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ゲームショー番組問題 レイワ版
難易度:★★★★  
?a2wz0ahz 2022/10/26 21:34
あなたはこのゲームのプレーヤーです.
ゲームでは,ディーラーがあなたにわからないようにA,B,Cの3つの箱のいずれかに当たり券を入れます.
あなたは箱を選び,最終的に選んだ箱が当たりだった場合,ディーラーから賞金100円がもらえます.


(1)あなたはランダムに箱Aを選びました.
すると,ディーラーが箱Bを開けて,当たり券が入っていないことを告げました.
ここで,ディーラーがあなたに「選ぶ箱を変えてもいいですよ」と言いました.

箱を変えた方がいいでしょうか?
それとも変えない方がいいでしょうか?

(2)オペレーターは,このルールではプレーヤーにかなり不利になると考え,あなたとディーラーにルールを変更することを告げました.
新しいルールは,「プレーヤーが最初に箱を選んだ後,ディーラーは選ばれていない箱のうち,当たり券が入っていないものの一つを開けて中身を見せ,プレーヤーに変更する権利を与えなければならない」です.
新しいルールでゲームを開始し,ディーラーが当たり券を入れ,あなたはランダムに箱Aを選びました.
すると,ディーラーが箱Bを開けて,当たり券が入っていないことを告げました.
ここで,ディーラーがあなたに「選ぶ箱を変えてもいいですよ」と言いました.

箱を変えた方がいいでしょうか?
それとも変えない方がいいでしょうか?

(3)ゲームは(2)と同じルールで開始し,ディーラーが当たり券を入れ,あなたは意図的に箱Aを選びました.
すると,ディーラーが箱Bを開けて,当たり券が入っていないことを告げました.
ここで,ディーラーがあなたに「選ぶ箱を変えてもいいですよ」と言いました.

箱を変えた方がいいでしょうか?
それとも変えない方がいいでしょうか?

(4)オペレーターは,ディーラーがかなり不利になったと感じ,あなたとディーラーに再びルールを変更することを告げました.
新しいルールは次の通りです.
・プレーヤーは最初に箱を選ぶとき,1/20の確率で箱Aを選び,残りの確率で他の箱を選ばなければならない.
・プレーヤーが最初に箱AかBを選んだとき,ディーラーは選ばれていない箱のうち,当たり券が入っていないものの一つを開けて中身を見せて,プレーヤーに変更する権利を与えなければならない.
・プレーヤーが箱Aを選び,ディーラーが箱Cを開けた場合,プレーヤーは11/20の確率で箱CBに変更し,残りの確率でそのまま箱Aを選ばなければならない.

新しいルールで,ゲームが始まりました.
あなたはどのような戦略をとるべきでしょうか?

(ディーラーは,あなたが意図的に行動した場合はあなたの行動を事前に推測でき,ランダム(確率的)に行動した場合は確率の分布を推測できますが,結果の行動は確率的にしか推測できないと仮定します.)

理由も含めてお答えください.

logiさんにご指摘いただき問題の間違いを修正しました.((4)C→B)

ディーラーは,プレイヤーが最終的に当たりの箱を選ぶ確率が低くなるように行動するものとします.問題では,「ディーラーから賞金100円がもらえます」と書きましたが,厳密にはこれだけではあいまいさが残ります.レイワ版ではゼロサムゲームでお考え下さい.
Answer(1)
変えない方がいい.

ディーラーの戦略として,最初に選んだ箱が当たった場合のみ,他の箱を1つ開けて「箱を変えてもいい」と告げたとします.
この場合,どのような戦略をとっても,あなたが当たりの箱を選ぶ確率は1/3以下になります.
どんな戦略をとっても,ディーラーが最適な戦略を選ぶ限り,当たる確率が1/3より大きくなることはありませんので,「選ぶ箱を変えない」という戦略は,当たる確率が1/3であることから,最適な戦略であると言えます.

(2)
変えた方がいい.

最初にランダムに選んで箱を変えない戦略は,当たる確率が1/3,最初にランダムに選んで箱を変える戦略は,当たる確率が2/3です.

(3)
1/2の確率で箱を変えるかどうか,例えばコインを投げて決める.

これにより,ディーラーがどのように当たり券を入れる箱を決めるかに関係なく,1/2の確率で当たり券を引くことができます.

(4)
・19/20の確率で箱Bを選ぶ.
・あなたが箱Bを選んでディーラーが箱Cを開けた場合のみ,191/380の確率で箱Aに変更し,189/380の確率で変更しない.
それ以外の場合,1/2の確率で変更するかしないかを決める.

ディーラーがどのような戦略をとっても,1/2以上の確率で当たり券を引くことができます.
説明:
1-1-1. ディーラーが箱Aに当たり券を入れ,あなたが最初に箱Aを選び,ディーラーが箱Bを開けるという条件の下で,あなたが当たる確率は,1/2.
1-1-2. ディーラーが箱Aに当たり券を入れ,あなたが最初に箱Aを選び,ディーラーが箱Cを開けるという条件の下で,あなたが当たる確率は,9/20.
1-1. 1-1-1と1-1-2より,ディーラーが箱Aに当たり券を入れ,あなたが最初に箱Aを選ぶという条件の下で,あなたが当たる確率は,9/20以上.
1-2. ディーラーが箱Aに当たり券を入れ,あなたが最初に箱Bを選び,ディーラーが箱Cを開けるという条件の下で,あなたが当たる確率は,191/380.
1. 1-1と1-2より,ディーラーが箱Aに当たり券を入れるという条件の下で,あなたが当たる確率は,
1/20×9/20 + 19/20×191/380 = 1/2以上.
2-1-1. ディーラーが箱Bに当たり券を入れ,あなたが最初に箱Bを選び,ディーラーが箱Aを開けるという条件の下で,あなたが当たる確率は,1/2.
2-1-2. ディーラーが箱Bに当たり券を入れ,あなたが最初に箱Bを選び,ディーラーが箱Cを開けるという条件の下で,あなたが当たる確率は,189/380.
2-1. 2-1-1と2-1-2より,ディーラーが箱Bに当たり券を入れ,あなたが最初に箱Bを選ぶという条件の下で,あなたが当たる確率は,189/380以上.
2-2. ディーラーが箱Bに当たり券を入れ,あなたが最初に箱Aを選び,ディーラーが箱Cを開けるという条件の下で,あなたが当たる確率は,11/20.
2. 2-1と2-2より,ディーラーが箱Bに当たり券を入れるという条件の下で,あなたが当たる確率は,
19/20×189/380 + 1/20×11/20 = 1/2以上.
3. ディーラーが箱Cに当たり券を入れるという条件の下で,あなたが当たる確率は,1/2.
1,2,3より,あなたが当たる確率は1/2以上.
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解答が公開されました。引き続きコメントできます。

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