ピタゴラスの定理（三平方）はＯＫですね？

　（いや、使わんか？　「３：４：５」で思いついただけで…）

たしかに、三平方が浮かびますが、、、、

正三角形の一辺の長さをYとすると、
a= (Y+3+4)/2
b= (Y+4+5)/2
c= (Y+5+3)/2
((√3)/4)Y² =
　　　　√(a*(a-Y)*(a-3)*(a-4)) + √(b*(b-Y)*(b-4)*(b-5)) + √(c*(c-Y)*(c-5)*(c-3))

なる？？

>>3は、ヘロンの公式と正三角形の面積の公式から方程式をつくって求めるってことですね。
僕もはじめにそれが思いつきました。計算はしていませんが・・・
線対称どう使うのでしょうか。

式を展開するだけで夜が明けそう…
いちど作図してみましたが、わかりません＞＜

中学生にヘロンの公式はまずいと思いますがね…。

力づくより、何かエレガントに…

「数学の部屋」で聞いてみます？

う〜ん、もっと難しい答えが返ってきそうな、、大丈夫かな、

きっと、エレガントな解き方が有るんでしょうねぇ、

定規を使えば楽勝!?

この条件だけだとたくさんありそうな気がします。
あ、直感ですから。

ミスった。正三角形でした。

エレガントかどうかは別にしまして・・・

点ＰがそれぞれAB、BC、CAで対称となる用に点Ｑ，Ｒ，Ｓを取る。（線対称）
角QAS＝角RBQ＝角SCR＝120°（正三角形の一角の２倍）
三角形ＱＡＳは頂角120°等辺の長さ３の２等辺三角形⇒面積は長さ３の正三角形と同じ。
線分ＱＳの長さは　３√３
同様にして三角形ＲＢＱ、ＳＣＲを考える。
三角形ＱＲＳは三辺の長さが３√３、４√３、５√３のなるのでこれは角SQR＝90°の直角三角形
六角形　ＡＱＢＲＣＳの面積は三角形ＡＢＣの面積の２倍で
六角形　ＡＱＢＲＣＳ＝三角形ＱＡＳ＋三角形ＲＢＱ＋三角形ＳＣＲ＋三角形ＱＲＳ
　　　　　　　　　　＝９√３／４＋４√３＋２５√３／４＋１８
　　　　　　　　　　＝（２５√３＋３６）／２
∴三角形ＡＢＣ　　　＝（２５√３＋３６）／４

計算間違いはあるかもしれませんが考え方はこれでいいのでは・・・

※やはり計算間違いをしていました。 修正しておきました。

＞角QAS＝角RBQ＝角SCR＝120°（正三角形の一角の２倍）
この辺が怪しいです。
明らかに角QAS＜120°では？

勘違いのため取り消し

＞ＲＥＥさん
　三角形ＡＢＰと三角形ＡＢＱは線分ＡＢで対称になっています。
よって角ＢＡＰ＝角ＢＡＱ
同様に角ＣＡＰ＝角ＣＡＳ
ここで角ＢＡＣ＝角ＢＡＰ＋角ＣＡＰ＝６０°ですから
角ＱＡＳ＝角ＱＡＢ＋角ＢＡＰ＋角ＣＡＰ＋角ＣＡＳ＝６０°＋６０°＝１２０°
になるはずです。

＞ＳＨＩＳＨＩ１ さん
申し訳ありません。
別の角度と勘違いしていました。

おぉ、、すごいですねぇ。
私でも理解できる＾＾
ありがとうございました＾＾