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 ４つの４は贅沢だ
難易度：★★★
 千夜一夜
2022/08/30 22:35
「４つの４」という有名なパズルがあります。
たとえば、 《４つの４を使って１０を作れ》 という課題については、 ・ (44-4)/4 ・ √4+√4+√4+4 など、いくつかの解があります。 巷間では「４つの４」のルールについてはさまざまなバリエーションがありますけれども…… 今回は「２つの４」と題して、次のルールを使うことといたします。 ①数字として「4」を必ず2個使う。他の数字は不可。 44はアリ…（だけどそのあとなんともなりません） ②使える記号は以下のもののなかから【のみ】にて、 適宜、取捨選択することといたします。 加算記号 + 減算記号 - 乗算記号 * 除算記号 / 小数点記号 . 冪乗記号 ^ 平方根記号 √ 階乗記号 ! 括弧 ( ) ◆凡例◆ 普通は 6=3×2 ですが今回は 6=3*2 とします。 普通は 2=6÷3 ですが今回は 2=6/3 とします。 8=2*2*2 ですが冪乗記号を使って 8=2^3 とします。 階乗記号については、必要に応じてwikipediaをご参照願います。 24=4*3*2*1=4! など。 ■問題 「２つの４」のルールで、11 となる数式を作ってください。 《２つの４を使って１１を作れ》 ということですね。 《４つの４》なんて贅沢、《２つの４》でいいんじゃね！？ というオハナシです。 さっき教わって腰を抜かしましたので、速攻、皆様にシェアいたす次第です 追記（8/31 18:40） 個人的に妄想中ですけれども、４つも４を使えるとなると なんなら《４つの３》でもいいですけれど 上記ルールの②の範囲で記号を使うこととして 原理的には任意の有理数が表現できるかも……スゲー…… 実際に書き下すのはほぼ無理な場合が多いのですけれども 追記（8/31 23:13） これではヒントにはなりませんが御参考までに。 ■御参考 The Definitive Four Fours Answer Key : David A. Wheeler : 28 June 2002 ( https://dwheeler.com/fourfours/fourfours.pdf ) このPDFでは、「４つの４」で、１から４万まで表記しています。
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回答募集は終了しました。
以前、調べたところ多重階乗というのがあるのことを知りました。
階乗記号を多重に使います。 面白かったのでご紹介いたします。 多重階乗の定義をキッチリ示すことは難しいのですけれど 下記のように普通の階乗と多重階乗とを並べれば 意味を飲み込んでいただけることかと思います。 4!=4*3*2*1 普通の階乗 4!!=4*2 4!!!=4*1 4!!!! 定義されません。 9!=9*8*7*6*5*4*3*2*1 普通の階乗 9!!=9*7*5*3*1 9!!!=9*6*3 9!!!!=9*5*1 9!!!!!=9*4 9!!!!!!=9*3 9!!!!!!!=9*2 9!!!!!!!!=9*1 9!!!!!!!!! 定義されません。 普通の階乗は１づつ減らしながら掛けていきます。 多重階乗は、！の数だけ、減らしながら掛けていきます。 9!!!=9*6*3 は３重階乗ですので、３づつ減らして掛けていきます。 ３から３を減らすと１より小さくなるので 減らして掛けるのはここでやめてしまいます。 9!!!!!=9*4 は５重階乗ですので、５づつ減らして掛けていきます。 ４から５を減らすと１より小さくなるので 減らして掛けるのはここでやめてしまいます。 以上で多重階乗の意味合いをご案内いたしました。
「下位階乗」
というのもあるのですね。 英語で言うと subfactorial です。 順列組合せのジャンルで使われるようです。 下位階乗を示す記号には階乗記号が使われるのですが、 なんと、 数字の左側に！をつけるのです。 たとえば、 !7 のように。 下位階乗についてのわかりやすいサイトは なかなかみつけられませんでした。 下記のサイトは英文ですが役に立つかもしれません。 SubFactorial !n Calculator - Online Derangement Finder https://www.dcode.fr/subfactorial 実は、数の左側に！をつけることを左階乗と呼ぶのですが、 残念なことに左階乗には二種類の定義があります。 片方は既に今回ご案内した下位階乗の別名です。 もう片方は… 0!=1 という約束のもとで、 !6=5!+4!+3!+2!+1!+0! のように定義されるようです。 何の役に立つのやら、今回は調べきれませんでした。 
千夜一夜
一部に全角文字が入っていましたので自動判定に失敗してしまっておりました。
正解！ ※御提示頂いた解は実は出題時には気がついていなかった別解であります。 てへぺろ。 >>1 や >>2 の周辺をうろついていたら、だんだんと 冷や汗が（笑） ええと、想定解ですと、４が２つもあれば、ほとんど全ての整数を表現できる、汎用性があるのです。 そこに腰を抜かしました… 追記：：： ヒントと言うより答えのような はい、想定解についても同様です。
①数字として「4」を必ず2個使う。他の数字は不可。 この「２つの４」のルールでもって、さきほど、 22/7 の値となる数式をみつけました。 出題当初は、任意の有理数を表すためには「４つの４」が必要と 考えておりましたし、ここまででもその旨を書いてきました。 実際にはどうやら４つも４を使うのは贅沢で 「２つの４」でも十分なようです……おそらく。 ヒミツ
二重階乗は見たことがありますが，多重階乗というのは初めて教わりました．
ありがとうございました． （ただ，ネット上で定義などを見ますと，4!!!!!!! = 4などと，「!」の数が数字以上の場合は，その数として定義しているものが多いようです） !nは見たことがありました． 完全順列の総数ですね． 私は「名刺順列」と習ったのですが，ネットで検索してもヒット数がかなり少ないです…… 想定解狙いですが，いかがでしょうか？ 
千夜一夜
想定解狙いとして正しい方向に向いていらっしゃいます。  （私の勘違いかもしれませんが何度計算しても） 11 ではなくて 5.5 になっている気がいたします。 私の不手際でしたら御免なさい。 ヒミツ
No.5「（判定は待っててね）」と出てるので，想定解は外してしまったのかと
 工夫して，少し短くしてみました． 下手な鉄砲も…… 
千夜一夜
1.83333333 になっている気がいたします。 >>8 に囁かれていた解説を拝見して、 私の計算が間違っていたことに気がつきました。 大変に失礼いたしました。 御指摘をまことに有り難うございました。 ということで 正解！ いやあ素晴らしいです。 短縮の技巧に参りました。 感服です。 ※でも想定解は、もっと短いです。 
千夜一夜
ナスなのに芯を喰っています(≧∇≦) 実際のナスに芯があるはずもありませんが。 ヒミツ
すみません．
No.5の方ですが，開いて確認してみますと，間違っていたようで，確かに5.5になりました  修正したものに途中式を入れて囁いています． No.6の方ですが，途中式を書きましたので，見ていただけますでしょうか？ お手数おかけします 
千夜一夜
No.6 についての途中計算式を有り難うございました。
この式の分子にある６のファクターを見落とす私の事故でした。なんたること。 >>6 に反映しておきます。 No.4改 11 になることを確認させていただきました。 正解! …… a2wz0ahzさんの解は 有理数解の式を立てて約分なさっていらっしゃいます。分母に複雑な１の素因数をたてて。 シンプルに整数解の式のほうにもっていけたならば、11に関する限り、もっと短くなりますよ。 分母を整理するです。 でも 22/7 とかその気になればすぐに作れる式ですから 趣向としてはa2wz0ahzさんによるこちらの式が 汎用性の意味で優れていますね。 1. Two 4sが大事なところを抑えています．
４ ４ ／！ ／！ ！ ！ ！ ！ ！ ！ ！ ！ －－－ －－－ 2. 数式処理システムに11と言わせてみたかった． https://www.wolframcloud.com/obj/4f7513ad-4a08-450b-a3b1-2f8811455540 3. (-1)を省略して(-)と表す流儀があったような気がします…… 4-(-)-(-)-(-)-(-)-(-)-(-)-(-)-(-)-(-)-(-)-(-)-4
反則技特集（？）
 少しでも，どれか一つでも，「好きかも」と思っていただくことがあればうれしいです
千夜一夜
すんっごいですね～～～
すんっごいですね～～～ すんっごいですね～～～ (-) := -1 って、記号だけで任意の整数を構築できるんですね。 11= -(-)-(-)-(-)-(-)-(-)-(-)-(-)-(-)-(-)-(-)-(-) ということは 11=44/(-(-)-(-)-(-)-(-)) ですね、短いので勝ち【何が！？】
千夜一夜
正解！ No.3 のyoshidaさんによる解と同巧です。 出題時にはこんなシンプルな別解があるだなんて 全く気がついておりませんでした。 （11にしなければよかったと思ったのです） ――― No.4改をもっと短くした マークⅢ を書きくだしてみたくありませんでしょうか！？ 
千夜一夜
正解！
a2wz0ahz さん、 何度も想定解探しのチャレンジを有り難うございました。 これが想定解でございました。 意外とスッキリではなかったでしょうか。
皆様へ
私の、かってに君へのセットが不調だったような気もいたします。 最善を尽くしております。 ―― Annさん。 正解! かってに君で正解していらっしゃいました。 ――― おまけ 下位階乗、左階乗、多重階乗を使用せずに 「４つの４」で 33 を作るの、私には超超超難解でありました…… 「４つの４」で、円周率になる式を見たときの筆舌に尽くしがたい恐怖を未だに忘れられません。 （大学理系初年度程度の数学知識が必要です） ↓畏怖のアレです https://ja.numberempire.com/expressioncalculator.php?function=%28sqrt%284%29%2A%28sqrt%284%29%2F4%29%21%29%5E%28sqrt%284%29%29&result_type=number なお、 sqrt(･)は squareroot すなわち平方根でして、 √(･) のことです。 ヒミツ
「4つの4でπ」はやったことがありますが、
「4つの4でｅ」に挑戦した知り合いがいます。 6年前の年賀状で「4つの4で2016」という問題が飛び交ったという噂 
千夜一夜
正解！ 「4つの4でｅ」に挑戦した知り合いがいます。 「4つの4でｅ」に答えがあるのでしょうか…… ビックリですね！！ 「左階乗」を上手に使うと(いやまって極限操作が必要…) １/ｅ にかかわる値が取れるかも。
通りすがりさんのを見て挑戦してみました
 https://www.wolframalpha.com/input?i=%E2%88%9A%E2%88%9A%28%28-subfactorial%28%E2%88%9A4%29%29%5E%28-%E2%88%9A%28-%28%28%E2%88%9A4%2F4%29%21%29%5E%28-4%29%29%29%29&lang=ja
千夜一夜
√√((-!(√4))^(-√(-((√4/4)!)^(-4))))
ほえ！？ 人類はまたもや、天空に届かんとする巨大な大伽藍に金の釘を１本打ち付けましたか……
Google検索に
√(√((-1)^(-√(-(((√(4) / 4) !)^(-4)))))) をいれて計算させると 2.71828183 になりますね。 下位階乗を使うと1=!2=!(√(4)) なので… という検算もしておいて。 e^(i*π) +1 = 0 というオイラーの等式から出発して変形していくと冒頭の式にたどりつくのですね。 ただし、途中で、 (1/2)! とは何かについて知らなくてはいけませんけれども。 いやあ、素晴らしい！！！
あっ、(1/2)!をそのままべきの中に放り込む手があったか
ただ、 認められていたら113が未解決問題にならないので 左階乗のような「4単独から1を出せる記号」は公認されてないと思います。 
千夜一夜
はい。そうですねえ。
"Four fours" を en.wikipedia で検索いたしますと、 subfactorial (つまり、!n)を許容するルールの variant もございますのでして、 ご勘弁をば頂戴いたしたく存じます。 1 の値の 黄金比進表現のうち、無限小数になるのが１個、有限小数になるのが可算無限個あるのをついさっき知りまして、ネット徘徊はやめられないなあとあらためて感じております。 適切な p をとれば、1のp進表現が非可算無限個あるとも記載があり、 もうね、(丿￣ο￣)丿 であります。 |
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