「(2)オペレーターは，このルール[千夜一夜注:(1)のルール]ではプレーヤーにかなり不利になると考え」

モンティホールショーをなぞっているとして、(1)のルールと(2)のルールとの間では、どのような差異が生じるのかについて、まったくわかりません。
同じなのではと。

（1）変えないほうがいい
※ただしディーラーがプレーヤーが外したときに救済してくれるような人なら変えたほうがいい。
例：プレーヤーが子供、ディーラーがお小遣いを上げようとしている父親など

ディーラーは自分が当たりを仕込んでいるのでＡが当たりか外れか知っています。

Ａが外れならそのまま開けて「はい、残念ー」とやればそれまで。

そうしないのは当たっているから

（2）変えたほうがよい

Aが当たり（1/3）：BCが空く確率、それぞれ（ｘ1/2＝1/6）
Bが当たり（1/3）：Cが空く（2/6）
Cが当たり（1/3）：Bが空く（2/6）

つまりBが空いた場合もCが空いた場合も変えたほうが当たる確率が2倍！

（3）変えたほうがいい
ランダムにAを選んでも、意図的に選んでも（2）と変わらないはず

（3）半々の確率で変えたり、変えなかったりすれば当たる確率1/2

※意図的に変えても、変えなくても裏を取られて当たる確率0

※※最初に選ぶ時に意図的にではなく、ランダムで選べば当たる確率は2/3

(1) このルールではもしAが外れだったとすると、
　　ディーラーはプレイヤーがAを宣言したとき、
　　直ちに箱Aを開き中が空であることを示せば確実に勝てます。
　　そのような行動を取らなかったということは逆説的にAが当たりだと類推できます。
　　よって変えないほうが良いです。

(2) Aが空だったときにディーラがBを選ぶ確率をpとします。(0≦p≦1)
　　このときプレイヤーがAを選びディーラーがBを開けたときの、
　　当たりがCである条件付き確率は、
　　1/3/(p/3+1/3)=1/(1+p)≧1/2なので変更して損する可能性はありません。
　　したがって変えるべきです。

(3) 意図的にの解釈に少し悩みましたが、
　　ディーラーはプレイヤーがAを選ぶことを知っている、
　　という風に解釈しました。
　　これは(2)のルールに"プレイヤーは必ずAを選択しなければならない"という制約を、
　　付け加えたゲームと同等であると考えられます。
　　この状況でディーラーが取れる選択肢は以下の４つになります。

(i)Aに当たり券を入れてBを開ける。
(ii)Cに当たり券を入れてBを開ける。
(iii)Aに当たり券を入れてCを開ける。
(iv)Bに当たり券を入れてCを開ける。

　　これらの選択肢に適当に確率を割り振って条件付き分布を考えることは可能ですが、
　　今回の場合はディーラーの確率の振り方によって、
　　プレイヤーが取るべき選択肢が変わってしまい、
　　単一的な戦略を簡単に決めることは出来ません。
　　そこでプレイヤーも変えるか変えないかを確率的に決められるものとし、
　　ディーラーとプレイヤーそれぞれの立場から、
　　効率的な戦略を考えてみることにします。

　　まずはディーラーの戦略ですが、ディーラーとしては、
　　なるべくプレイヤーに勝たせないような戦略を取るとします。
　　ここで次の戦略を考えてみます。

ディーラーは上記の(i)と(ii)の選択肢をそれぞれ1/2の確率で採用する。

　　するとプレイヤーが如何なる手段を用いても勝てる確率は1/2になってしまいます。
　　ディーラーはプレイヤーの勝つ確率を多くても1/2以下に抑えることが出来ます。

　　続いてプレイヤーが採る戦略として次のものを考えます。

箱を変えるか変えないかをそれぞれ1/2の確率で選ぶ。

　　この場合プレイヤーはディーラの戦略によらずに1/2の確率で勝つことが出来ます。
　　プレイヤーは少なくとも勝率を1/2以上にすることが出来て、
　　ディーラーは多くとも勝率を1/2以下にすることが出来るので、
　　お互いに効率的な戦略を取った場合は勝率は1/2になります。
　　プレイヤーは変えるか変えないかを偏りのないコインを投げて決めれば良いです。

(4) 最後の条件に

・プレーヤーが箱Aを選び，ディーラーが箱Cを開けた場合

　　とありますが、これは

・プレーヤーが箱Aを選び，ディーラーが箱Bを開けた場合

　　の誤植だと思うので、そのように解釈して考えます。
　　この場合もディーラーとプレイヤーそれぞれの立場から考えます。
　　まずはディーラの戦略として次のものを考えます。

・Aに当たりは入れない。
・BとCどちらを当たりにするかはそれぞれ1/2の確率で決める。
・プレイヤーがBを選んだ場合はAを開ける。
・プレイヤーがCを選んだ場合は直ちにCを開ける。

　　実はこの場合プレイヤーがこの戦略を知っていたとしても、
　　プレイヤーの勝てる確率は411/800となります。
　　(知らなければ更に勝率を下げられる可能性もある。)
　　そのことを確認していきます。

　　まず制約からプレイヤーがAを選ぶ確率は1/20です。
　　そしてこのとき正解がBならばCを開けざるを得ず、
　　正解がCならばBを開けざるを得ませんが、
　　Aに正解が無いことを知っているプレイヤーは変えれば勝てることを知っています。
　　よってCが開いた場合は変えて勝ちますが、Bが開いた場合は制約に従います。
　　プレイヤーがAを選んだ上で勝つ確率は1/20*{1/2+(1/2)*(11/20)}=31/800です。

　　またプレイヤーがBを選んだ場合Aが開けられますが、
　　プレイヤーが得られる情報は既に知っている、Aは外れという事実のみであり、
　　その後どんな戦略を取っても勝率は1/2です。

　　最後にプレイヤーがCを選んだ場合ですが選択して直ちにCが開かれるので、
　　結局勝率は1/2です。

　　つまり19/20の配分をどのようにしようとプレイヤーが勝てる確率は変わらず、
　　プレイヤーがA以外を選んでかつ勝利する確率は19/20*1/2=19/40となります。

　　よってプレイヤーの戦略によらずに勝率は、31/800+19/40=411/800です。

　　続いてプレイヤーがとる戦略として次のものを考えます。

・プレイヤーはA,B,Cの箱をそれぞれ1/20,411/800,349/800の確率で選ぶ。
・Aを選びCが開かれた場合は選択を変える。
・Bを選びAが開かれた場合
　371/411の確率で選択を変えず40/411の確率で変える。
・Bを選びCが開かれた場合選択を変えない。
・Cを選んだ場合は選択を変えない。

　　このときディーラがプレイヤーの戦略を知っていたとしても、
　　411/800の確率で勝てることを説明します。

　　まずディーラーがAに当たりを入れた場合について考えます。
　　その後プレイヤーがAを選択したらディーラーはCを開けることで、
　　プレイヤーを負けさせることが出来ます。
　　プレイヤーがBを選択した場合はディーラーはCを開けざるを得ず、
　　プレイヤーが勝ちます。
　　プレイヤーがCを選択した場合は直ちに負けとなります。
　　よってこの場合の勝率は1/20*0+411/800*1+349/811*0=411/800です。

　　続いてディーラーがBに当たりを入れた場合です。
　　その後プレイヤーがAを選択した場合、ディーラーはCを開けざるを得ませんが、
　　プレイヤーは選択を変えるので勝つことが出来ます。
　　プレイヤーがBを選択した場合ディーラーとしてはCを選んでも、
　　プレイヤーが選択を変えずに勝ってしまうので、
　　Aを選んで選択を変えてもらえる可能性にかけます。
　　プレイヤーは選択を変えない場合のみ勝てるので勝率は371/411です。
　　プレイヤーがCを選択した場合は直ちに負けます。
　　よって全体の勝率は1/20+411/800*371/411+349*0=411/800です。

　　最後にディーラがCに当たりを入れた場合です。
　　その後プレイヤーがAを選んだ場合はディーラーはBを開けざるを得ませんが、
　　この場合プレイヤーはルール上の制約に従います。
　　プレイヤーが勝つのは選択を変えたときでその確率は11/20です。
　　プレイヤーがBを選んだ場合ディーラーはAを開けざるを得ませんが、
　　プレイヤーは40/411の確率で選択肢を変えて勝ちます。
　　プレイヤーがCを選んだ場合直ちに勝利が確定します。
　　よって全体の勝率は1/20*11/20+411/800*40/411+349/800*1=411/800です。

　　プレイヤーはディーラーの選択によらず勝率を411/800以上に出来ます。
　　それぞれの立場の戦略を合わせて考えると、
　　お互いに効率的にプレイした場合プレイヤーの勝率は411/800です。
　　プレイヤーの戦略としては、

・プレイヤーはA,B,Cの箱をそれぞれ1/20,411/800,349/800の確率で選ぶ。
・Aを選びCが開かれた場合は選択を変える。
・Bを選びAが開かれた場合
　371/411の確率で選択を変えず40/411の確率で変える。
・Bを選びCが開かれた場合選択を変えない。
・Cを選んだ場合は選択を変えない。

とすれば良いです。


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最初の設定ではディーラーの勝率が2/3であまりにもディーラーが有利。
一回目の調整ではプレイヤーの勝率が2/3でプレイヤーがとても有利。
二回目の調整で僅かにプレイヤー有利ながらやっとまともな調整。
過剰なナーフと再調整を繰り返すソシャゲの調整を見ている気分になりました。

(4)ディーラーとプレイヤーそれぞれの立場から考えます。
　　まずはディーラの戦略として次のものを考えます。

・Cに当たりは入れない。
・AとBどちらを当たりにするかはそれぞれ1/2の確率で決める。
・プレイヤーがAまたはBを選んだ場合はCを開ける。
・プレイヤーがCを選んだ場合は直ちにCを開ける。

　　実はこの場合プレイヤーがこの戦略を知っていたとしても、
　　プレイヤーの勝てる確率は1/2となります。
　　(知らなければ更に勝率を下げられる可能性もある。)
　　以下そのことを確認していきます。

　　この場合プレイヤーがCを選んだ場合は確実にプレイヤーが負けます。
　　したがってプレイヤーとしては1/20でAを、19/20でBを選ぶのが最善ですが、
　　いずれの場合もディーラーはCを開けます。
　　このときプレイヤーが得ることのできる情報は既に知っている、
　　Cは外れという事実のみであり、
　　その後どんな戦略を取っても勝率は1/2です
　　よってプレイヤーの戦略によらずに勝率は、1/20*1/2+19/20*1/2=1/2です。

　　続いてプレイヤーがとる戦略として次のものを考えます。

・プレイヤーはA,Bの箱をそれぞれ1/20,19/20の確率で選ぶ。
・Aを選びBが開かれた場合は11/20の確率で選択を変える。
・Bを選んだ場合191/380の確率で選択を変える。

　　このときディーラがプレイヤーの戦略を知っていたとしても、
　　1/2の確率で勝てることを説明します。

　　まずディーラーがAに当たりを入れた場合について考えます。
　　その後プレイヤーがAを選択した場合、
　　プレイヤーが勝つのは選択を変えなかったときですが、
　　そうなる確率は9/20です。
　　またプレイヤーがBを選択した場合プレイヤーが勝つのは、
　　選択を変えたときですがその確率は191/380です。
　　したがってトータルのプレイヤーの勝率は、
　　1/20*9/20+19/20*191/380=1/2です。

　　続いてディーラーがBに当たりを入れた場合です。
　　その後プレイヤーがAを選択した場合、ディーラーはCを開けざるを得ませんが、
　　プレイヤーは制約に従います。
　　プレイヤーは選択を変えると勝つことが出来ますがその確率は11/20です。
　　プレイヤーがBを選択した場合勝つためにはその後選択を変えない必要がありますが、
　　その確率は189/380です。
　　よって全体の勝率は1/20*11/20+19/20*189/380=1/2です。

　　最後にディーラがCに当たりを入れた場合です。
　　その後プレイヤーがAを選んだ場合はディーラーはBを開けざるを得ませんが、
　　プレイヤーは選択を変更すれば勝つことが出来ます。
　　そうなる確率は11/20です。
　　プレイヤーがBを選んだ場合選択を変更した場合のみ勝てますが、
　　その確率は191/380です。
　　よって全体の勝率は1/20*11/20+19/20*191/380=202/400です。
　　もしディーラーがプレイヤーの戦略を知っていればこの場合損するので、
　　Cに当たりを入れるという選択は取らないです。

　　それぞれの立場の戦略を合わせて考えると、
　　お互いに効率的にプレイした場合プレイヤーの勝率は1/2です。
　　プレイヤーの戦略としては、

・プレイヤーはA,Bの箱をそれぞれ1/20,19/20の確率で選ぶ。
・Aを選びBが開かれた場合は11/20の確率で選択を変える。
・Bを選んだ場合191/380の確率で選択を変える。

　　とすれば良いです。

交換したときのプレイヤーの勝率
(0) 1/2
説明不要 ですね
(2) 2/3