解き方の手順を………

１.その三角形の角度は全部わかりますか？２.求めるべき図形の形はわかりますか？（図に書いてみましょう）
３.三角形内部の面積（どう計算するのが早いか？）、三角形外部の三つの扇形の面積（気づけば計算は簡単）、三角形外部の三つの長方形の面積を計算しましょう。

36+12√3+Π　でいいのですか？？

違います。しかし高１レベルの問題のような気もしますね。内部の面積が違っていると思われます。
補助線などを引いてど真ん中にできた円が通らない小さい三角形の一辺を求めてみましょう。

頑張ってください！

わかりません。高校レベルなんですか？？

内部は相似比でできますね。私が習ったのはだいぶ前ですのでいつかは忘れましたが高校生でもできない人は結構いるのでは？と思います。

しかし、あなたのお答を見る限りではかなりいい線ついてると思います
直角三角形の外側だけの面積はいくつになりましたか？

だごさん、申し訳有りません。もう少し判りやすい解説をして見たいと思います。

1.　先ず底辺６ｃｍ、高さ６√３ｃｍ、斜辺１２ｃｍの三角形を書いてください。
2.　その三角形の各頂点を中心として半径1ｃｍの円を書いてください。
3.　次に各頂点からそれぞれの辺と垂直な線を書いてください。（各２本ずつ）
4.　円と垂線の交点を外側、内側それぞれ結んでください。
5.　元の三角形の内側に小さい三角形と外側に角が円弧になった三角形が出来ています。
　　（ここまでで　だごさんの２．が出来ました）
6.　求める面積は小さい三角形と角の円弧になった三角形の・・・・
7.　面積は（元の三角形の面積−小さい三角形の・・・・）＋元の三角形外部の扇形・・・
　　＋元の三角形の外側の三つの長方形の・・・・　になります。

小さい三角形の面積は相似比で求まりますが、先ずどれでもいいので小さい三角形の
１辺の長さを求めましょう。そうすれば相似形ですので・・・・
　

あら？わかりにくかったですかね(^_^;)
謝るなんてとんでもないです！

でも、たしかにＳＨＩＳＨＩ１さんの方が詳しくてわかりやすいですね！
家庭教師の血が騒ぎ、
マンツーマンの家庭教師感覚になってました(^_^;)

いえいえ　だごさんの説明でも十分判り易いのですが
ただ図に書いたものが微妙に違っているのではないかと思いまして
この問題は図にしっかり書ければ後は補助線の引き方だけの問題だと。

中の三角形のはじ？のところが少し円になっているきがして
よく理解しきれていません・・・
ばかで本当にすいません、、、。

そんなことはありません。
こういう問題は反復です
最初はとっつきにくいかもしれませんが慣れです。
確かにＳＨＩＳＨＩ１さんの言うとおり作図からちょっとムズいかも？
中は丸みは帯びません。
そうですね…………
じゃあ、各辺より内部に１離れている平行線を合計三本引いてみてください。
三本の直線ですから三つ交点ができますよね？
その三つの交点を頂点とする三角形の外側が円の通るところなんです。
丸みを帯びないという直感的に分かりやすい例を………
例えば……直角三角形が□(正方形)だった場合。
円がどこを通るかはわかりますか？
この場合、回←中に最初の正方形より一回り小さい正方形ができます。
これと同じことです。ひとまわり小さい正三角形ができます。

しかしこうなってくると………図を共用できない分、先生に聞いた方が早いですかね？

とりあえず、「どこまで考え付いたか」を示してもらったら、

「そこはこうだよ！」と、的を射たヒントがもらえると思います。

（とりあえず、幅「２」のエンピツで三角形を書いたとして、「芯が円形」だったら、「太い三角形」のうちどこが届かない部分かを考える、かな？

※いざとなれば「数学の部屋」へ（親切な方は作図してくれます）
http://kent.parks.jp/59/otona/bbs.cgi?

自分で「動かしてみる」ことが効果的かも。大根の輪切りなどを…。

このとき、「おでん」のダシ（水分）が大切です。軌跡が分かりやすいでしょう。
（自分で操作する経験が少ないと、なかなかイメージがつかめない人もいます。）