全くわかりませんが、見慣れた数字が出てくることを考えると、オイラーの等式が関係するのかなと思っています。

1/√2
=1/√2+0*(3.1416-1/√2)/0.00003836
=1/√2+(√2^2-√2^2)*(3.1416-1/√2)/0.00003836
=1/√2+(√2^2-1.4142^2)*(3.1416-1/√2)/0.00003836
=1/√2+0.00003836*(3.1416-1/√2)/0.00003836
=1/√2+(3.1416-1/√2)
=3.1416

1/(√2+1)
=1/(√2+1)+0*(2.7183-1/(√2+1))/0.00003836
=1/(√2+1)+(√2^2-√2^2)*(2.7183-1/(√2+1))/0.00003836
=1/(√2+1)+(√2^2-1.4142^2)*(2.7183-1/(√2+1))/0.00003836
=1/(√2+1)+0.00003836*(2.7183-1/(√2+1))/0.00003836
=1/(√2+1)+(2.7183-1/(√2+1))
=2.7183

先生の間違いって言うと√2 = 1.4142と教えたくらいしか思いつかないけど、それだけでここまでずらすには相当な式変形が必要なはず、、、

数字に意味はないという事でしたのでこういうことかと...？
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本来、√2 = 1.41421356...のところを
√2 = 1.4142と小さく見積もっているので、例えば

2 = {(√2)^4}/2
という変形を用いて、

√2 = √{[2]^2 /2} = √{([2]^2 /2)^2 /2} = ...

⇔ √2 = √{[(√2)^4 /2]^2 /2} = √{([(√2)^4 /2]^2 /2)^2 /2} = ...

として、√2 = 1.4142を代入することで、√2の値を限りなく小さくできる

言い換えれば、1/√2の値を限りなく大きくできるということなので、
問題のような回答も導出可能となる（1/(√2 + 1)も同様）

（段々と値がとびとびになってくるので、必要なら式変形の方法を変えて微調整する）

1/√2
=(1/√2)*1^n
=(1/√2)*(2/2)^n
=(1/√2)*(2/(√2)^2)^n
=(1/1.4142)*(2/1.4142^2)^n

n=77752 のとき、この値が3.1416…となる

同様に
1/(√2+1)
=(1/(√2+1))*1^n
=(1/(√2+1))*(2/2)^n
=(1/(√2+1))*(2/(√2)^2)^n
=(1/(1.4142+1))*(2/1.4142^2)^n

n=98090 のとき、この値が2.7183…となる

解1）
任意の実数nに対して
1/√2
=(1/√2)+(2-2)*n
=(1/√2)+(2-(√2)^2)*n
=(1/1.4142)+(2-1.4142^2)*n
=(1/1.4142)+0.00003836*n
となるので、n=(3.1416-1/1.4142)/0.00003836のとき、
1/√2=3.1416
となる。

解2）
任意の実数nに対して
1/√2
=(1/√2)*1^n
=(1/√2)*(2/2)^n
=(1/√2)*(2/(√2)^2)^n
=(1/1.4142)*(2/1.4142^2)^n
となるので、n=log(3.1416*1.4142)/log(2/1.4142^2)のとき、
1/√2=3.1416
となる。