B:赤帽
D:白帽

内訳
Aから順に白赤白白
嘘つきはAとC

まず、Aが白帽をかぶっている時点で他の3人の色から自分の色を判断することは不可能で嘘をついている。
Bは白帽3つ見えているので自分の色はわかるから本当のことを言っている。
CはAが嘘つきだとわかった時点で自身が嘘つきであるが故Bが本当のことを言っているのがわかり、B以外が全員白だということを知っていて知らないと嘘をついた。
DはAともうひとりが嘘つきだとわかり、Bが嘘をついているとCは本当のことを言っていることになるが、Aが嘘つきだとわかっている以上、Bが嘘つきならCは赤帽だとわかるので矛盾する。
よってBは本当のことを言っており、Cが嘘つきだとわかるので、Dは白帽だとわかり、本当のことを言っている。

(1) Aの発言
Aは白の帽子なので, Aは分からないはず。→Aは嘘つき(とB〜Dもわかる)
よって、Aが発言した時点でのB〜Dの情報は,
「他の人の帽子」＋「Aは嘘つき」

(2) Bの発言
if Bが嘘つき=C,Dは正直
　Bは「分かった」と言っているので本当は分からない。
　→C,Dには赤がいる。
if Bは正直
　A白　B赤　C白　D白に決定する。
よって、Bが発言した時点でのC, Dの情報は,
「他の人の帽子」＋「Aは嘘つき」
＋「（Bが嘘つき かつ C,Dに赤がいる）または(Bが正直 かつ A白　B赤　C白　D白)」

(3) Cの発言
if Cが嘘つき
　Cは「A白嘘　B赤正　C白嘘　D白正」だと分かる。
　分からないと答えているので今のところ辻褄は合う。
if Cが正直
　Cは分からない。Dが赤であるか, A白　B赤　D白
よって、この時点でのDの情報は
「他の人の帽子」
＋「(A白嘘　B赤正　C白嘘　D白正)
または(A白嘘　B？嘘　C？正　D赤正)
または(A白嘘　B赤嘘　C赤正　D白正)
または(A白嘘　B赤正　C白正　D白嘘)」

(4) Dの発言
if Dが嘘つき
　Dは分かるはずなのに「分かった」と言っていて矛盾。
if Dが正直
　Dが分かったということは,
(A白嘘　B白嘘　C赤正　D赤正)または(A白嘘　B白嘘　C白正　D赤正)

以上より　B白 D赤

Aが白で分かったと言ったならばAは嘘つきである
Bが正直者であると仮定すると、B赤、C白、D白となる
このとき、CはBが嘘つきであるかどうかわからないため、自分の帽子の色がわからない(Cは正直者である)
嘘つきが二人いると分かってるとき、Dは自分とAが嘘つきであると分かるため、Bは正直者だと分かる
すると、自分の帽子の色が分かるため、わからないと嘘をつかなければならない
故に、Bが正直者であるという仮定が間違いであり、Bは嘘つきである
Bが白、Dが白のときはCが自分の色が分かる
Bが赤のときはCとDの色に関わらずDは自分の色がわからない
Bが白、Dが赤のとき、DはAとBが嘘つきであり(Bが白ならばBは自分の色がわからないはずである)、Cが正直者であることが分かるため、Cの色に関わらずDは自分の色が赤だと分かる

回答：Bは白、Dは赤

BかDどちらかが白でどちらかが赤
まず、Aは分かるはずないので嘘つき。
で、Cが赤帽だとBDも嘘つきになるので、Cは白帽
ここで、BとDが赤帽だとBとDが嘘つきになるので
BかDどちらかが白と赤になる。

Bが本当だとすると、B以外は白。
この時、Cは本当、Dは嘘になるように見えるが、実はBが分かった時点でD自身は白であることがわかるはずである。ので本当のことを言っているから、嘘つきが一人になる。つまりBは嘘つき。
Dが本当だとすると、D以外白である。
Bは白 Dは黒である。

答え：
B白
D赤

理由：
Aが嘘つきなのは全員に自明。
Dが嘘つきと仮定すると、DはBが正直であることを知っているので、Dは自分が白であることがわかり、Dの発言に矛盾が発生する。
Cが嘘つきと仮定すると、CはBが正直であることを知っているので、A白B赤C白D白の場合のみCの発言に矛盾が発生しないが、正直者のDからはBとCのいずれが嘘つきかはわからないためDは自分の帽子がわからないはずなので、Dの発言に矛盾が発生する。

よって、A嘘つきB嘘つきC正直D正直。

このとき、矛盾が発生しない帽子の組み合わせは下記の2通り

Aうそつき白
Bうそつき白
C正直白
D正直赤

Aうそつき白
Bうそつき白
C正直赤
D正直赤

答：Ｂ＝白帽子、Ｄ＝赤帽子。

解説：
＜０＞　事前準備
Ａが白帽子であるので、残るＢＣＤについては、赤赤赤・赤赤白・赤白赤・赤白白・白赤赤・白赤白・白白赤
の７通りの組み合わせが可能。

＜１＞　Ａの発言終了時点の分析
白帽子であるＡには自分の帽子の色を判断する方法はないので、Ａの「分かった」発言は嘘。
残る嘘つきはＢＣＤのうち一人だけ。

＜２＞　Ｂの発言終了時点の分析
Ｂが自分の帽子の色を判断できるのは、ＣＤが白白の場合だけ。Ｂが「分かったってばよ」と言えるためには「赤白白」においてＢが正しいことを言ったか、「それ以外の６通り」でＢが嘘を言ったかのどちらか。（ここまでＣＤ双方が持ちうる共通認識）

＜３＞　Ｃの発言についての分析
３-１　Ｃが正直だった場合
Ｂの属性について情報は無い。Ｃが見たのが「赤＊赤」「赤＊白」「白＊赤」だった場合、Ｃは自分の帽子について判断材料はないので「分からねえ・・」と答えて矛盾なし。
「白＊白」だった場合、Ｃは自分は赤であることが判るはず＝「分からねえ・・」　と答えることは矛盾。

３-２　Ｃが嘘つきだった場合
嘘つき枠２人が埋まるので、ＣにとってはＢは正直であることが確定。Ｂが見たのが「＊白白」、答が「赤白白」、それ以外の可能性は無い。この時点でＣ自身の帽子は白であることがＣに判るが、嘘つきなＣは「分からねえ・・」と答える。矛盾なし。

＜４＞　Ｃの発言終了時点の状況整理
可能な組み合わせは６通りに絞られている。

ＢＣＤ　Ｂ　Ｃ
赤赤赤　嘘　正
赤赤白　嘘　正
赤白赤　嘘　正
赤白白　正　正or嘘
白赤赤　嘘　正
白赤白　嘘　→　矛盾
白白赤　嘘　正

＜５＞　Ｄの発言についての分析
５-１　Ｄが嘘つきだった場合
ＢもＣも正直者であることがＤに確定。
「赤白白」しかない。その場合、Ｄには自分の帽子が白だと判ったはずなので、嘘つきなＤが「分かったよ！」と答えるはずがなく矛盾。　
Ｄが正直者であることが確定。

５-２　Ｄが正直だった場合（５-１から確定した仮定）
ＢかＣのいずれか一人が嘘付き。
Ｄが自分の帽子の色が分かるかどうか：
「赤赤＊」：不能　「赤白＊」：不能　「白赤＊」：可能（Ｄ＝赤帽子）「白白＊」：可能（Ｄ＝赤帽子）
正直者のＤが「分かったよ！」と答えたということは、「白赤赤」であるか「白白赤」のいずれか。
よって、Ｂ＝白帽子、Ｄ＝赤帽子。

四人は質問に答える以前から嘘つきが二人と把握している前提で考えます。

そもそも、場が白3赤1以外の場合、わからないが二名必要。

・aが白である以上a自身は断定は不可能。
aは嘘つき。白。
・cの発言が嘘である場合c以外が白でなければならないが、その場合bが嘘をつけない。
cは正直。白。
・bが赤で正直だった場合、dはこれまでの過程で自分が白だと確信できます。なぜなら自分が嘘をつく以上bが正直となるから。
しかし、dは分かったと言っている。
正直三人ではいけない。
bは嘘つき。

b白、d赤

Bは白、Dは赤。
Ａが帽子の色がわかるケースは、ＢＣＤが白帽子で自分が赤だと判断できるときだけである。ところがＡは白帽子をかぶっているため、この時点でＢＣＤの３人は、「嘘つきのひとりはＡである」ということがわかる。さらに嘘つきには自分以外の２人は本当のことを言っていることが分かる。

Ｂが分かったといったのが真である時、ＡＣＤが白帽子で自分が赤と判断したこととなる。
Cが正直の場合ＣにはＢの発言の真偽がわからず、ＡＢＤが白赤白をかぶっているのを見ているため「わからない」と答えることとなる。Ｄは残った一人のうそつきなのでBの発言が真だと分かっているため自分が白帽子だと分かっている。そのため「分かった」と答えるのは矛盾する。
また、Cが嘘つきの場合、Bの発言が真だと分かっており、自分が白だと分かっているため「わからない」と答えているということになる。またDはBCどちらが嘘つきなのか分からないので「３人ともわかっていない」という判断が残り帽子も白赤白を見ているので、自分が白という確信は持てないので「分かった」とは答えられない。
よって、Bが分かったのは偽となる。

Ｂがわかったといったのが偽である時、自分の帽子の色もわかっていない。ＡＢがうそつきなため、Ｃは正直にわからないと言っていることとなり、Ｄは本当にわかったと言っていることとなる。この場合Ｄは、ＡＢＣが白帽子をかぶっているため自分が赤だと判断したということになる。また、３人が白帽子をかぶっているため、色の判断ができるのは自分だけだということも確信できるため、ＡＢが嘘をついていることは既に分かっていることになる。
この場合、Ｂの帽子は白、Ｄは赤となる。

なるほど。そうですね。
ＡＢがうそつきなため、Ｃは正直にわからないと言っていることとなりABDが白でCが赤という可能性が消える。この場合Ｄは、ＡＢＣが白帽子をかぶっている、またはABが白でCが赤をかぶっているの２通りで自分が赤だと確信できる。
この場合、Ｂの帽子は白、Ｄは赤となる。