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 1円かつ2円な期待金額
難易度：★★
 a2wz0ahz
2020/11/09 04:34
a2wz0ahzです．
ちひろさんの問題（http://quiz-tairiku.com/q.cgi?mode=view&no=19797）に触発されました． リスペクトを込めていろいろとちひろさんのに寄せました． （パクリって言わないで  ）ちひろさんの問題の邪魔にはならないようにしたつもりですが……  要約すると「直線を2つに分けてそれぞれを平行移動するとほぼ元の直線2つ分になる」という話です． 《問題》 問題の考えが正しくないなら間違い始めた部分を①～⑭で，正しいなら「正しい」と囁くと，正解のときにかってに君が反応します．
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解答判定ワード
回答募集は終了しました。
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間違い始めたのは①から。
(もしくは⑨から。) 実数全体から無作為に数を選ぶことはできない。 (正確には、平行移動によって不変な確率分布を与えることができない。) 「平行移動によって不変な確率分布を与える」なら、①から正しくない。 「平行移動によって不変でなくてよい確率分布を与える」なら、0未満を選択する確率と0以上を選択する確率が等しくなる確率分布は存在するので⑥まではまだ正しくできるが、⑨から正しくない。 ⑧の「-n以上」は「n以上」の書き間違いでしょうか？ 要約の通り、「確率分布」を「体積要素の分布」と対応させれば、「長さ無限で体積1の棒を切って平行移動させるとほぼ元の棒2つ分になる」という話になりますね。 ①にあたる「棒の準備」から正しくない議論になります。 さらに「平行移動」を「回転移動」に対応させれば、「1かつ2な体積2」の話になります。 移動で近くに戻って来れるという性質から、体積を有限にできて「図形の準備」での間違いを回避できるようになります。 移動で近くに戻って来てしまうという性質から、「右に伸びた棒」に対応する「ドーナツのパーツ」が体積を定義できない図形になってしまいます。 この問題のおかげで、Banach-Tarskiのパラドックス周辺の話がしやすくなって助かります！ 
リスペクトされて光栄です！
私も本気で応えさせて頂きました。 ⑧については私の勘違いでした。 
a2wz0ahz
正解です！
本気のコメントありがとうございます  ⑧では，コインが表であるときと，裏であるときでそれぞれ逆方向に平行移動しました． そうすることで，Dn→D（n→∞）となるようにしたかったためです． あのパラドックスは私も好きなものだったのですが，証明を読んだことがなかったので，ちひろさんの問題を読んだときに「ああ，こういう感じなのかな」と思いました． あの公理を使わない形で，「1かつ2な体積2」と似たようなことができないかと思ったのがこの問題のモチーフでした．
興味のある方はぜひちひろさんの問題へも挑戦してみてください． 一様に無作為に実数を1つ選ぶことができないことについてですが，例えば次のように考えます． 一様に無作為に実数を1つ選べたとします． その数が集合Aに属する確率をP(A)で表すことにします． 実数全体の集合をRとすると，P(R) = 1です． 整数nに対して集合InをIn = {x│n ≦ x < n + 1}と決めます． 一様に実数を選びますので任意のnについてP(In) = P(I0)です． P(R) = P(I0 ∪ I-1 ∪ I1 ∪ I-2 ∪ I2 ∪ I-3 ∪ ...) = P(I0) + P(I-1) + P(I1) + P(I-2) + P(I2) + P(I-3) + ... = P(I0) + P(I0) + P(I0) + P(I0) + P(I0) + P(I0) + ...…① 0 ≦ P(I0) ≦ 1ですが，P(I0) = 0とすると①よりP(R) = 0，0 < P(I0) ≦ 1とすると①よりP(R) = +∞となるので，いずれにしてもP(R) = 1となりません． |
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