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このクイズの参加者（5人）
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 折れ線→曲線への収束
難易度：★★★
 ふう
2006/09/09 15:23
クイズ投稿が趣旨のクイズ大陸なのに、前回質問のスレッドを立てさせて頂き(Q519)、そこにおいて親切にもＢｏｎｎさんからご返答を頂きました。改めまして御礼申し上げます。
さて、今回も僕の手に負えない問題が出てきましたので、場違いで失礼ですが皆様の御力を貸して頂けたら、と思いスレッドを立てました。 ----- まず線分αＡをとり、ＡからαＡに垂直になるような直線Ｌを引く。 線分αＡ(順番に注意)を定比ａ：ｂに内分する点をβとおき、そのときのαβ＝ａ1、βＡ＝ｂ１とする。もちろんａ１：ｂ１＝ａ：ｂである (もちろん線分の長さです。本当はａ１はａの右下にちょこんと１が書いてあるように表現したいですがご容赦ください) 次にＬ上にＡＢ＝ａ１となるように点Ｂをとり、線分βＢを得る。 線分βＢをａ：ｂに内分する点をγとし、βγ＝ａ２、γＢ＝ｂ２とする。もちろんａ２：ｂ２＝ａ：ｂである。そしてＢと同じ側のＬ上にＢＣ＝ａ２(ただしＣは線分ＡＢ上に無い)となるようにＣをとり、線分γＣを得る。 線分γＣをａ：ｂに内分する点をδとおき、γδ＝ａ３、δＣ＝ｂ３とおく。もちろんａ３：ｂ３＝ａ：ｂである。そしてＢやＣと同じ側のＬ上にＣＤ＝ａ３(ただしＤは線分ＡＣ上にない)となるようにＤをとり、線分δＤを得る。 ： ： このようにして作図していくとき、 ａ/ｂ→0としたときに 折れ線αβγδ…はどんな曲線に近づいていくか。 ----- 今回もどうか寛大な目で見ていただき、この問題を考えていただけると幸いです。
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回答募集は終了しました。
うーん。
収束がどういうのか忘れてしまったのですが、a/b⇒0だと、折れ線は線分αAに収束するのでは無いかと思います・・・ 間違っていたらすいません；；
まささんのおっしゃるとおり、内分比の片方をもう片方より限りなく大きくしたら、点βは点αに近づくと思います。また点γは点βに近づきますが、同時に点βはαに近づいているので結局点γもα点に近づくと思います。
結局全ての点がαへと近づくので、答えは「α上にある点」ということになるような気がします。 間違っていたら申し訳ありませんが･･･。
>>まささん、chemistさん
確かにそれは僕も、a/b＝0のときはα＝β＝γ＝…となると思いますが、極限値はa/b≠0を満たしながら、しかし限りなく０に近づくように、ということであるので、仮説ながら「α、β、γ、…が一致して曲線は形成されない」というようにはならない気がします。 どんなに近づいても後続の点たちが無限に存在するんですよ。
少し計算してみましたが、みなさんと結果は同じです。
α、β、γ、、、をわかりやすいようにα１、α２、α３、、、と呼ぶとします。 また簡単のためα１Aの長さを１とすると、αｎの座標は (b^n/(a+b)^n,a^n/(a+b)^n) と表されることが容易にわかります。 このときa/b→0とすると、α→(1,0)となり定点に近づきます。 というわけで、問題の解答としては「α、β、γ、…が一致して曲線は形成されない」ということで正解だと思います。 なんだか解いていて解答の問い方に違和感を感じる問題ですね、問題に不備等は無いのでしょうか？
>>tricolorさん
やはり曲線は形成されないのでしょうか… 数式的に示されたことで覆らない事実とはいえ、やはり僕の直感的には、α、β、…が一致するために後続の点が集まっていく様子は何かの曲線になると思うんですよね。(もちろんa/b=0にしたときは一致するんでしょうが) 数学の論法を感情で反論してるようで心苦しいのですが、僕は『一致する』意見には納得がいきません。βをαに近づけていく過程で、直線の密度は高まってきますがa/b≠0である限り一致はしないでしょう(もちろん限りなく一致する状態に近づきますが)。 問題の不備について この問いもまた、考え事の最中に思い浮かんだものであり、何かの引用ということではないです。ですので問題の不備はあると思います。 相談した友人には「まず問題がおかしい」と言われましたし… 
>直線の密度は高まってきますがa/b≠0である限り一致はしないでしょう
極限というのはそういうものです。 分かり易い例として1/xのxを無限大に近づけた時を考えると、極限値は0ですが、1/x≠0でもあります。
極限では収束していく途中の状態を調べることは出来ないと思います。問題を変えれば、ふうさんの知りたい物を求める問題になるのではないでしょうか。例えば、「ギリシャ文字で表された無限に存在する点はa/b→0とするときαに収束するが、その間にそれらの点群が描く軌跡を求めよ。」のようなものなどです。
しかし、僕は数学の専門家でもないので、この問題が解けるものなのか、それ以前に数学的に意味のある問題なのかもわかりませんが･･･。
少し横槍を入れます。
私は数学にはあまり明るくないので、 見当違いの事を言っているようであればスルーして下さい。 ふうさんは a/b→0 は 0 に収束するが決して 0 にはならないので、 点αβγ…は同じ座標になることはないと仰っているように見受けられます。 皆さんは a/b→0 は 0 に収束し、極限値は 0 なので 点αβγ…は全ての点はαと一致すると仰っているように見受けられます。 まず、極限値の取り扱いについて差異があり、おそらく皆さんが正しいのだと思います。 ですが a/b = 0 の時の状態は考えるまでもない事で、ふうさんもそんな事が知りたいのではなく、あくまでも限りなく 0 に近い時の曲線の状態を知りたいのだと思います。 もし、そうであるならば、いきなり極限値で考えるのではなく a:b が 1:1, 1:2 … といった数例について考え、その後で曲線を数式化するという手順で進めれば a/bを 0 に近づけた時に折れ線がどのように変化するのかイメージでき、ふうさんの知りたい事が分かると思います。 とりあえず、極限値から一旦離れて考えてみてはいかがでしょう。
>>ふうさん
だいたいふうさんの疑問に思っていることがわかりました。 極限についての感覚で、a/b→0とa/b=0との違いがはっきりしていないのではないでしょうか？ 極限と言うのはある変数をある値に限りなく近づけた（または発散させた）際、元の式ががどんな値に近づくのかと言うことです。 つまり行き着く先を答えることになります。 だからこの問題の場合は先に述べた解答が解になるのです。 ただこれだけでは納得しにくいと思われますので、ふうさんが考えるある曲線を求めてみました。途中までは以前と同じです。 α、β、γ、、、をわかりやすいようにα１、α２、α３、、、と呼ぶとします。 また簡単のためα１Aの長さを１とすると、αｎの座標は (b^n/(a+b)^n,a^n/(a+b)^n) ここで a:b=t:1-t とおくことにより、αnをさらに簡単にします。すると αn (1-t,t^n) となります。さらにx=1-t,y=t^nと媒介変数で表し、yをxの式で表すと。 y=(1-x)^n となり、曲線を表していることになります。 これが見たかった式ではないかと思います。 ただし、ここでこの式はnに依存するためα、β、γ、、、が一つの曲線上には乗らず、a/b→0のときは(1,0)に収束することがわかります。 長々と書きましたが、極限を考えるときは行き着く先を考えることが必要だと言うことです。
>>ＲＥＥさん、chemistさん、Another Worldさん
仰るとおり、僕の極限についての考え方が甘かったことを認知します。 chemistさんの仰った ギリシャ文字で表された無限に存在する点はa/b→0とするときαに収束するが、その間にそれらの点群が描く軌跡を求めよ。 のような問題だったならば、例えば曲線が答えとして出てきたのかも知れませんね。 >>tricolorさん 丁寧なご返答に感謝します。 僕の挙げた題に基づいて"極限"をとって考えるなら、皆さんの仰るとおり『曲線が形成されない』となることを納得いたしました。上でも言いましたが、僕の極限についての考えが甘かったです。 さて、極限に絡んでもうひとつ皆さんに意見を伺いたいことがあります。 ０の０乗(０^０)はどんな値か もちろん ａ^０＝１と定義できるのはａ＞０のときのみで、ａ＝０のときは定義できない というのが正しい答えです。ですがｙ＝ａ＾ｘと表される指数関数のグラフで、ａの値を０に近づけていくと、ｘ＝１の値が０に近づきｘ＝−１の値が無限大に発散していき、グラフはｘ軸の正の部分とｙ軸の正の部分をなぞるようになっていくでしょう。 なので僕は０^０は 正の数または０のうちの任意 となると考えます。
追加で出された質問に関してですが、これはかなり難易度の高い問題です。
y=x^xとしてx→0のときを考えるなら簡単でy→1に収束します。ちょっとした参考書を見れば載っています。 しかし、考えなければならないのは x→0で f→0、g→0なる関数を用意して y=g^fでのx→0の極限を考えなければなりません。 まず両辺の対数をとり、log(y)を主役にします。すると log(y)=f*log(g)となります。さらにこれを log(y)=log(g)/(1/f)とみて、x→0においてロピタルの定理を使うと。 log(y)→-(f/g)*(g'/f')*fとなります。 結局この極限を求める問題に帰着します。ここでf/gが0以外の定数に収束するならg'/f'はその逆数に収束する（ロピタルの定理より）ので最後のf→0がきいてlog(y)→0となりyが1に収束することがわかります。 しかし、f/gが発散もしくは0に収束するときがややこしいのです。(f/g)*(g'/f')が元の条件下で常に定数に収束すると言う証明が必要となります。ここがこの問題の難易度が高いと言ったところです。ここだけはロピタルで一発で求めると言うことはできません。感覚的には成り立ち、常にy→1となりそうなのですが。 ちゃんとした証明を与えようとするなら、大学で数学をきっちり学ぶ必要があるかと思われます。 残念ながらここまでの話で精一杯です。詳しい方のお話があればうれしいのですが
>>tricolorさん
レスありがとうございます。やはり１に収束するのでしょうか。 確かにｙ＝ｘ＾ｘのグラフを描いてみると(描き方がわからないのでグラフ描写ソフトを使いました)ｘ＝０のときの値は１になりました。 ではｙ＝０＾ｘのグラフを描くと、 ｘ＞０ではｙ＝０ ｘ＝０のところだけｙ＝１ となるといっていいのでしょうか。
おそらく１に収束でいいかと思います。
ただ ｙ＝０＾ｘのグラフを描くと、 ｘ＞０ではｙ＝０ ｘ＝０のところだけｙ＝１ ではありません。ｙ＝０＾ｘと言う関数の定義域はx＞０です。 つまり、ｘ＝０ではyの値は存在しません。 |
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