テレビの視聴時間を

月〜金　X（X=分）
土・日　X＋Y（Y=分）

と置くと、一週間の平均は

（7X＋2Y）/7=X＋16

となる。コレを解くと

X＋2/7Y=X＋16
2/7Y=16
2Y=112
Y=56

となる。
また、1月は31日ほどある。よって、本題は

17≦56Z/31≦19(Z=日数)　

となる。コレを解くと

17≦56/31Z
527≦56Z
9*23/56≦Z
Zは整数なので
10≦Z…�@

56/31Z≦19
56Z≦589
Z≦10*29/56
Zは整数なので
Z≦10…�A

となる。�@�Aより、
10≦Z≦10
つまり、Z=10
よって、土・日がどちらも5日無ければならない。

また、1月の日数31日を一週間の7日で割ると4余り3となる。
よって、その余り3日間、29・30・31日に土・日が両方入らなければならない。
なので、31日が日・月曜日だった場合に設問に合う。
そこから逆算し、1日は金・土曜日であれば設問に合う。
それ以外は不適。

よって、解答は金・土曜日。

QED（証明終了）
（↑頭の体操、Q562の「女王の教室」by jabbarさんを見てから使ってみたかったので…