立方体の上面下面に対角線を書き込んだ後、鉛直に補助線を引いてp,q,rの奥行きとかの位置関係を確認した後、対面にある断面の境界同士が平行になるように気を付けて作図していく……って感じ。
問題の図なら断面は五角形になると思います。

正方形EFGHを含む平面を地面とします。
任意の点Xに対して、
その点を通り地面に垂直な直線と地面との交点をV(X)と書くことにします。
例えばV(A)=V(E)=E,V(B)=V(F)=Fです。
Pを通りAEに平行な直線とEFの交点はV(P)
Qを通りAEに平行な直線とFGの交点はV(Q)
Rを通りAEに平行な直線とHFの交点はV(R)
というように、V(P),V(Q),V(R)は作図できます。

P,Q,Rを含む平面とBFの交点をSとします。
P,Q,R,Sは同一平面上の点ですので、直線PQとSRは交点を持ちます。
その交点をTとします。

TはPQ,RSの交点ですので、
V(T)は、直線V(P)V(Q)とV(R)V(S)の交点です。
V(P),V(Q),V(R)は作図済であり、V(S)=Fですので、
V(T)が作図できます。
V(T)を通りAEに平行な直線とPQとの交点がTになりますので、
Tも作図できます。
直線RTとBFの交点がSですので、Sも作図できます。
正方形ABFE内の切り口はPSを結ぶ直線、
正方形BCGG内の切り口はSQを結ぶ直線となります。

直線PSがABと交点を持つ場合、直線SQはBCと交点を持ちます。
この2つの交点を結ぶ直線が正方形ABCD上の切り口になります。
交点を持たない場合は切り口が正方形ABCDと平行になるということです。

互いに直行する3つの正方形上の切り口が分かりましたので、
あとはこれに平行になるように切り口を延長していけばよいです。
例えば正方形ABFE内でPSを延長すると、
線分AB,AE,EFのいずれかと交わります。
線分AE(A,Eは除く)と交わる場合、続きは正方形AEHD上になります。
正方形AEHDは正方形BFGCと平行ですので、
その上の切り口の直線SQと平行な直線をつなげます。
切り口が頂点にきた場合、次の正方形の候補は2つできますが、
書けるほうにだけ書けばよいです。
このように延長していくと一周して閉曲線が完成します。
これが切り口の図形です。

Fを通りDPに平行な直線と、直線PRとの交点をSとする。
直線QSと辺BC,FGの交点をそれぞれZ,Yとする。
Pを通りZYに平行な直線と、辺AD,EHの交点をそれぞれW,Xとする。

平行四辺形WXYZが求める切り口。

Pを通りAEに平行な直線が辺EFと交わる点をP'とする。
P'を通りDEに平行な直線が線分DFと交わる点をP''とする。
Fを通りPP''に平行な直線が直線PRと交わる点をP'''とする。
直線QP'''と辺BC,辺FGの交点をそれぞれZ,Yとする。

Qを通りBCに平行な直線が辺BFと交わる点をQ'とする。
Q'を通りBDに平行な直線が線分DFと交わる点をQ''とする。
Fを通りQQ''に平行な直線が直線QRと交わる点をQ'''とする。
直線YQ'''と辺EHの交点をXとする。

Xを通りYZに平行な直線が辺AEと交わる点をWとする。
直線WPと辺ABの交点をVとする。

五角形VWXYZが求める切り口。

直線PQを引く．

「直線PQ上に点を取り，その点と点Rを通る直線と立方体の面との交点を求める」ことを何度か行い，交点が正方形CDHG以外の5つの各面上に2点以上ずつくるようにする．

各面で交点を通る直線を引く．

https://i.imgur.com/0d8xzcF.png

直線QR　を引く
a：点Qを通り直線AEに平行な直線　を引く
I：直線FGと直線aの交点　をとる
直線FH　を引く
b：点Rを通り直線AEに平行な直線　を引く
J：直線FHと直線bの交点　をとる
直線IJ　を引く
K：直線QRと直線IJの交点　をとる
直線PR　を引く
c：点Pを通り直線ABに平行な直線　を引く
L：直線BFと直線cの交点　をとる
直線CF　を引く
d：点Rを通り直線ABに平行な直線　を引く
M：直線CFと直線dの交点　をとる
直線LM　を引く
N：直線PRと直線LMの交点　をとる
直線QN　を引く　……(1)
O：直線BCと直線QNの交点　をとる
S：直線FGと直線QNの交点　をとる
直線SK　を引く　……(2)
e：点Oを通り直線SKに平行な直線　を引く　……(3)
T：直線ABと直線eの交点　をとる
U：直線EHと直線SKの交点　をとる
f：点Uを通り直線QNに平行な直線　を引く　……(4)
V：直線AEと直線fの交点　をとる
直線TV　をひく　……(5)

(1)--(5)が切り口の辺になります．