(3,5)(5,7)で2回登場する5は何回足したらいいでしょうか？

3+5+5+7+11+13+… なら余りは 8
3+5+7+11+13+…　なら余りは 3

(3,5)以外の双子素数は(6n-1,6n+1)となるのでその和は12で割り切れる

【A：3】

前提として、5より大きい連続した奇素数3つが有ると、
少なくとも1つは（3の倍数なので）合成数になります。
この事実から、「5以上の双子素数をペア分けしても重複が生じない」ことが分かります。

また、5より大きい素数を12で割った余りを考えると、
2・4・6・8・10・12 → 2で割り切れるので合成数
3・9 → 必ず3で割り切れる合成数
この為、余りは1・5・7・11のいずれかになります。

この事から、双子素数のペアは
「12で割ると5余る ＋ 12で割ると7余る」か
「12で割ると11余る ＋ 12で割ると1余る」のどちらかに限られますが、
どちらの場合も、ペアの数字を足すと丁度12で割り切れます。

以上から、5以上の双子素数の和は12で割り切れます。
よって、残った双子素数である「3」が、そのまま題意の解答です。

連続する3つの整数のなかには必ず1つ、3の倍数があるため、双子素数とその間の数の3つの連続する整数のうち真ん中の1つが3の倍数となる。(2つは素数で3の倍数にはならないため)
同じように、二つが素数ということは奇数であり、真ん中の数は偶数になる。
これによって、双子素数に挟まれた数は2の倍数かつ3の倍数、つまり6の倍数となる。
このことより双子素数は(6n − 1, 6n + 1)で表される。(3,5 を除く)
なので(3,5)以外の双子素数のペアの和は 12m となり、12の倍数である。
問題では(2027,2029)のペアまで足しているのでかんがえるのは(3,5)のペアだけでよい。この二つのうち 5 は(5,7)のペアで考えられるので残りは3のみである。よって答えは「3」となる。
※p,p+2,p+4 が全て素数になる組み合わせが p=3 のみ等の詳しいことは書いてませんが許してください