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最後に点いている電球の番号は?

難易度：★ 　

具無しのとんぺい 2017/08/29 04:42

もしかしたら、有名かもしれません (^^;)

1から100の番号がついた100個の電球があります。これらの電球を以下のルールに従って、ON,OFFしていきます。
※「すでにONになっている電球をOFFにする」もしくは「すでにOFFになっている電球をONにする」操作をここでは「電球のON/OFFを切り替える」と表現することにします。

・すべての電球がOFFの状態からスタートします。

・1の倍数の(つまりすべての)電球のON/OFFを切り替えます。
・2の倍数の(つまり偶数番の)電球のON/OFFを切り替えます。
・3の倍数の(つまり3,6,9,...番の)電球のON/OFFを切り替えます。
　　　・
　　　・
　　　・
・100の倍数の(つまり100番の)電球のON/OFFを切り替えます。

問1．最終的にONになっている電球の番号は~~いくつ~~何番でしょうか?

問2．電球のON/OFFを切り替える操作をもう1周行ったとき、最終的にONになっている電球の番号は~~いくつ~~何番でしょうか?

※語弊があったので問題文を少し訂正しました (-_-;)

(2017.8.29)

＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝
解答公開日は、出題から3週間後の9月19日あたり、ロックは9月26日あたりを予定しています。

解答公開しました！(2017.9.19)

ロックします！(2017.10.8)




	【答え問1．1,4,9,16,25,36,49,64,81,100(平方数) 問2．なし(全てOFF) 問1．例えば「10番」の電球の場合、 OFF→1の倍数(ON)→2の倍数(OFF)→5の倍数(ON)→10の倍数(OFF)→(あとはノータッチ) というように、N番の電球は、(Nの約数)の倍数の時だけON/OFFが切り替わるので、 Nの約数が偶数個の場合は最終的にOFF Nの約数が奇数個の場合は最終的にON になります。 Nの約数は1番外側同士、2番目に外側同士、...をかけるとNになり、外側から順にペアを作っているので基本的には偶数個存在しますが、Nが平方数(=n^2)の場合に限り、一番内側のペアが完全に1つの数(=n)で一致するので、約数が奇数個になります。 (例えば、N=50のときは50の約数が1,2,5,10,25,50で、外側から順に(1,50),(2,25),(5,10)がペアなので偶数個の約数があります。一方、N=64のときは64の約数が1,2,4,8,16,32,64で、外側から順に(1,64),(2,32),(4,16)がペアですが、一番内側の8のペアは8なので、この場合の約数の数は奇数個となります。) よって、Nが平方数の場合のみ、最終的に電球がONになります。問2．1周目で最終的にOFFだったものは2週目も同じ条件でのスタートになるのでOFFになります。 1周目でONだったものは2週目はONからのスタートとなり、1周目と逆の条件なので、最終的にOFFになります。よって、2週目はすべてOFFの状態になります。 (もしくは2周するとすべての電球で必ず偶数回ON/OFFが切り替わるのですべてOFFになる、と考えてもOKです。) ちなみに元ネタは電球ではなく、ロッカーの開閉で同じことをやっています。「ロッカー　100個」とかで検索するといろいろ出てきました。】

回答募集は終了しました。

▲ △ ▽ ▼ No.1

10個、0個

PDJ 2017/08/29 07:03

これで

具無しのとんぺいすみません、番号を答えてもらいたかったのですが、表現がまずかったですね… (^^;)

問題文を訂正しておきます (-_-;)

下の補足と合わせて正解です！おめでとうございます！ (^_^)

▲ △ ▽ ▼ No.2

1回目についているのは平方数のもの

PDJ 2017/08/29 07:05

追加です

具無しのとんぺいその通り！正解です！ (^_^)

▲ △ ▽ ▼ No.3

答　10個
（１，４，９，１６，２５，３６，４９，６４，８１，１００）

要するに100までの数字のうちの任意の整数の二乗になってる番号がＯＮ

それ以外の数字は約数が偶数個になるのでＯＦＦ

j 2017/08/29 08:30

おはようございます。問1を直感勝負で (＞o＜)

具無しのとんぺいおはようございます (^^)

その通りです！おめでとうございます！ (^_^)

▲ △ ▽ ▼ No.4

問2　全てＯＦＦ

問1でＯＮになるのは奇数回切り替えがされたスイッチ。
それはもう一周すればＯＦＦ
一周につき、偶数回切り替わるスイッチは何週してもＯＦＦ

Ｐ・Ｓ
これ問2の方が約数がどうたら考えずによくて簡単なのが面白いですね。

j 2017/08/29 08:38

問2は必然的にこう？

具無しのとんぺいその通り！正解です！ (^_^)

そうですね

まあこっちはおまけ問題っていう感じで (^_-)

ありがとうございます (^_^)

▲ △ ▽ ▼ No.5

問１とばして、問２を･･･

「OFF⇒OFFになる」電球は、もう１周やっても「OFF⇒OFFになる」ので、OFF

「OFF⇒ONになる」電球は、もう１周やると「ON⇒OFFになる」ので、OFF

結果、全てOFF

まいすた 2017/08/29 09:43

問２はこうなりますよね。

具無しのとんぺい正解です！おめでとうございます！ (^_^)

そうですね、こっちは必然的にこうなります (^^)

問1もよろしければ挑戦お願いします (^^)

答えは意外ときれいだったりします (^o^)

▲ △ ▽ ▼ No.6

問1: 1,4,9,16,25,36,49,64,81,100が点灯
問2: 全て消灯

たぬきおやぢ 2017/08/29 11:21

なるほど～。おもしろい。

具無しのとんぺいその通りです！ (^^)

正解です！おめでとうございます！ (^_^)

ありがとうございます (^^)

▲ △ ▽ ▼ No.7

問1

各電球はそれぞれ、自分の番号の約数の数だけON/OFFする。
約数が奇数個となる番号の電球が、最終的にONとなる。

1～100の中で約数が奇数個となる数字は、多分、
1,4,9,16,25,36,49,64,81,100。
この番号を持つ電球が、最終的にONとなる。

問2

「もう1周」というのが、「問1までの切り替えと同じ操作をもう1度行う」のであれば、
すべての電球が偶数回スイッチ操作されることになり、
最終的にONとなる電球は存在しない。

さっちゃん 2017/08/29 19:41

頭の中でいくつかやってみて、こんな感じになるんでないかなぁと。

具無しのとんぺいその通りです！ (^^)

正解です！おめでとうございます！ (^_^)

▲ △ ▽ ▼ No.8

問1
1が点灯、そこから3つ消灯、3つ点灯を繰り返す。

問2
全消灯

ルソー 2017/08/30 19:00

思ったより綺麗な形になることにびっくり。

具無しのとんぺい解答ありがとうございます (^^)

問2は正解です！

問1に関しては問題が正確に伝わっていなかったようなので補足させていただきます (+_+)

問題のルールでは、3の倍数を切り替えたあと、次は4の倍数を切り替えて、その次は5の倍数を...、というように、1から100の倍数までを順番に切り替えていった場合にどうなるか?というものでした (・o・∥)

…　が確かにどうも見えづらいので修正させていただきました。申し訳ございませんでした (-_-;)

再挑戦お待ちしています！ (*^_^*)

▲ △ ▽ ▼ No.9

問1リベンジ
1から10を2乗した数だけ点灯します。
(約数が奇数個なのは同じ数字を掛けた解のある数字だけのため)

ルソー 2017/08/31 05:53

早とちり失礼しました。

具無しのとんぺい再挑戦ありがとうございます (*^_^*)

その通り！完璧です

おめでとうございます！ (^_^)

▲ △ ▽ ▼ No.10

問1．1,4,9,16,25,36,49,64,81,100
問2.ONになっている電球はなし

のり 2017/09/01 12:31

EXCELマクロで途中経過も含めて表示したら、不思議な模様が浮かび上がってきました。

具無しのとんぺい正解です！おめでとうございます！ (^_^)

EXCELマクロは使い方わからないです... (;o;)

どんな模様か気になります... (^^;)

(笑)

▲ △ ▽ ▼ No.11

問1
n番目の電球のON/OFFが切り替わる回数は、
nの約数の数に等しい。

電球の最初の状態はOFFだから、切り替えを
奇数回行えば最終的にONの状態になる。

すなわち、
答え＝約数が奇数個の数＝四角数
＝1,4,9,16,25,36,49,64,81,100 （番目の電球）

問2
全ての電球が偶数回の切り替えを行う事になるから、
最終的にONの電球は無い、はずだが…

yard 2017/09/03 21:43

ちょっと問題文で気になるところがあるけど、ひとまずこの答えで提出

具無しのとんぺいその通りです！おめでとうございます！ (^_^)

そうですね

なんとなく問題形式を統一したかったからなのですが、ひっかけみたいになっちゃってて申し訳ないです... (-へ-;)

(苦笑)

▲ △ ▽ ▼ No.12

問１　1,4,9,16,25,36,49,64,81,100
問２　なし

ぴんちょ 2017/09/06 17:44

初めて参加します。よろしくお願いいたします。

具無しのとんぺいぴんちょさん初めまして！ (^^)

こんな時間(深夜1:20)ですがこんばんは (^^;)

(笑)
よろしくお願いします (*^_^*)

正解です！おめでとうございます！ (^_^)

▲ △ ▽ ▼ No.13

問1 1,4,9,16,25,36,49,64,81,100。
約数の個数が、１とその数を含めて奇数個のものが、最後に点灯していることになるが、
2*5=10など、異なる数の積の場合、必ず偶数個になる。奇数個になるのは同じ数の積、つまり平方数に限る。
問2　1回目で奇数回（点灯）でも、偶数回（消灯）でも、もう一回同じ操作を行うと、必ず偶数回になり、結果、全部消灯、となる。

Yss 2017/09/09 00:07

こんにちは。具無しのとんぺいさん。

具無しのとんぺいはじめまして (^^)