ちゃんとした解: https://gyazo.com/ab7e6e027ff81db3a12b0b7bfdf32fbd<br><br>略解: nlog[10]x が自然数に近いとき x^n は 10 のべきに近い. x=2,3,...,2017 に対しnlog[10]x が自然数に近ければよい. 自然数からなる十分大きな集合 S を用意すれば, Dirichlet の引き出し論法により k,l∈S (k<l) があって各 x=2,3,...,2017 に対し k&#8901;log[10]x と l&#8901;log[10]x の小数部分がほぼ等しいようにでき, このとき n=l-k は条件を満たす. S のとり方をうまく変えることでこのような n を無限個とれる.<br><br>※ Kronecker の稠密定理を思い起こさせる問題でした. ところで, 「1　≦　N　≦　1.0000000001 * 10^d」に修正すると少なくともこの方法ではうまくいかないのが面白いですね. この場合でも証明可能なのだろうか…？

まず先に大筋の説明(解答にも関係あり)
一言でいうと,クロネッカーの近似定理を用いるわけです.そこで問題になってくるのがQ上線形独立の元の用意をすることです.
今回,対数の底はすべて10としますが,
log(2),log(5)はQ上線形独立でないという部分には注意を要するとおもいました.
この2元は独立ではないのですが,
log(2)+log(5)=1 であるから,
うまい具合に議論ができるわけです.
では解答にうつります.

[事実]
奇素数をいくつか含む有限集合をAとし,
B={log(p)|p∈A}とおけば,B∪{1}の要素すべてはQ上線形独立である.

[事実]
奇素数をいくつか含む有限集合をAとし,
B={log(p)|p∈A}とおけば,B∪{1}の要素すべてはQ上線形独立である.

[証明]
Σ[p∈A]c_p*log(p) = d (d,c_p∈Z, 有理数でないのは分母を払ったから)
であるとき, すべてのp∈Aに対して, c_p=0 となることをいえばよいが,
対数の性質から, Πp^(c_p) = 10^d がいえるので,
左辺の2の指数が0であることから, d=0　がいえて,
さらに素因数分解の一意性から,すべてのp∈Aに対して,c_p=0がいえる.

問題を解くために Aとして2017以下の奇素数全体を取る.

問題の条件をみやすくするために以下のように条件を変形する(本質的ではないので蛇足といえば蛇足だが):
c = 10^(-10) とおく.
1+c = 10^δ を満たすδ＞0を取る
このとき, 1-ε＜10^(-δ) がいえる.
つまり,問題の条件の不等式の部分は,
10^(d-δ)＜Ｎ＜10^(d+δ) とすれば十分.
δ=10ε を満たすεを取る.

クロネッカーの近似定理より,
すべてのp∈Aに対して |n*log(p)-m|＜ε　を満たす自然数m_pを取ることができるような自然数nが取れる(ここは論理記号でかくと紛れないが,同時近似の文脈だから,この定理のことを知っている人ならば,混乱の可能性はないだろう)
2はAの元ではないが,log(2)+log(5)=1 から,
n*log(2)+n*log(5)=n がいえるので,
|n*log(5)-m_5|＜ε　とあわせて,
|n*log(2)-m_2|＜ε　を満たす自然数m_2は必ず取れる.

|n*log(p)-m|＜ε の部分を変形することで,
このとき,2017以下のすべての素数pに対して, 10^(m_p-ε)＜p^n＜10^(m_p+ε) がいえる.

2017以下の正の整数は高々10個の素因数を持つ(重複もカウントする)から,
任意に2017以下の正の整数yを取ってきたとき, y = Πq と素数積に分解したとき,
(たとえば, 12ならば, 2*2*3 というふうに分解する)
y^n = (Πq)^n = Πq^n であるが,
10^(m_q-ε)＜q^n＜10^(m_q+ε) だから,
Π10^(m_q-ε)＜y^n＜Π10^(m_q+ε)
Π10^(m_q+ε)≦10^(10ε+Σm_q)
Π10^(m_q-ε)≧10^(-10ε+Σm_q)
であるから,δ=10ε であること,
および, d=Σm_q とみることで,
10^(-δ+d)＜y^n＜10^(δ+d) となる.
証明ここまで.