「任意の整数」なら聞いたことがあります。

有理数となると、m/n　(m、nは整数)と表せるということですから、4を2つで任意の整数mをつくり、あとの2つで任意の整数nをつくるというような状況になりますので、できないと思います。

整数についても、聞いたことがあると書きましたが、たとえば、10^100000000000000000000000000とかたまに発見されるすごく大きな素数なんて作れるわけがないと思ってます。

４という決められた整数を決められた数使うという厳しい条件で、まず、有理数をあらわすには、微積分を使えばほぼ無限の有理数を表す事は何とかなると思います。ただ、無限大や無限小という有理数の近傍にある有理数を表すには、「∞」が必要になります。
ここで、「∞」は記号ですからこれを記号として使って無限の有理数を表す事は不可能ではないと思われます。
ただ、表せるのは無限の有理数でも、任意の有理数を表す事はできないと思います。
それから「式」が、ｎとか任意の数で任意の数を表す事はありますが、特定の数で任意の数を表す事ができる「式」が存在すると、「式」そのものが意味を成さなくなります。「特定」と「無限」と関連できても「任意」は性質上異なるものなので、同じ式の中で性質の異なるものを表す事はできないと思われます。
できたとしても、それは「式」という理屈ではなく「理屈では言い表せない考え方」でしょう。
ただ、無理数と「∞」を使えば何とかなるとは思いますが、そこまで考えると「関数記号や演算記号で工夫」の範囲ではないと思われます。

クリプキ を使ってもいいのかな

負の有理数は正の有理数に符号をつければいいので、非負の有理数について考えればよいですね。
任意の非負の有理数はn/m（ただし、nは非負整数,mは正整数）と書けます。
さて、n個の√を入れ子状に並べて√････√４とすると、これは4^(1/2^n)になりますので、
これの対数をとると、
log(√････√４)=(1/2^n)log4になります。従って
(*)　log(log(√････√４)/log4)=log(1/2^n)=-nlog2
になります。
左辺では４を2回しか使っていません。
同様にm個の√を用いて、
　log(log(√････√４)/log4)=log(1/2^m)=-mlog2
になりますので、
(*)を で割ればn/mを表す式ができます。

n,mとか使っていいのなら単に、
(4n/4)/(4m/4) n:整数,m:自然数
でいいのでは？(求められてる回答とは程遠いでしょうが・・・)

まずは表すことが可能なのかを議論すべきでしょう。なぜ4を4つ使って任意の有理数を表せると思ったのかその根拠が気になります。

有理数の作り方(整数環の商体をとる)を問っているのならまたそれは別の問題でしょうが。

「4を4回と四則、()などの記号を使って1から10までの数を表せ」というのは聞いたことはあります。

お答えありがとうございます。
私の考えていた答えは、Isacさんの回答に近いもので、
対数と「√」の個数を操作して分数を作るものです。

表したい数によって「√」の個数が変わるため特定の「式」とは言えないので、出題文がアンフェアだったかもしれません。

＃どのように書けばよいかわからなかったのです。わかりにくくってすいません･･･。
＃このような問題の場合、題意のわかりやすい記述（出題）の文章ってどんな感じになるのでしょうか･･･。

ひとまずは、Isacさんのを「正解」とさせていただきます。
私の考えてた答えは、Isacさんのとも少し異なるのですが、紹介はもう少し後で。

えーと，週も明けましたので，私の考えていた答えを紹介します。

√√√√√････√４（√がn個）は，2^nすれば４になります。
つまりlog[√√√√√････√4]4=2^nです。

ところで，log[2^n]2^m=m/nです。
よってlog[(log[√√√√√････√4]4)](log[√√√√√････√4]4)=m/n
となります。（底になっている対数の底は√がn個，真数になっている対数の底は√がm個）
負の数にするときは，全体にマイナスの符号をつけてもいいですし，真数に使ってる方の対数の，底と真数を入れ替えるのでも出来ます。
真数が，log[4]√√√√√････√4=1/(2^m)=2^(-m)となり，全体では-m/nになります。
いずれにしても，これで４が４つです。

ご意見，批判などがあればお願いします。
今後の参考にします。

今週末くらいにはロックしようと思います。
初出題で拙かったと思いますが，回答ありがとうございました。