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和の桁数
難易度:
★★
ぼやき餅
2016/10/22 13:13
問題
(1) 自然数N
1
を以下の式で定めるとき、N
1
の桁数を求めよ。
N
1
=1+2+2
2
+2
3
+...+2
51
(2) 自然数N
2
を以下の式で定めるとき、N
2
の桁数を求めよ。
N
2
=1+5+5
2
+5
3
+...+5
42
(参考・東京工業大学)
常用対数表を使ってもよいですが、使わなくても解けます。
※常用対数表を使ったと明記された解答は、別解扱いとなります。
【
(1) 16桁
(2) 30桁
】
回答募集は終了しました。
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No.1
ヒミツ
空気読めない人
2016/10/22 13:58
大体このぐらい
ぼやき餅
(1) 惜しいです。誤りの原因は3行目にあると思われます。
(2) もっと大きいです。
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No.2
1+X+X^2+・・・+X^n-1 = (X^n-1)/(X-1)
(1)N1は
2~52-1 = 4*(1024)^5-1 = 4*10^15 -1
よって、16桁
(2)N2は
(5^43-1)/(5-1) ≒ 5^43/4
常用対数を取ると
0.7*43-0.3*2 = 29.5
で、30桁
まいすた
2016/10/22 14:30
(2)は常用対数をつかったけど、別解法があるんですよね。
ぼやき餅
正解です
(説明が厳密でない部分もありますが)
常用対数
表
を使わなくても解けます。
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No.3
1
1024の5乗×4−1
16けた?
2
(1000万弱の4乗×125−1)÷4
30けた?
空気読めない人
2016/10/22 16:21
訂正
ぼやき餅
正解です
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△
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No.4
常用対数を使わない(2)
与式 = (5^43 -1)/(5-1) ≒ 5^43/2^2
= (10/2)^43/2^2 = 10^43/2^45
= 10^43/{(2^10)^4*2^5}
≒ 10^43/{(10^3)^4*2^5}
= 10^43/10^12/2^5
= 10^(43-12)/2^5
= 10^31/2^5 = 100*10^29/32
= 3.125*10^29
で30桁
まいすた
2016/10/22 16:55
常用対数を使わない(2)はこれで・・・
ぼやき餅
本解とは異なるやり方になります
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No.5
(1)
N₁
Σ[k=1〜52]2^(k-1)
=1*(2^52-1)/(2-1)
=2^52-1
また、2^52の一の位は0でないため、
2^52-1と2^52の桁数は同じ。
よって、N₁の桁数=2^52の桁数。
<常用対数を用いた解き方>
log₁₀2=0.3010 であるとする。
log₁₀2^52
=52*log₁₀2
=15.6520
15<15.6520<16 より、2^52は16桁。N₁は16桁。
<指数関数だけで突破する解き方>
2^52
=2^(50+2)
=(2^10)^5*4
=1024^5*4
1000^5*4<1024^5*4<1100^5*4 ・・・@
ここで、10^5=100000(6桁)、11^5=161051(6桁)であるから、
1000^5*4と1100^5*4の桁数はともに16桁である。
@より、1024^5*4も16桁。N₁は16桁。
(2)
N₂
=Σ[k=1〜43]5^(k-1)
=1*(5^43-1)/(5-1)
=(5^43-1)/4
また、5^43の一の位は0でないため、
(5^43-1)/4と(5^43)/4の桁数は同じ。
最後に4で割られているため、
最高位が4以上の場合、N₂の桁数=5^43の桁数
最高位が3以下の場合、N₂の桁数=5^43の桁数-1
<常用対数を用いた解き方>
log₁₀2=0.3010 であるとする。
log₁₀5
=log₁₀10-log₁₀2
=0.6990
30<30.0570<31より、5^43は31桁の数。
また、これの小数部分0.0570について、
0<0.0570<0.3010 すなわち、log₁₀1<0.0570<log₁₀2 であるから
最高位は1であり、これは3以下の数である。
よって、5^43は30桁。N₂は30桁。
yard
2016/10/22 18:51
一つ目/2つ目のNとか、常用対数とか、そういうのを表すのに下付きの数字(環境依存文字)
使っちゃってますが読めますかね…
常用対数表無しで(2)解ける気がしない
ぼやき餅
説明まで完璧です
(1)と(2)を独立した設問でなく、1つの大きな大問と捉えると、
常用対数表を使わない解法が思いつくかも
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No.6
(1) N1 = 2^52 − 1
2^10 = 1024 なので、 2^10≒1000と近似すると、
2^52 = 2^2 × 2^50 ≒ 4 * 10^15。N1は16桁
(2) N2 = (5^43 − 1)÷4。
5^10 = (10^10 ÷ 2^10) であるから、前問で使った近似を利用すると5^10 ≒ 10^7とすることができる。
5^43 ≒ 5^3 * 10^28 = 125 * 10^28なので、N2 ≒ 31.25 * 10^28。N2は30桁
みれい
2016/10/22 23:29
厳密ではありませんが…
ぼやき餅
正解です
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▽
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No.7
ヒミツ
伊藤那由多
2016/10/23 07:42
ただし11^5の値は計算できるものとする
ぼやき餅
(1) 正解です
(2) はもっと小さいです。
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No.8
(1) 16桁
N1=2^52-1
2^10 = 1024 >10^3 なので
2^50>10^15 ∴ N1 > 10^15
2^13 = 8192 >10^4 なので
2^52>10^16 ∴ N1 < 10^16
たっくん4
2016/10/29 16:36
ぼやき餅さん、ごぶさたでした。
挨拶代わりに(1)のみ…と書いてから答えを書きます。
暗算でもなんとかなるに違いない、いかにも良問っぽいから
ぼやき餅
正解です
解き方も本解と全く同じという
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No.9
(2) 答:30桁
N2=1+5+...+5^42 = 5^43 / (5-1)
N2 = (10^43) / (2^45)
2^45 の桁数を求める問題に帰着する。
下を抑える
2^10 = 1024 > 10^3 より
2^45 = 2^40 * 2^5 > 10^12* 32 > 10^13
上を抑える
2^13 = 8192 < 10^4 より
2^39 < 10^12
2^6 = 64 < 10^2 より
2^45 < 10^14
10^13 < 2^45 < 10^14
∴ 10^29 < N2 < 10^30
たっくん4
2016/10/29 18:34
(2)です。大学入試らしく(1)のパートを使ってみました
ぼやき餅
正解です
2の累乗に帰着するとは流石です
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No.10
ぼやき餅
2016/11/07 18:06
そろそろ解答公開をさせていただきます
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No.11
ぼやき餅
2016/11/08 20:23
解答公開をしました。
(解説)
(1) N
1
=2
52
ー1
10
15
<4×10
3×5
<2
2
×1024
5
=2
52
2
52
=2
13×4
=8192
4
<10
16
よって 10
15
=<N
1
<10
16
より、16桁。
(2) (1)解説の2行目と3行目の不等式を利用すると、以下の不等式を得る。
log
10
(4×10
15
)<log
10
(2
52
)<log
10
(10
16
)
これを変形すれば、log
10
(2) と log
10
(5) の値の範囲がわかります。
N
2
の末尾は0でないので、
5
43
/4 の整数部分の桁数を調べればよいです。
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No.12
ぼやき餅
2016/11/19 16:42
そろそろロックしまーす。
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