1/b+1/c<=13/12
1/a>1/b>1/cなので、1/a>(13/12)/3=13/36>1/3
よってa<3であり、a=2
a=2より、1/2<1/b+1/c<=7/12
1/b>(7/12)/2=7/24>1/4
よってb<4であり、b=3
すると、1/6<1/c<=1/4となるので、c=4,5
c=4のときはa,cが互いに素にならないので不適。
以上より(a,b,c)=(2,3,5)のみが答えになり得ることが分かった。
これは問題の条件を満たしているのでこれが答えである。
いはら
なかなか面白い問題でした
コロン
いろいろな解き方がありますね
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No.7
コロン
レスがつかなくなったのでロックします。
解答していただいた方々、ありがとうございました。
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ヒント知らないよ
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りんだい
?
風花
ボムボム
s
いはら
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