n
Σ k =1/2n(n+1)
k=1

という公式は知ってますか？
証明する方法はありますし、教科書には載ってると思いますが、かなり頻繁に使う式なので公式として覚えて使います。（問題集に近いテキストであれば、式だけ載せて証明法は書いてないでしょうね…。）
これを使うと、

n-1
Σ　k =1/2(n-1){(n-1)+1} =1/2(n-1)n
k=1

というように、元の式のnの部分をn-1で置き換えて出来る式がこれです。

n
Σ k² =1/6n(n+1)(2n+1)
k=1

n
Σ k³ ={1/2n(n+1)}²
k=1

この辺りも同時に覚えておくべき公式です。
もし、公式の証明方法が知りたいという意味なのでしたら…また書きます

丁寧な解説ありがとうございますm(_ _)m
公式については上２つは知ってました 単に代入すればよかったんですね
最後の公式は知りませんでした よければ・・・その式の証明、教えていただけますか？ こちらは時間のある時でかまいませんので。

まず
n-1
Σ k とは、kを1からn-1まで変化させて足していく、つまり
k=1

1 + 2 + 3 + ・・・ + (n-3) + (n-2) + (n-1)　という意味です。

これの計算方法として、

{1 + (n-1)} + {2 + (n-2)} + {3 + (n-3)} + ・・・

と考えます。

1)nが奇数のとき
上の式の{}は (n-1)/2個 あることがわかります。
　　 例えば　n=7 のとき
1 + 2 + ・・・ + (n-2) + (n-1)
　 =1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6
　 ={1+6} + {2+5} + {3+4}
　 　より、{}は (7-1)/2=3個ある。

{}の中はすべて n になることがわかるので

n-1
Σ k = n・(n-1)/2
k-1

2)nが偶数のとき

{1 + (n-1)} + {2 + (n-2)} + {3 + (n-3)} + ・・・

のように考えていくと n/2 の数があまります。
　　例えば n=6 のとき
　　 1 + 2 + ・・・ + (n-2) + (n-1)
　 =1 + 2 + 3 + 4 + 5
　 =(1+5) + (2+4) + 3
となり 3 だけ組が出来ずにあまります。

よって n/2 だけ別に考えると

{1 + (n-1)} + {2 + (n-2)} + {3 + (n-3)} + ・・・ + (n/2)

となります。この式の{}は (n-2)/2個 あるので

n-1
Σ k = n・(n-2)/2 + n/2 = n(n-1)/2
k-1

となり、結局 n が偶数のときも奇数のときも

n-1
Σ k = n(n-1)/2
k-1

となることがわかります。

だから
n-1
2 Σ k
k=1

=2・(1/2)(n-1)n

となります。

教科書的な説明ですが

n⁴-(n-1)⁴=n⁴-(n⁴-4n³+6n²-4n+1)
　　　　　　=4n³-6n²+4n-1
(n-1)⁴-(n-2)⁴=......
.......
2⁴-1⁴=4×2³-6×2²+4×2-1
1⁴-0⁴=4×1³-6×1²+4×1-1

両辺をそれぞれ合計しますと

n⁴=4Σk³-6Σk²+4Σk-Σ1 となります。

4Σk³=n⁴+6Σk²-4Σk+Σ1

これまで判っている計算式から

4Σk³=n⁴+6×(1/6)n(n+1)(2n+1)-4×(1/2)n(n+1)+n
=n⁴+2n³+n²
=｛n(n+1)｝²

ゆえにΣk³=｛n(n+1)/2｝²

Σはk=1からk=nまでの和です。記述がめんどうなので省略しました。

>tmさん、PDJさん
詳しい解説ありがとうございますm(_ _)m

引き伸ばしてもアレなのでロックいたします。
回答いただいたみなさんありがとうございましたm(_ _)m