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11個の点
難易度:★★★  
?なるほど 2017/11/16 17:20
平面上に赤い印が付いた点が11個ある.
これらの11個の赤い点の中から, 相異なる3点を無作為に選ぶ.
その3点がなす三角形の内部にある赤い点の個数の期待値は2個以下であることを示せ.
(三角形をなさない場合は,内部にある点の個数は0個とする)


期待値ってのは,今の場合は「すべての選び方に関する平均値」のことだと思ってよいです.
(高校数学の範囲外らしいので念のため説明 (^^;))

実際には2個未満ということまで証明できるし,ほとんどの場合1個未満になるので,かなり評価は緩めです (^o^)

>>4にヒント追加
Answer(3点A,B,Cを選んだときの三角形ABCの内部の点の個数の期待値)
=(4点A,B,C,Dを選んだときにDが三角形ABCの内部にある確率)×8
である。
(4点A,B,C,Dを選んだときにAが三角形BCDの内部にある確率)
(4点A,B,C,Dを選んだときにBが三角形ACDの内部にある確率)
(4点A,B,C,Dを選んだときにCが三角形ABDの内部にある確率)
(4点A,B,C,Dを選んだときにDが三角形ABCの内部にある確率)
の4つは等確率かつ排反なので1/4以下.
よって期待値は(1/4)*8=2以下.
■
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