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乗乗たる比較

難易度：★★★★ 　

プラスト 2019/01/21 01:46

下記の5数 A, B, C, D, E を大小比較してください。

A = 1.9の1.9乗の1.9乗の1.9乗
B = 1.9の1.9乗の1.9の1.9乗乗
C = 1.9の1.9の1.9乗乗の1.9乗
D = 1.9の1.9の1.9乗の1.9乗乗
E = 1.9の1.9の1.9の1.9乗乗乗

なお、自然対数の底が 2.71… である事は既知とします。

回答には思考過程も書いていただけると有り難いです。




	【t = 1.9 とします。先ず、各値を整理すると A = ((t^t)^t)^t = t^(t^3) B = (t^t)^(t^t) = t^(t^(t+1)) C = (t^(t^t))^t = t^(t^(t+1)) D = t^((t^t)^t) = t^(t^(t^2)) E = t^(t^(t^t)) この時点で B = C を得ます。また、t > 1 に注意すると、一般に、 a < b ⇒ t^a < t^b ⇒ t^(t^a) < t^(t^b) なので、3, t+1, t^2, t^t を比較すれば良い事が分かります。 t+1 = 2.9 < 3 より B = C < A t < 2 ⇒ t^t < t^2 より E < D を得ます。さて、問題は 3, t^t(=1.9^1.9) ですが、t^2(=3.61) より少し小さい程度だろうという事で 3 < t^t (∴ A < E) が予想されます。実際、関数 f(x) = t^x (x≧0) の x = 2 における接線 g(x) を考えると f'(x) = ln(t)t^x より g(x) = f(2)+f'(2)(x-2) = t^2+ln(t)t^x(x-2) また、f(x) は下に凸な関数なので、接線 g(x) は f(x) の下側にあります。以上を踏まえると t^t = f(t) > g(t) = t^2+ln(t)t^t(t-2) > t^2-ln(e)t^2*0.1 = 3.249 > 3 よって、予想が正しい事が証明されました。 ∴ B = C < A < E < D】

回答募集は終了しました。

▲ △ ▽ ▼ No.1

A=((1.9^1.9)^1.9)^1.9=1.9^(1.9^3)

B=(1.9^1.9)^(1.9^1.9)=1.9^(1.9*1.9^1.9)=1.9^(1.9^2.9)

C=(1.9^(1.9^1.9))^1.9=1.9^(1.9*1.9^1.9)=1.9^(1.9^2.9)

D=1.9^((1.9^1.9)^1.9)=1.9^(1.9^3.8)

E=1.9^(1.9^(1.9^1.9))

すべて1.9^(1.9^x)の形でかけているので、xの部分を比較すればOK.
xの部分は

A:3, B:2.9, C:2.9, D:3.8, E:1.9^1.9

1.9^1.9を評価したい。

1.9^1.9<1.9^2=1.9*1.9<1.9*2=3.8

3<1.9^1.9となりそうなのでそれを示す。

1.2^10=(1+0.2)^10=1+10*0.2+…+0.2^20>3
より、
1.9<3<1.2^10<(3.61/3)^10=1.9^20/3^10
よって
3^10<1.9^19、つまり3<1.9^1.9

以上から2.9<3<1.9^1.9<3.8なのでB=C<A<E<D

なるほど 2019/01/21 09:36

e使わなかったけど、こうでしょうか？

プラスト

ご回答ありがとうございます。
1.2^10 を用いた巧妙な評価、お見事です。e は想定解法で必要だったので明記しましたが、まさか最初の回答で別解を頂けるとは思いもしませんでした。

ただ一点、惜しい所がありまして、D の値をニアミスしている様です。ご確認よろしくお願いいたします。

▲ △ ▽ ▼ No.2

D=1.9^((1.9^1.9)^1.9)=1.9^(1.9^3.61)
と訂正します。

2.9<3<1.9^1.9<1.9^2=3.61
なので
B=C<A<E<D

なるほど 2019/01/22 07:15

指数法則を間違えてしまった (;o;)

プラストご返信ありがとうございます。
正解です。 (^_^)

▲ △ ▽ ▼ No.3

確認の図　A～Eを以下のように解釈しました。
https://gyazo.com/ab6cfa7a62b8dd986432c377deb9bf76

AとC、DとEの比較のため、(1.9^1.9)^1.9 と 1.9^1.9^1.9 の大小関係を調べる。

それぞれのlogを取って、
log(1.9^1.9)^1.9
=1.9log(1.9^1.9)
=1.9^2log1.9

log1.9^1.9^1.9
=1.9^1.9log1.9

log1.9>0 , 2>1.9>1 であるから、 (1.9^1.9)^1.9 > 1.9^1.9^1.9 である。
従って、A>C , D>E 。

AとEの大小関係を調べる。

それぞれのlogを取って、
log((1.9^1.9)^1.9)^1.9
=1.9log(1.9^1.9)^1.9
=1.9^2log1.9^1.9
=1.9^3log1.9

log1.9^1.9^1.9^1.9
=1.9^1.9^1.9log1.9

ここで、A'=3 , E'=1.9^1.9 として、この2数を比較する。

E'を変形して、
1.9^1.9
=1.9^(2-0.1)
=3.61/1.9^0.1

2数に 1.9^0.1/3 を掛けて、（ 1.9^0.1/3 > 0 ）
A'→1.9^0.1
E'→1.203...

2数を10乗して、（ 1.9^0.1 > 1 , 1.203...> 1 ）
A'→1.9
E'→1.203...^10

E'を変形して、
E'
>(1.2^2)^5
>1.4^5
>1.4^2
=1.96
>A'

これより、A'<E' である。従って、 A<E 。

BとCの大小関係を調べる。

それぞれのlogを取って、
log(1.9^1.9)^1.9^1.9
=1.9^1.9log1.9^1.9
=1.9^2.9log1.9

log(1.9^1.9^1.9)^1.9
=1.9log1.9^1.9^1.9
=1.9^2.9log1.9

これより、B=C である。

これらをまとめて、5数の大小関係は
D>E>A>B=C

yard 2019/01/23 23:03

途中に 1.2^10 の近似値が現れたので、多分なるほどさんと同じ解法です。

プラスト

ご回答ありがとうございます。
見事、正解でございます。

1.2^10 など、登場する定数が近しい点では、なるほどさんと同じ解法と言えますし、こちらは対数法則を主眼に置いている点では、対称的とも言えます。

お二人とも指数の問題に対して指数・対数で完結した解法を取られていて、私の方が珍解答に思えてきました。 (^^;)

▲ △ ▽ ▼ No.4

A=(1.9^1.9)^3
B=(1.9^1.9)^2.9
C=(1.9^1.9)^2.9
D=((1.9^1.9)^1.9)^2
E=((1.9^1.9)^1.9)^1.9
と変形可能。
a=3, b=c=2.9, d=1.9^2, e=1.9^1.9の比較だけでよい。
sqrt(3)<1.9なのでa<e
B=C<A<E<D

SICED 2019/02/04 18:39

底が1.9や1.9^1.9の対数の方が使えそうだけれども
2019/2/7追記
sqrt(3)<1.9のくだりは完全にミスですね。 (・o・∥)

プラスト

お待たせいたしました。ご回答ありがとうございます。
ご認識の通り、√3<1.9 からは期待の結論は得られません。この2数の比較は当クイズの一番難しい所だと思われます。また閃きましたら再挑戦してみてください。

もう一点、A～E の変形後の表記にもミスがありますので、ご確認よろしくお願いいたします。

▲ △ ▽ ▼ No.5

B = C < A < E < D.

証明
(1.9^1.9)^(1.9^1.9) = ……… B
1.9^(1.9×1.9^1.9) =
1.9^(1.9^1.9×1.9) =
(1.9^(1.9^1.9))^1.9 < ……… C
(1.9^(1.9^2))^1.9 =
(1.9^(1.9×1.9))^1.9 =
((1.9^1.9)^1.9)^1.9 = ……… A
1.9^(1.9×1.9×1.9) =
1.9^(1.9^(3^(5×0.2))) =
1.9^(1.9^((3^5)^0.2)) =
1.9^(1.9^(243^0.2)) <
1.9^(1.9^(322.687697779^0.2)) =
1.9^(1.9^((1.9^9)^0.2)) =
1.9^(1.9^(1.9^(9×0.2))) =
1.9^(1.9^(1.9^1.8)) <
1.9^(1.9^(1.9^1.9)) < ……… E
1.9^(1.9^(1.9^2)) =
1.9^(1.9^(1.9×1.9)) =
1.9^((1.9^1.9)^1.9). ……… D

a2wz0ahz 2019/02/04 23:51

対数を習う前なら模範解答はこんな感じでしょうか？

プラスト

お待たせいたしました。ご回答ありがとうございます。
見事、正解でございます。

A～E を一つの式でまとめて比較されていて、とてもスマートな回答です。

▲ △ ▽ ▼ No.6

式で書くとそれぞれ以下の通りになる。
A=((1.9^1.9)^1.9)^1.9
B=(1.9^1.9)^(1.9^1.9)
C=(1.9^(1.9^1.9))^1.9
D=1.9^((1.9^1.9)^1.9)
E=1.9^(1.9^(1.9^1.9))

log(A) = A0 * log(1.9)
log(B) = B0 * log(1.9)
log(C) = C0 * log(1.9)
log(D) = D0 * log(1.9)
log(E) = E0 * log(1.9)
とすると、
A0 = 1.9^3
B0 = 1.9^1.9 * 1.9 = 1.9^2.9
C0 = 1.9 * 1.9^1.9 = 1.9^2.9
D0 = (1.9^1.9)^1.9
E0 = 1.9^(1.9^1.9)
となる。さらに、
log(A0) = A1 * log(1.9)
log(B0) = B1 * log(1.9)
log(C0) = C1 * log(1.9)
log(D0) = D1 * log(1.9)
log(E0) = E1 * log(1.9)
とすると、
A1 = 3
B1 = 2.9
C1 = 2.9
D1 = 1.9^2 = 3.61
E1 = 1.9^1.9
この大小関係は、
B1 = C1 < A1, E1 < D1
(A1<E1だろうとの予想のもと）問題はA1とE1の関係だが、
1.9^1.9=1.9^(2-0.1)=(1.9^2)/(1.9^0.1)なので、
(1.9^2)/3=1.23...と1.9^0.1の大小関係を調べればよく、
(1.23...)^10 > 1.9なので、
(1.9^2)/3 > 1.9^0.1, つまりA1 < E1
まとめると
B1 = C1 < A1 < E1 < D1
となり、この大小関係は元の式でも保たれるので、
B = C < A < E < D
となる。

KY 2019/02/16 13:08

やや冗長ですみません。
理解が間違っていなければ大丈夫だと思うのですがいかがでしょうか。

プラスト

ご回答ありがとうございます。
見事、正解でございます。

回答が長すぎるという事はありませんし、むしろ (?…)^10>1.9 の下りをもっと詳しくしても良い位だと思います。勿論、実際に10回掛けたとしてこれでも正解ではありますが。 (^^;)