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無理数の証明
難易度:  
?なるほど 2018/04/01 09:06
(1) 3^(1/3)は無理数であることを示せ.
(2) 3^(1/3)は整数係数2次方程式の解にならないことを示し, 特に3^(1/3)+2^(1/2)が無理数となることを導け.
(3) 3^(1/3)+π^(1/π)と3^(1/3)*π^(1/π)の少なくとも一方は無理数であることを示せ.
Answer(1)
3^(1/3)=m/n(mとnは互いに素な整数)とすると, 3n^3=m^3.
よってm^3は3の倍数だから, mも3の倍数. m=3kとすると, 3n^3=27k^3.
よってn^3=9k^3となり, n^3は3の倍数だからnも3の倍数.
mとnが両方3の倍数となり, これはm,nが互いに素であることに矛盾.

(2)
x=3^(1/3)がx^2+qx+r=0(q,rは有理数)の解だとする. すると, x^2=-qx-rとなるから,
3=x^3=x(-qx-r)=-qx^2-rx=-q(-qx-r)-rx=(q^2-r)x+qr
q^2-r≠0だとすると, 3=(q^2-r)x+qrより, x=(3-qr)/(q^2-r)(有理数)となるから, (1)に矛盾.
q^2-r=0だとすると, 3=(q^2-r)x+qrは3=qrとなる. これとq^2-r=0を合わせるとq^3=3, q=3^(1/3)となり, やはり(1)に矛盾.
よって前半はOK.
後半は3^(1/3)+2^(1/2)=r(rは有理数)と仮定すると
2=(r-3^(1/3))^2
となり, 3^(1/3)が2次方程式2=(r-x)^2の解になってしまうことから矛盾が導かれる。

(3)
両方有理数だとすると, (x-3^(1/3))(x-π^(1/π))は有理数係数2次方程式になり, 3^(1/3)はその解になってしまう.
これは(2)に矛盾.
■
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