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最後に点いている電球の番号は?
難易度:  
?具無しのとんぺい 2017/08/29 04:42
もしかしたら、有名かもしれません (^^;)

1から100の番号がついた100個の電球があります。これらの電球を以下のルールに従って、ON,OFFしていきます。
※「すでにONになっている電球をOFFにする」もしくは「すでにOFFになっている電球をONにする」操作をここでは「電球のON/OFFを切り替える」と表現することにします。

・すべての電球がOFFの状態からスタートします。

・1の倍数の(つまりすべての)電球のON/OFFを切り替えます。
・2の倍数の(つまり偶数番の)電球のON/OFFを切り替えます。
・3の倍数の(つまり3,6,9,...番の)電球のON/OFFを切り替えます。
   ・
   ・
   ・
・100の倍数の(つまり100番の)電球のON/OFFを切り替えます。


問1.最終的にONになっている電球の番号はいくつ何番でしょうか?

問2.電球のON/OFFを切り替える操作をもう1周行ったとき、最終的にONになっている電球の番号はいくつ何番でしょうか?

※語弊があったので問題文を少し訂正しました (-_-;)(2017.8.29)

=========================
解答公開日は、出題から3週間後の9月19日あたり、ロックは9月26日あたりを予定しています。

解答公開しました!(2017.9.19)
Answer答え
問1.1,4,9,16,25,36,49,64,81,100(平方数)

問2.なし(全てOFF)


問1.
例えば「10番」の電球の場合、
OFF→1の倍数(ON)→2の倍数(OFF)→5の倍数(ON)→10の倍数(OFF)→(あとはノータッチ)

というように、N番の電球は、(Nの約数)の倍数の時だけON/OFFが切り替わるので、
Nの約数が偶数個の場合は最終的にOFF
Nの約数が奇数個の場合は最終的にON
になります。

Nの約数は1番外側同士、2番目に外側同士、...をかけるとNになり、外側から順にペアを作っているので基本的には偶数個存在しますが、Nが平方数(=n^2)の場合に限り、一番内側のペアが完全に1つの数(=n)で一致するので、約数が奇数個になります。
(例えば、N=50のときは50の約数が1,2,5,10,25,50で、外側から順に(1,50),(2,25),(5,10)がペアなので偶数個の約数があります。
一方、N=64のときは64の約数が1,2,4,8,16,32,64で、外側から順に(1,64),(2,32),(4,16)がペアですが、一番内側の8のペアは8なので、この場合の約数の数は奇数個となります。)

よって、Nが平方数の場合のみ、最終的に電球がONになります。


問2.1周目で最終的にOFFだったものは2週目も同じ条件でのスタートになるのでOFFになります。
1周目でONだったものは2週目はONからのスタートとなり、1周目と逆の条件なので、最終的にOFFになります。
よって、2週目はすべてOFFの状態になります。
(もしくは2周するとすべての電球で必ず偶数回ON/OFFが切り替わるのですべてOFFになる、と考えてもOKです。)

ちなみに元ネタは電球ではなく、ロッカーの開閉で同じことをやっています。
「ロッカー 100個」とかで検索するといろいろ出てきました。
■
解答が公開されました。引き続きコメントできます。

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