ヒミツ

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平面状の４点A,B,C,Dを選び、その他の３点からなる三角形の内部に入る点の個数は、全４個のうち最大でも１個である（＝三角形の中に入る点が１個あるか、０個かのどちらか）。∴任意の4点を選んだとき,その中の１点が他三角形の内部にある確率は1/4以下。　∴点が11個あるうち３点を選ぶ全ての組み合わせにおいて、他の８点それぞれが三角形の内部に入るかどうかの平均的な確率が1/4以下であるので、与題の解は２個以下。

＜与題の期待値が1.6以下であることの証明＞　任意の５個の点において、３点を選んで３角形を作る（全１０通り）時、他の２点が内部にある点の個数の全１０通りの最大値は４である（←証明略）ので、１通りあたりの期待値は0.4以下、他の１点あたりに対する期待値は0.2以下。
∴当初点が11個の場合、他の８点への期待値は　1.6以下。

まず、１１個の点から、三点を選び出す組合せの場合の数：１６５
この組合せにc1〜c165と番号を付けることにする。一般式はcnとする(1 ≦ n ≦ 165)
一方、１１個の点にp1〜p11と番号を付ける。一般式はpmとする(1 ≦ m ≦ 11)

事象Ａ(cn)：ある組合せcnが三点として選ばれる
事象Ｂ(pm,cn)：cnが選ばれたときに、pmがその内部にある

確率Ｐ( A(cn) ∩ B(pm,cn) )は、AとBの同時確率で、
ある３点の組合せcnが選ばれ、その内部にある点pmが存在する確率。
対象となる点はpmの１個であるから、

cn,pmが選ばれたときの、内部の点の個数の期待値e(cn,pm)を以下のように定義する
e(cn,pm)=P( A(cn) ∩ B(pm,cn) ) * 1

求める期待値をEとすると、これを全てのcn、全てのpmについて足し合わせて、

E=Σ(n=1から165)Σ(m=1から11)P( A(cn) ∩ B(pm,cn) ) * 1

となる。
一方、同時確率と条件付き確率の関係式から、
P( A(cn) ∩ B(pm,cn) ) = P(B(pm,cn) ｜ A(cn) ) * P( A(cn) )
である。

全ての場合を数え上げて、その場合の上式の合計を計算すれば、
求める期待値となる・・・のであるが、個別の確率は、点の配置に依存するため、
ひとつひとつの場合について計算し、足し合わせることは不可能である。

そこで、ある４点に着目して考えることにする。
cn,pm（但しcnに含まれる点とは別のpmとする）が選ばれる確率は、
あらゆるcn,pmにおいて、（無作為であるので）同じである。

このときに選ばれた点をx1,x2,x3,x4と置く。cn = (x1,x2,x3)、pm = x4である。
今の場合、x1〜x3が三角形、x4が内部かどうかを判定される別の点、という組合せであるが、
x1〜x4において、どの点が三角形を構成し(cn)、どの点が判定される点(pm)となるかは、
確率的に均等に起こると考えられる。

ある４点の配置で、本問の計算に重要なのは、
その４点が凸四角形の配置であるか、凹四角形の配置であるか、である。
凸四角形の場合、どの３点を選んでも、残りの１点は、三角形の外側になる（期待値＝０）。
凹四角形の場合、内部の１点を除いた３点で三角形が構成された場合に、内部の点の個数が１となり、
それ以外の組合せでは、０となる。無作為に選んだ場合の、内部の点の個数の期待値は0.25である。
この期待値をESと置く。

E=Σ(n=1から165)Σ(m=1から11)P( A(cn) ∩ B(pm,cn) ) * 1
=Σ(n=1から165)Σ(m=1から11)P(B(pm,cn) ｜ A(cn) ) * P( A(cn) ) * 1
=Σ(m=1から11)P(B(pm,cn) ｜ A(cn) ) * 1
となる。なぜなら、n=1から165まで確率は均等と考えられ、また、P(A(cn))=1/165であるため。

ここで、上式は、無作為に３点を選び三角形を構成し、また、無作為にもう一点を選び、
そのときに、その点が三角形の内部である確率に、その点の個数１を乗じた、個別の点が内部にある
確率を、全ての点（１１個）について足し合わせたものになっている。

Σ(m=1から11)は、cnに含まれる点と重複した場合、そのような組合せはありえないため、
期待値０と計算して構わないので、結局、任意に選んだ全ての点が凹四角形を構成している場合に、
（実際にはあり得ないが）

E = 8 * PS = 2
となる。
実際には、凸四角形を構成する組合せcnも混在することになるため、

E ≦ 2
となる。