なお、解答はレスの形で受け付けます！
不備がありましたらお教えください

この掲示板を楽しませてもらっている、武勇伝で〜す。
でも、こういう系は苦手です・・。
とりあえず５０万ヒット、おめでとうございます。
これからも、よろしくおねがいします

まずは50万Hit、おめでとうございます。
私もこういった問題は苦手ですが、参戦表明です。

１つ、質問させてください。
「タイルコ氏が（自分以外の）全員に何人と挨拶（or握手）をしたか尋ねたところ、どの人も他の人とは異なる人数を答えた。」とありますが・・・
タイルコ氏ご自身の『挨拶or握手した人数』は、他の方と重なっていても良いのでしょうか？

ムズカシイ･･･。
とりあえず途中まで。
たたき台にしてください（爆）。

２人１組で招待されているので，参加者をn組，2n人とする。
挨拶・握手は自分及び自分のパートナーとはしないので，挨拶の相手は最大で2(n-1)人。
タイルコ氏は挨拶の人数を自分以外の全ての人に聞いたので，2n-1人に聞いたことになる。

挨拶は最大で2(n-1)人とまでしかできないので，2n-1人の答えが全部違っていたということは，0人と答えた人から2(n-1)人と答えた人までがそれぞれ一人ずついたということになる。

ここで，0人と答えた人をaさん，そのパートナーをAさんとすると，Aさん以外の人は挨拶できる最大人数が，自分と自分のパートナー及びaさんを除いた2(n-1)-1人となるため，タイルコ氏の質問に2(n-1)人と答えたのはAさんということになる。

以下同様にして，1人と答えた人のパートナーは2(n-1)-1人，2人と答えた人のパートナーは2(n-1)-2人。
というように，パートナー同士の挨拶した人数を足していくと，必ず2(n-1)になる。
(n-1)人と答えた人のパートナーがタイルコ氏であり，タイルコ氏の挨拶した人数も(n-1)人になる。

握手の方も同様に，消えた一組があるため総勢n-1組，2(n-1)人が異なる人数と握手したため，パートナー同士の握手した人数を足すと2(n-2)となるように，0人という答えから2(n-2)人という答えがそれぞれ一人ずついることになる。

ここで，メッセージを残して消えたゲストは，挨拶の人数がタイルコ氏の2倍以上と言っている。
タイルコ氏の挨拶した人数はn-1人，参加者が挨拶できた最大人数は2(n-1)人で，タイルコ氏のちょうど2倍。
よって，消えたゲストは2(n-1)人と挨拶した人である。
消えたパートナーは必然的に，0人と挨拶した人。

で，ここから「タイルコ氏のペアを除いたどのペアにも、挨拶の数と握手の数が同じである人がいる」を手がかりに絞り込んでいくんだと思うのですが。
nは偶数らしいというところまでは考えたのですが，それ以上わかりません。

また，ここまでの考えも正しいのかどうか分かりません

とりあえずそんなところで，私には全体の参加人数が示されないとわからない，というか考えが堂々巡りになっています。

誰か助けて（爆）

>またタイルコ氏のペアを除いたどのペアにも、挨拶の数と握手の数が同じである人がいることが分かった。

これに消えたゲストも該当すれば、消えたゲストの片方は0回と判明しますが、
もう片方は特定できないし・・

該当しなければ、招待人数が特定されてても決まらない気が・・・

なにか条件見落としているかなあ？

>風花さん
「消えたゲストは，挨拶の人数がタイルコ氏の2倍以上」ってどこから出てきたのでしょう?

あ，読み違えてた･･･。
消えたゲストは「相方の倍以上」ですね。
ここを「タイルコ氏の倍以上」だと

考え直してみます。
ご指摘ありがとうございました（汗

指摘を受けて，少し考えを修正。

挨拶の時，タイルコ氏のパートナーはn-1人と挨拶していることになります。
握手の時は，n-2人と握手していることになります。

よって。
n-1人と握手した人は，挨拶はn-1としたわけではない。
つまり握手と挨拶の人数が同じなのはn-1人と握手した人のパートナーの側で，n-3人と挨拶・握手した人。
同様に，n-2人と挨拶した人は，n-2人と握手できてないから，n-2人と挨拶した人のパートナーが，握手と挨拶の人数が同じ。この人はn人と挨拶・握手している。

この連鎖で考えていくと，挨拶・握手が同数の人は，
(n,n+2,n+4,････)及び（n-3,n-5,n-7,･･･）となる。

nが奇数の時，（n-3,n-5,n-7,･･･）は偶数であり，(n,n+2,n+4,････)は奇数。
この場合は，挨拶した人が(1人,2(n-1)-1人)であったペアがいなくなったことになる。（1人と挨拶した人は同数の人数と握手をしておらず，かといってそのペアの者も同数と握手をすることが不可能であるため，存在できない。）

nが偶数の時，（n-3,n-5,n-7,･･･）は奇数であり，(n,n+2,n+4,････)は偶数。
この場合は，挨拶した人が(0人,2(n-1)人)であったペアがいなくなったことになる。（0人と挨拶した人は同数の人数と握手をしておらず，かといってそのペアの者も同数と握手をすることが不可能であるため，存在できない。）


って感じになります？

以下は「どのペアにも挨拶と握手の数が同じという人がいる（消えたペアも含めて）」という前提の下での説です。
まず握手が交わされる時にこのペアは既にいなくなった、そして上の前提を踏まえて考えると手紙を送りつけてきた人の相方の挨拶回数は０回。更に【相方の２倍以上】と断っているのと【どの人も挨拶した回数はそれぞれ違う】と断っているので手紙を送りつけてきた人の挨拶回数は０ではない。だから手紙を送ってきた人の挨拶の回数は必ず０よりも大きいと言える。
ここで、手紙を送ってきた人の相方の挨拶回数は０回、手紙を送った人以外の人は挨拶できる最大人数が自分と自分の相方及び手紙を送った人の相方を除いた２(ｎー１)ー１人となるため，手紙を送った人はタイルコ氏の質問に２(ｎー１)人と答えたのである。(風花さんと同じように２ｎを出席人数、ｎをペア数とします)
ここで、【出席者は２０人以上】と断っているので
「２ｎ≧２０」
ということが言えてここから、
２ｎ−２＝２(ｎ−１)≧１８が言える。
つまりこの前提の下だと手紙を送った人は挨拶を少なくとも１８回はしていてその回数は定かではないが【出席者の数から２を引いた数】であって、故にこの人は自分と自分の相方以外の全ての人に挨拶をした事になります。そしてその相方の挨拶回数は０回。
後は出席人数が定かならば・・・。

５０万ヒットおめでとうございます。
参戦させていただきます。

風花さん、はじめまして。
風花さんの考え方を拝借させていただきます。

挨拶が終わって、握手も基本的に挨拶と同じように行われました。
ただし、挨拶を２（ｎ−１）人（自分と自分のパートナー以外の全員）とした人は、その他のパートナーとも握手せずにもう一方の人（以後、メインと呼びます）とのみ握手して消えました。
そうすると、メインの人の握手数は挨拶数と変わらずに、パートナーの人の数が１ずつ減ります。

そうすると、握手が０人の人が２人になりますが、もう一方はこの盗人の相方なので、人数を数える前に消えました。
これで、状況はなりたつと思うのですが、盗人の挨拶数がはっきり何人といえません。２（ｎ−１）です…

でも、タイルコさんの挨拶した人数の倍ですので、タイルコさんには答えられるのでよし！
じゃ、ダメですか？

わかりましたっ！！
０人〜１億人で！
だめ〜

じゃ数人で・・ うっうう

あとは皆様に・・・

考え直してみたら、私のやり方だとダメかも知れません。

>タイルコ氏のペアを除いたどのペアにも、挨拶の数と握手の数が同じである人がいることが分かった。

の部分を、『タイルコさんのペアは二人とも挨拶の数と握手の数が違う』と捉えると、上の解答にタイルコさんとも握手をしなかったとしなければなりません。
これはこれで良さそうなのですが、挨拶の数と握手の数が二人とも同じペアがいてもいいとすると、２（ｎ−１）の人でなくてもよくなってしまいます…

『盗人は握手にもある程度参加していた』っていうのがこの問題のミソかなと思ったんですが、違うようです。

出直してきます。

-------------------------------------
今までの考えを整理してみました。
長文ですみません。

-----

参加数１０組２０人を例に考えると、挨拶が終わった時点での内訳は以下のようになっています。
便宜上、（Ａ−ａ）ペア〜（Ｊ−ｊ）ペアと表現します。
また、挨拶数の多いほうをメインと呼びアルファベット大文字で、少ないほうをパートナーと呼びアルファベット小文字で表現します。

メイン
Ａ（１８人）：Ｂ，Ｃ，Ｄ，Ｅ，Ｆ，Ｇ，Ｈ，Ｉ，Ｊ，ｂ，ｃ，ｄ，ｅ，ｆ，ｇ，ｈ，ｉ，ｊ
Ｂ（１７人）：Ａ，Ｃ，Ｄ，Ｅ，Ｆ，Ｇ，Ｈ，Ｉ，Ｊ，ｃ，ｄ，ｅ，ｆ，ｇ，ｈ，ｉ，ｊ
Ｃ（１６人）：Ａ，Ｂ，Ｄ，Ｅ，Ｆ，Ｇ，Ｈ，Ｉ，Ｊ，ｄ，ｅ，ｆ，ｇ，ｈ，ｉ，ｊ
Ｄ（１５人）：Ａ，Ｂ，Ｃ，Ｅ，Ｆ，Ｇ，Ｈ，Ｉ，Ｊ，ｅ，ｆ，ｇ，ｈ，ｉ，ｊ
Ｅ（１４人）：Ａ，Ｂ，Ｃ，Ｄ，Ｆ，Ｇ，Ｈ，Ｉ，Ｊ，ｆ，ｇ，ｈ，ｉ，ｊ
Ｆ（１３人）：Ａ，Ｂ，Ｃ，Ｄ，Ｅ，Ｇ，Ｈ，Ｉ，Ｊ，ｇ，ｈ，ｉ，ｊ
Ｇ（１２人）：Ａ，Ｂ，Ｃ，Ｄ，Ｅ，Ｆ，Ｈ，Ｉ，Ｊ，ｈ，ｉ，ｊ
Ｈ（１１人）：Ａ，Ｂ，Ｃ，Ｄ，Ｅ，Ｆ，Ｇ，Ｉ，Ｊ，ｉ，ｊ
Ｉ（１０人）：Ａ，Ｂ，Ｃ，Ｄ，Ｅ，Ｆ，Ｇ，Ｈ，Ｊ，ｊ
Ｊ（　９人）：Ａ，Ｂ，Ｃ，Ｄ，Ｅ，Ｆ，Ｇ，Ｈ，Ｉ←タイルコさん

パートナー
ａ（０人）：
ｂ（１人）：Ａ，
ｃ（２人）：Ａ，Ｂ，
ｄ（３人）：Ａ，Ｂ，Ｃ
ｅ（４人）：Ａ，Ｂ，Ｃ，Ｄ
ｆ（５人）：Ａ，Ｂ，Ｃ，Ｄ，Ｅ
ｇ（６人）：Ａ，Ｂ，Ｃ，Ｄ，Ｅ，Ｆ
ｈ（７人）：Ａ，Ｂ，Ｃ，Ｄ，Ｅ，Ｆ，Ｇ
ｉ（８人）：Ａ，Ｂ，Ｃ，Ｄ，Ｅ，Ｆ，Ｇ，Ｈ
ｊ（９人）：Ａ，Ｂ，Ｃ，Ｄ，Ｅ，Ｆ，Ｇ，Ｈ，Ｉ←タイルコさんの相方

ここで、風花さんが仰っているように、Ｊ−ｊのペアがタイルコさんのペアです。どちらでもいいのですがタイルコさんはＪとします。
二人とも全てのメインの人と挨拶しています。

この後握手が行われるわけですが、誰もいなくならなかったとすると、握手も挨拶と同じ構成になるはずです。

盗人はパートナーの倍以上挨拶をしているので、このケースではＡ〜Ｇの誰かです。（パートナーの挨拶数が（２ｎ−１）÷３人以下のペアになるのかな？）
この表を見ると分かりやすいと思うのでが、Ａ〜Ｇのいづれかのペアが握手に全く参加しなかったとすると、問題文『タイルコ氏のペアを除いたどのペアにも、挨拶の数と握手の数が同じである人がいる・・・�@』が成り立ちません。
このことから、盗人は握手にもある程度参加していたと思われます。（ここがこの問題のミソではないかと考えています。）

上の表を眺めながら握手のパターンを考えてみます。

まず�@から、『タイルコさんのペアは二人とも挨拶と握手の数が違う』と考えます。
これは、『タイルコさんのペアは盗人と握手をしなかったために握手が８人になった。』ということです。
そうすると、ｉとｊの人数が被るのでパートナーの人数を減らしていくことになります。
これは連鎖し、ｂまで人数を減らすことになります。
�@から、ペアの内どちらかは挨拶と握手が同じでなければならないため、メインの人数を変えることは出来ません。

そうすると、例えば以下のようになります。

メイン
Ａ（１８人）：Ｂ，Ｃ，Ｄ，Ｅ，Ｆ，Ｇ，Ｈ，Ｉ，Ｊ，ｂ，ｃ，ｄ，ｅ，ｆ，ｇ，ｈ，ｉ，ｊ←盗人
Ｂ（１７人）：Ａ，Ｃ，Ｄ，Ｅ，Ｆ，Ｇ，Ｈ，Ｉ，Ｊ，ｃ，ｄ，ｅ，ｆ，ｇ，ｈ，ｉ，ｊ
Ｃ（１６人）：Ａ，Ｂ，Ｄ，Ｅ，Ｆ，Ｇ，Ｈ，Ｉ，Ｊ，ｄ，ｅ，ｆ，ｇ，ｈ，ｉ，ｊ
Ｄ（１５人）：Ａ，Ｂ，Ｃ，Ｅ，Ｆ，Ｇ，Ｈ，Ｉ，Ｊ，ｅ，ｆ，ｇ，ｈ，ｉ，ｊ
Ｅ（１４人）：Ａ，Ｂ，Ｃ，Ｄ，Ｆ，Ｇ，Ｈ，Ｉ，Ｊ，ｆ，ｇ，ｈ，ｉ，ｊ
Ｆ（１３人）：Ａ，Ｂ，Ｃ，Ｄ，Ｅ，Ｇ，Ｈ，Ｉ，Ｊ，ｇ，ｈ，ｉ，ｊ
Ｇ（１２人）：Ａ，Ｂ，Ｃ，Ｄ，Ｅ，Ｆ，Ｈ，Ｉ，Ｊ，ｈ，ｉ，ｊ
Ｈ（１１人）：Ａ，Ｂ，Ｃ，Ｄ，Ｅ，Ｆ，Ｇ，Ｉ，Ｊ，ｉ，ｊ
Ｉ（１０人）：Ａ，Ｂ，Ｃ，Ｄ，Ｅ，Ｆ，Ｇ，Ｈ，Ｊ，ｊ
Ｊ（　８人）：Ｂ，Ｃ，Ｄ，Ｅ，Ｆ，Ｇ，Ｈ，Ｉ←タイルコさん

パートナー
ａ（０人）：←盗人の相方
ｂ（０人）：
ｃ（１人）：Ｂ，
ｄ（２人）：Ｂ，Ｃ
ｅ（３人）：Ｂ，Ｃ，Ｄ
ｆ（４人）：Ｂ，Ｃ，Ｄ，Ｅ
ｇ（５人）：Ｂ，Ｃ，Ｄ，Ｅ，Ｆ
ｈ（６人）：Ｂ，Ｃ，Ｄ，Ｅ，Ｆ，Ｇ
ｉ（７人）：Ｂ，Ｃ，Ｄ，Ｅ，Ｆ，Ｇ，Ｈ
ｊ（８人）：Ｂ，Ｃ，Ｄ，Ｅ，Ｆ，Ｇ，Ｈ，Ｉ←タイルコさんの相方

Ａが盗人でＪがタイルコさんになります。
盗人は、メインの人とは挨拶同様に全員と握手した（タイルコさんを除く）が、パートナーとは握手しませんでした。
ａとｂの人数が被っていますが、Ａとａは握手の人数を数えるときには消えているので問題ありません。

・・・

これでヨシヨシと思ったのですが、�@の条件が『挨拶の数と握手の数が二人とも同じペアがいてもいい』と言っているすると、以下のようなパターンも考えられます。

メイン
Ａ（１８人）：Ｂ，Ｃ，Ｄ，Ｅ，Ｆ，Ｇ，Ｈ，Ｉ，Ｊ，ｂ，ｃ，ｄ，ｅ，ｆ，ｇ，ｈ，ｉ，ｊ
Ｂ（１７人）：Ａ，Ｃ，Ｄ，Ｅ，Ｆ，Ｇ，Ｈ，Ｉ，Ｊ，ｃ，ｄ，ｅ，ｆ，ｇ，ｈ，ｉ，ｊ
Ｃ（１６人）：Ａ，Ｂ，Ｄ，Ｅ，Ｆ，Ｇ，Ｈ，Ｉ，Ｊ，ｄ，ｅ，ｆ，ｇ，ｈ，ｉ，ｊ
Ｄ（１５人）：Ａ，Ｂ，Ｃ，Ｅ，Ｆ，Ｇ，Ｈ，Ｉ，Ｊ，ｅ，ｆ，ｇ，ｈ，ｉ，ｊ
Ｅ（１４人）：Ａ，Ｂ，Ｃ，Ｄ，Ｆ，Ｇ，Ｈ，Ｉ，Ｊ，ｆ，ｇ，ｈ，ｉ，ｊ
Ｆ（１３人）：Ａ，Ｂ，Ｃ，Ｄ，Ｅ，Ｇ，Ｈ，Ｉ，Ｊ，ｇ，ｈ，ｉ，ｊ
Ｇ（１２人）：Ａ，Ｂ，Ｃ，Ｄ，Ｅ，Ｆ，Ｈ，Ｉ，Ｊ，ｈ，ｉ，ｊ←盗人
Ｈ（１１人）：Ａ，Ｂ，Ｃ，Ｄ，Ｅ，Ｆ，Ｇ，Ｉ，Ｊ，ｉ，ｊ
Ｉ（１０人）：Ａ，Ｂ，Ｃ，Ｄ，Ｅ，Ｆ，Ｇ，Ｈ，Ｊ，ｊ
Ｊ（　８人）：Ａ，Ｂ，Ｃ，Ｄ，Ｅ，Ｆ，Ｈ，Ｉ←タイルコさん

パートナー
ａ（０人）：
ｂ（１人）：Ａ，
ｃ（２人）：Ａ，Ｂ，
ｄ（３人）：Ａ，Ｂ，Ｃ
ｅ（４人）：Ａ，Ｂ，Ｃ，Ｄ
ｆ（５人）：Ａ，Ｂ，Ｃ，Ｄ，Ｅ
ｇ（６人）：Ａ，Ｂ，Ｃ，Ｄ，Ｅ，Ｆ←盗人の相方
ｈ（６人）：Ａ，Ｂ，Ｃ，Ｄ，Ｅ，Ｆ
ｉ（７人）：Ａ，Ｂ，Ｃ，Ｄ，Ｅ，Ｆ，Ｈ
ｊ（８人）：Ａ，Ｂ，Ｃ，Ｄ，Ｅ，Ｆ，Ｈ，Ｉ←タイルコさんの相方

このケースではＧが盗人となります。
盗人は、メインの人とは挨拶同様に全員と握手した（タイルコさんを除く）が、自分が挨拶したパートナー（ｈｉｊ）とは握手しませんでした。
ｇとｈの人数が被っていますが、Ｇとｇは握手の人数を数えるときには消えているので問題ありません。
このとき、ＡＢＣＤＥＦのペアは二人とも挨拶と握手が同じ数になります。

Ｂ〜Ｆのペアでも同様のことが成り立ちます。

困りました。誰か助けてください。

簡単のため6組と7組の場合で考えてみます。（もっと多くても同様です）

途中経過は飛ばして最終的に以下の組み合わせになります。

6組の場合(偶数ペア)

(1)挨拶 握手
A 10 0 esc(0 0) ・・・犯人ペア
B 9 1 7 1
C 8 2 8 0
D 7 3 5 3
E 6 4 6 2
T 5 5 4 4 ・・・タイルコ氏ペア

(2)
A 10 0 8 0
B 9 1 7 1
C 8 2 esc 　・・・犯人ペア
D 7 3 5 3
E 6 4 6 2
T 5 5 4 4 ・・・タイルコ氏ペア

7組の場合(奇数ペア)

(3)挨拶 握手
A 12 0 10 0
B 11 1 esc 　・・・犯人ペア
C 10 2 8 2
D 9 3 9 1
E 8 4 6 4
F 7 5 7 3
T 6 6 5 5 ・・・タイルコ氏ペア

(4)
A 12 0 10 0
B 11 1 9 1
C 10 2 8 2
D 9 3 esc 　・・・犯人ペア
E 8 4 6 4
F 7 5 7 3
T 6 6 5 5 ・・・タイルコ氏ペア


>またタイルコ氏のペアを除いたどのペアにも、挨拶の数と握手の数が同じである人がいることが分かった。

これに消えたゲストも該当すれば(1)の場合にのみ当てはまるため、
偶数組と特定でき、挨拶の数は、その組数で決まります。

それ以外の場合は、挨拶の数の偶奇が組数と一致することしか分かりません。

タイルコ氏のペアを除いた【どのペア】にも挨拶の数と握手の数が同じである人がいる事が分かった･･･�@と書いてあるので消えたペアもこれに該当する、と考えていたのですが
「犯人ペアは挨拶〜握手をするまでの間に消えた事になる」と書いてあるし
タイルコ氏が握手の回数を訊いた時間は当然握手が交わされた後
そして�@は握手の回数を訊きに回って初めて分かったのだから�@の文にある【どのペア】とはタイルコ氏のペアと犯人ペアを除いた(ｎ−２)組ということになる。
こうなると犯人の相方の挨拶回数は必ずしも０回とは言えなくなる。
ここで、犯人の相方の挨拶回数をｔと置くと、
自分と自分の相方の挨拶回数を足していくと２(ｎ−１)になる事から犯人の挨拶回数は２(ｎ−１)−ｔ回となる。
ここで、犯人の挨拶回数は相方の２倍以上という条件{２(ｎ−１)−ｔ≧２ｔ}と、【ｎ≧１０】という条件があるのでこの二つを満たすｔを探すとｔ＝６というのが条件に該当する。
試しにｔ＝６を代入してみると、
２(ｎ−１)−６≧１２･･･�A
となり、【ｎ≧１０】とちゃんと出て来る。
よって犯人の相方の挨拶回数は６回で犯人の挨拶回数は２(ｎ−１)−６回。
ここで【ｎ≧１０】を変形してｎ＋２≧１２･･･�B
�Bと�Aとを照らし合わせて
２(ｎ−１)−６＝ｎ＋２･･･�C
�Cより、ｎ＝１０･･･�D
�Dより、犯人の挨拶回数は１２回と出ました。
２倍以上と言う事は、当然２倍した物も含まれるので条件に当て嵌まっています。
自信は無い状況です。

私、全然的外れですね…

顔洗って出直してきます。
板汚し、すみませんでした。

これは，頭の体操です。
数学的に（ていうか論理的に？）与えられた条件を操作して解こうとしていることこそ，頭の固い証拠なのかもしれません（何）。

私の基本コンセプトは，REEさんの回答に最も近い，というかあれが私なりの回答の理想形です。
しかし私は，
＞これに消えたゲストも該当すれば
という部分で，問題文中から読みとる限りに於いては，消えたゲストがこれに該当すると捉えるのは不自然に思います。

よって，(1)(2)(3)(4)のどれに当たるのか，判別できません。

しかしひるがえって考えるなら。
仮に消えたゲストが該当するとして。
消えたゲストの相方の挨拶回数が0回と定まったとします。
しかしそれでもなお，nという参加したペア数がわからないと具体的な答えは出てきません。
問題文中に登場する「タイルコ氏」なら知っているだろうから，「タイルコ氏」ならこの条件から答えを出せる，というだけです。

ここ，重要です。「タイルコ氏が知っている（回答者は知らない）情報」を使えばタイルコ氏には答えが分かる，と言うなら，そもそもタイルコ氏は参加者全員に挨拶した人の人数訊いてるんですから，いなくなった人が誰か調べて，その人が何人と挨拶したかを思い出せばいいのです。
それで「タイルコ氏には答えが分かり」ます。


どう？
これ，かなり頭の体操的答えじゃない？

タイルコです。
何日もみれずに申し訳ない
さて、出題してから私も改めて考えてみましたが文章表現などがとても悪かったですね。
大変すいませんでした。（特に「どのペア」ですね）

さて、なかなか顔を出せないので、先に解答をのせてしまいます。

私の用意した答えは、（１２・６）です。陰さんのお答えで正解です。
というかほとんど解説されてしまいまして、ダメ出しまでして頂きましたので、譲ることにします。
もしも、これ以外のパターンもあるようでしたら、私の計算が間違っていますので、お知らせ下さい。
>>13


http://quiz-tairiku.com/logic/q11.html#q51
小人の帽子の問題のようにストーリー性を持たせたかったんですが、ご指摘のように、最初のペア状態と、１組少なくなった環境でのペア状態を問題文の中でどう表そうかというところがうまくいきませんでした。
記念問題ですが、かれこれ２，３年前に管理人のお気楽頭でひねり出したクイズなので、これを機にみなさんにもっとよい問題にアレンジして頂けたらいいなと思っています。
改良のためのご意見くださいね　ではではまた

２(ｎ−１)−ｔ≧２ｔ
ｎ≧１０
この２式だけでは、全然解はしぼれません
n=10のとき、t≦6　つまり、tは0から6までどれでも満たす
nが11以上でもtは複数の値を取れます。

管理人さん、こんばんは。初めまして。私は「私は誰？」です。（←これは問題ではありません）
おつかれさまです。年度末（学期末？）のこの時期、お忙しいでしょう…。

管理人さんの表現（と同じかな？）で（犯人の挨拶回数，犯人の相方の挨拶回数）と表すと…、
最初の人数（犯人ペアが消える前）が…
１０組２０人の場合は（１８，０）、（１６，２）、（１４，４）、（１２，６）のどれかで、
１１組２２人なら（１９，１）、（１７，３）、（１５，５）のどれか。
１２組２４人なら（２２，０）、（２０，２）、（１８，４）、（１６，６）、
１３組２６人なら（２３，１）、（２１，３）、（１９，５）、（１７，７）、
１４組２８人なら（２６，０）、（２４，２）、（２２，４）、（２０，６）、（１８，８）のどれか。

…というように、みなさんが先にお書きになられていますが、組数が増えれば、条件に合う（犯人の挨拶回数，犯人の相方の挨拶回数）の場合の数も増えると思います。
（ただし、組数が奇数・偶数のどちらであるかと、組数を３で割った剰余がいくつであるか（１０組２０人の（１２，６）や１６組３２人で（２０，１０）のように、相方の２倍に等しくなるか２倍より多くなるか）によって、その増加の様子は微妙ですが…。）

「アレンジして…」、「改良のための意見…」というお言葉を受け、僭越ながら…

「少なくとも２０人以上集まった」を変えて「５組１０人集まった」と限定すると、答は（７，１）だけに確定しますが、
ここが、「頭の体操」の掲示板だとすれば、集まった人数の条件を示さずに…

「んっ…？　出席人数がわからないと答は確定しないけど…」と、私たち回答者に思わせて、
実は、犯人ペアが、ご丁寧に「こんな置き手紙」を残したのは、ただの意地悪ではなく、
「答を確定できるような出席人数（５組１０人）だったのかなぁ」と考えさせる問題だ…
…というのも「あり」かなぁと思い…

「当日、会場には少なくとも２０人以上の人が集まった。」の１行を消す。どうでしょうか？

最初の組数（タイルコ氏のペアを含めて）が３組、２組の場合も答は確定しますが…


それとも…（１２，６）に確定するような問題の意味を私が理解できていないのかなぁ…。
（別問「（奇数）＋（偶数）＝（偶数）＋（偶数）」の問題のように…）失礼しました。

★追記…↑この別問、やっと気づきました。気づいた後は迷わずに正解にたどり着くことができました。ふうっ…

ＳＡＮさんありがとうございます！
大変丁寧な解説に感服です

そんな…、もともと他の皆さんのお考えですから。
お忙しい中、お疲れさまでした。失礼いたします。

というわけで問題不備でした。申し訳ありません。
訂正版としてＳＡＮさんのご意見もいただきましたので、もう少し改良していきたいと思います。
中途半端ですが、これで一旦ロックします。