ヒミツ

1+X+X^2+･･･+X^n-1 = (X^n-1)/(X-1)
(1)N1は
2~52-1 = 4*(1024)^5-1 = 4*10^15 -1
よって、16桁
(2)N2は
(5^43-1)/(5-1) ≒ 5^43/4
常用対数を取ると
0.7*43-0.3*2 = 29.5
で、30桁

１
１０２４の５乗×４−１
１６けた？
２
（１０００万弱の４乗×１２５−１）÷４
３０けた？

常用対数を使わない(2)
与式 = (5^43 -1)/(5-1) ≒ 5^43/2^2
= (10/2)^43/2^2 = 10^43/2^45
= 10^43/{(2^10)^4*2^5}
≒ 10^43/{(10^3)^4*2^5}
= 10^43/10^12/2^5
= 10^(43-12)/2^5
= 10^31/2^5 = 100*10^29/32
= 3.125*10^29
で30桁

(1)
N₁
Σ[k=1〜52]2^(k-1)
=1*(2^52-1)/(2-1)
=2^52-1

また、2^52の一の位は0でないため、
2^52-1と2^52の桁数は同じ。

よって、N₁の桁数＝2^52の桁数。


＜常用対数を用いた解き方＞
log₁₀2=0.3010 であるとする。

log₁₀2^52
=52*log₁₀2
=15.6520

15＜15.6520＜16　より、2^52は16桁。N₁は16桁。


＜指数関数だけで突破する解き方＞
2^52
=2^(50+2)
=(2^10)^5*4
=1024^5*4

1000^5*4＜1024^5*4＜1100^5*4　・・・�@

ここで、10^5＝100000（6桁）、11^5＝161051（6桁）であるから、
1000^5*4と1100^5*4の桁数はともに16桁である。

�@より、1024^5*4も16桁。N₁は16桁。



(2)
N₂
=Σ[k=1〜43]5^(k-1)
=1*(5^43-1)/(5-1)
=(5^43-1)/4

また、5^43の一の位は0でないため、
(5^43-1)/4と(5^43)/4の桁数は同じ。

最後に4で割られているため、
最高位が4以上の場合、N₂の桁数＝5^43の桁数
最高位が3以下の場合、N₂の桁数＝5^43の桁数-1


＜常用対数を用いた解き方＞
log₁₀2=0.3010 であるとする。

log₁₀5
=log₁₀10-log₁₀2
=0.6990

30＜30.0570＜31より、5^43は31桁の数。

また、これの小数部分0.0570について、
0＜0.0570＜0.3010　すなわち、log₁₀1＜0.0570＜log₁₀2　であるから
最高位は１であり、これは3以下の数である。

よって、5^43は30桁。N₂は30桁。

(1) N1 ＝ 2^52 − 1
2^10 ＝ 1024 なので、 2^10≒1000と近似すると、
2^52 ＝ 2^2 × 2^50 ≒ 4 * 10^15。N1は16桁

(2) N2 ＝ (5^43 − 1)÷4。
5^10 ＝ (10^10 ÷ 2^10) であるから、前問で使った近似を利用すると5^10 ≒ 10^7とすることができる。
5^43 ≒ 5^3 * 10^28 ＝ 125 * 10^28なので、N2 ≒ 31.25 * 10^28。N2は30桁

ヒミツ

(1)　16桁
　N1＝2^52-1
　2^10 = 1024 >10^3 なので
　2^50>10^15 ∴　N1 > 10^15
　2^13 = 8192 >10^4　なので
　2^52>10^16 ∴　N1 < 10^16
　

(2)　答：30桁

N2＝1＋5＋...＋5^42 = 5^43 / (5-1)
N2 = (10^43) / (2^45)
2^45 の桁数を求める問題に帰着する。

下を抑える
2^10 = 1024 > 10^3 より
2^45 = 2^40 * 2^5 > 10^12* 32 > 10^13

上を抑える
2^13 = 8192 < 10^4 より
2^39 < 10^12
2^6 = 64 < 10^2 より
2^45 < 10^14

10^13 < 2^45 < 10^14
∴　10^29 < N2 < 10^30