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乗乗たる比較
難易度:★★★★  
?プラスト 2019/01/21 01:46

下記の5数 A, B, C, D, E を大小比較してください。

A = 1.9の1.9乗の1.9乗の1.9乗
B = 1.9の1.9乗の1.9の1.9乗乗
C = 1.9の1.9の1.9乗乗の1.9乗
D = 1.9の1.9の1.9乗の1.9乗乗
E = 1.9の1.9の1.9の1.9乗乗乗

なお、自然対数の底が 2.71… である事は既知とします。

回答には思考過程も書いていただけると有り難いです。

Answert = 1.9 とします。先ず、各値を整理すると
A = ((t^t)^t)^t = t^(t^3)
B = (t^t)^(t^t) = t^(t^(t+1))
C = (t^(t^t))^t = t^(t^(t+1))
D = t^((t^t)^t) = t^(t^(t^2))
E = t^(t^(t^t))
この時点で B = C を得ます。
また、t > 1 に注意すると、一般に、
a < b ⇒ t^a < t^b ⇒ t^(t^a) < t^(t^b)
なので、3, t+1, t^2, t^t を比較すれば良い事が分かります。
t+1 = 2.9 < 3 より
B = C < A
t < 2 ⇒ t^t < t^2 より
E < D
を得ます。さて、問題は 3, t^t(=1.9^1.9) ですが、t^2(=3.61) より少し小さい程度だろうという事で
3 < t^t (∴ A < E)
が予想されます。実際、関数 f(x) = t^x (x≧0) の x = 2 における接線 g(x) を考えると
f'(x) = ln(t)*t^x より
g(x) = f(2)+f'(2)(x-2) = t^2+ln(t)*t^x*(x-2)
また、f(x) は下に凸な関数なので、接線 g(x) は f(x) の下側にあります。
以上を踏まえると
t^t = f(t) > g(t) = t^2+ln(t)*t^t*(t-2) > t^2-ln(e)*t^2*0.1 = 3.249 > 3
よって、予想が正しい事が証明されました。

∴ B = C < A < E < D
■
解答が公開されました。引き続きコメントできます。

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    ヒント知らないよ

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