(1)3^(1/3)=m/n　(m、nは互いに素の0以外の整数)と仮定する。
3^(1/3)n=m。両辺を3乗すると、3n^3=m^3。
mが3の倍数ということになるので、m=3kとする。
3n^3=27k^3。n^3=9k^3。
nが3の倍数ということになり、m、nは互いに素という最初の仮定に反する。
したがって3^(1/3)=m/nとはおけず、3^(1/3)は有理数ではなく、無理数である。

(1)
3^(1/3)=p/q (p,q∈N, p/qは既約)とすると
両辺を3乗して 3=p^3/q^3 ∴p^3=3q^3
p^3,q^3は立方数なので素因数分解したときの3の指数は3の倍数
しかし3q^3を素因数分解したときの3の指数は3の倍数+1
よって両辺で素因数分解したときの3の指数が一致することはないので矛盾
よって3^(1/3)は無理数である

(2)
3^(1/3)が整数係数2次方程式の解であるとすると、
その方程式は2次式P(x)を用いてP(x)=0と表される
P(x)=ax^2+bx+c (a,b,c∈Z)とするとa≠0であるから
P(x)=0⇔x^2+(b/a)x+(c/a)=0
よってp=b/a,q=c/aとするとP(x)=0⇔x^2+px+q=0
またx=3^(1/3)のときx^3-3=0なので、
x^3-3=(x^2+px+q)(x-p)+(p^2-q)x+pq=(p^2-q)x+pq=0
よってx=-pq/(p^2-q)であるが、これはxが有理数であることに矛盾
したがって3^(1/3)が整数係数2次方程式の解ではない

よって3^(1/3)の最小多項式は3次であるから、
Q(3^(1/3))はQ上3次拡大である。
3は2のべき乗ではないので、3^(1/3)は作図可能数ではない。
作図可能数は体なので
2^(1/2)=√2が作図可能数であることから
もし3^(1/3)+2^(1/2)が作図可能数と仮定すると
(3^(1/3)+2^(1/2))-2^(1/2)=3^(1/3)は作図可能数でありこれは矛盾
よって3^(1/3)+2^(1/2)は作図可能数ではなく、したがって無理数である。

(3)
3^(1/3)とπ^(1/π)を解に持つ2次の係数が1の2次方程式を考える。
この方程式の係数がすべて有理数だとすると、
分母の最小公倍数を掛けることで全ての係数を整数にできる。
しかし、これは(2)で示された3^(1/3)が整数係数2次方程式の解でないことに矛盾する。
したがって、方程式の係数のうち少なくとも1つは無理数である。
よって、3^(1/3)+π^(1/π)と3^(1/3)*π^(1/π)の少なくとも一方は無理数である。

(1) 背理法にて示す。
3^(1/3) が有理数であると仮定すると、互いに素である自然数m, nを用いて 3^(1/3) = m/n と表せる。
これを変形して m^3 = 3n^3 となるので、mは3の倍数とわかる。
よって m = 3m' （m'は自然数）と置いて代入すると n^3 = 9(m')^3 となり、nも3の倍数になるが、これはmとnが互いに素であることに矛盾する。
よって 3^(1/3) は無理数である。

(2)前半 背理法にて示す。
3^(1/3) が有理数係数の2次方程式 x^2 + px + q = 0 …[A]（p, qは有理数、p^2 - 4q ≧ 0）の解の1つであると仮定する。
解の公式より、x = (-p ± √(p^2 - 4q)) / 2
(i) (-p + √(p^2 - 4q)) / 2 = 3^(1/3) のとき
(1)より 3^(1/3) は無理数、また p は有理数より、√(p^2 - 4q) は無理数である。
両辺を3乗して整理すると、 (p^2 - q)√(p^2 - 4q) = p^3 - 3pq + 6 となる。
(ア) p^2 = q のとき、p^2 - 4q = -3・p^2 ≦ 0 より p = q = 0 が得られ x = 0 となるが、これは[A]が 3^(1/3) を解に持つことと矛盾する。
(イ) p^2 ≠ q のとき、√(p^2 - 4q) = (p^3 - 3pq + 6) / (p^2 - q) は有理数であり、これは √(p^2 - 4q) が無理数であることに矛盾する。
よっていずれにおいても矛盾が生じる。
(ii) (-p - √(p^2 - 4q)) / 2 = 3^(1/3) のときも(i)と同様に考えて矛盾が生じる。
以上により、 3^(1/3) が[A]の解になることはない。…[B]
[A]の両辺に任意の実数をかけても解は変わらないので、 3^(1/3) は整数係数の2次方程式の解になることはない。

(2)後半 背理法にて示す。
3^(1/3) + 2^(1/2) が有理数であると仮定し、 3^(1/3) + 2^(1/2) = k （kは有理数）とおく。
2^(1/2) = k - 3^(1/3) となるので両辺を2乗して整理すると、 3^(2/3) - 2k・3^(1/3) + k^2 - 2 = 0 が得られる。
これはxに関する2次方程式 x^2 - 2kx + k^2 - 2 = 0 …[C] に x = 3^(1/3) を代入した格好となるので、[C]は x = 3^(1/3) を解に持つことになるが、 -2k および k^2 - 2 はともに有理数であるので[B]に矛盾する。
よって 3^(1/3) + 2^(1/2) は無理数である。

(3)
3^(1/3) + π^(1/π) = a, 3^(1/3)・π^(1/π) = b とおく。
解と係数の関係より、x = 3^(1/3), π^(1/π) を解に持つ2次方程式のうち、2次の係数が1であるものは x^2 - ax + b = 0 である。
[B]より、 この方程式の1次の係数と定数項がともに有理数になることはないことがわかる。
よってa, bのうち少なくとも一方は無理数である。