ケース1と3はあり得ないのではないでしょうか。

手番が変わるのはペアが作れなかったときだけですので、
Y氏からX氏に手番が変わったタイミングでは、
少なくとも2枚の既知のカードがあると思うのですが。

X氏の手番になってからカードをめくってペアを作った後の状況だとすれば可能ですが、
それだと問題としてあまり意味がないと思いますね。

1/3

1/2

計算式
最初にJを引いて勝つ確率
2/4 * 1/3
最初にQまたはKを引いて勝つ確率
2/4 * (1/3 + 2/3 * 1/2)

合計すると1/2

ケース1
Ｘ氏が開ける場合Ｘ氏勝利
この手番で外れる場合Ｙ氏７ペアとなりＹ氏勝利
よって確率１／３
ケース２
Ｘ氏が既知以外４枚からＱＫどちらか開ける確率２／４この場合６−５となる。更に既知と同じマークを開ける確率１／３この場合Ｘ勝利（全体で確率１／６）
既知以外開ける確率２／３この場合１／２でＸ勝利（全体で確率１／６）
ＸがＱＫ以外開ける場合次にＱＫいずれか開ける確率２／３この場合Ｙはそのマーク開ける→Ｘ５Ｙ６そのままＹ１／２で勝利Ｘ勝利全体で１／６
Ｘが２枚目で６対５→１／２で勝利（全体で１／６）
よって２／３

問1（ケース1）
ｘさんがペアを作れる確率は、2/C(4,2)＝1/3
ここでペアができないと、次の番でｙさんが2枚のうちいずれかの
カードを引いて100％ペアを作れるため、ｘさんは負ける。
答え　1/3


問2以降に取り掛かる前に
カードの引き方は最大4通り考えられる。　1通り（B`）を除き、上からパターンA,B,Cとする。

A：2枚とも既知のカードを取る
（既知のカードは増えない　両者にとってこれが最善手の場合、千日手となる→問4の手がかり？）
B：1枚目は未知のカード、2枚目は既知のカードを取る
（1枚目のカードと既知のカードでペアが作れる場合か、2枚目の未知のカードが揃わないと踏んだ場合）
B`：1枚目は既知のカード、2枚目は未知のカードを取る
（相手にヒントを1つ与えるだけである。合理的ではないため考慮せず）
C：2枚とも未知のカードを取る
（1枚目のカードから確実にペアを作ることは出来ないが、2枚目の未知のカードが揃うと踏んだ場合）


問2
2枚とも未知のカードの記号をJとする。

（・パターンAを行った場合、ｘさんとｙさんの状況が逆転するだけ）

・未知のカードを取ってそれがQorKであり、ペアを作ったとする（パターンB）
　次のターンは、1/3の確率でQorK（前ターンで揃わなかった方）を引く　この場合ｘさんの勝ち
　2/3の確率でJを引いた後は、未知の2枚のうちどちらかはJなため1/2の確率でｘさんの勝ち

・未知のカードを取ってそれがJであったとする
　パターンBを行うと、6枚中3枚既知の状態でｙさんのターンになるためｘさんの負け
　パターンCを行い、Jを引き当てる確率は1/3　この場合残り2ペアも揃うためｘさんの勝ち
　パターンCを行い、Jを引かない確率は2/3　この場合6枚中4枚既知の状態で
　　ｙさんのターンになるためｘさんの負け

この中から合理的な方法を抽出して確率を求めると、計算式はこんな感じ
1/2×（1/3+2/3×1/2）+1/2×1/3
＝1/3+1/6＝1/2

パターンAを行っても、ｙさんの勝つ確率は1/2と、変化なし
答え　1/2


問3
2枚とも未知のカードの記号をQ,Kとする。

・既知のカードが1枚しかないので、パターンAは不可

・未知のカードを取ってそれがJであったとする
　パターンBを行うと、ここからは問1の状態と同じである。　1/3の確率でｘさんの勝ち

・未知のカードを取ってそれがQorKであったとする（どちらの記号を取っても以降の考え方は
同様であるので、ここではQを取ったとする）
　パターンBを行うと、ｙさんから見て問2の状態と同じになる。　1/2の確率でｘさんの勝ち
　パターンCを行い、Qを引き当てる確率は1/4
　　次のターンは、1/3の確率でJを引く　この場合ｘさんの勝ち
　　2/3の確率でKを引いた後は、未知の2枚のうちどちらかはKなため1/2の確率でｘさんの勝ち
　パターンCを行い、Kを引く確率は1/2　この場合6枚中3枚既知の状態で
　　ｙさんのターンになるためｘさんの負け
　パターンCを行い、Jを引く確率は1/4　この後ｙさんがJを取り、そこからｙさんは
　　1/3の確率でQを引く　この場合ｙさんの勝ち
　　2/3の確率でKを引いた後は、未知の2枚のうちどちらかはKなため1/2の確率でｙさんの勝ち

この中から合理的な方法を抽出して確率を求めると、計算式はこんな感じ
（細かい分数計算すると、未知のカードを取った後はパターンBを行う方が勝率が高くなった
パターンCの場合分けの労力…）
1/5×1/3+1/2×4/5
＝7/15

答え　7/15



問4
これまでの計算で疲れたので、パターンAも考慮しつつ直感で。
場に残り10枚、うち3枚が既知、ここまでの獲得ペア数が4対4

ケース１＝１／３

・残りが４枚なので一組揃えれば自動的に二組目も揃って勝利
・一枚目にめくるカードと二枚目のカードが同じ確率は１／３
・Ｘ氏が外した場合はＹ氏がＱＫ一枚ずつ既知になりＹ氏は未知のカードをめくれば勝利
・つまりＸ氏の勝率は１／３
・パスも既出二枚をめくって手番を渡すことも出来ないので（勝利確率１／２未満でも）未知のカードを二枚めくるしかないので１／３

1/3

計算式
最初にJを引いて勝つ確率
1/5 * 1/3
最初にQまたはKを引いてそのターンで全部とって勝つ確率
4/5 * 1/4
最初にQまたはKを引いて次にJを引いて相手のターンになった後自分に回ってくる確率
4/5 * 1/4 * 1/3

合計すると1/3

問１：１／３、問２：１／２、問３：７／１５
なお、問４は、抽象的には、両者にとって勝者となる確率が１／２未満であって、既知のカードが２枚以上あり、両者がリスクを恐れて既知のカードを２枚めくる場合に生じると思います。問２の場合でも両者がリスクを避けるなら、あり得る。

7/15

計算式
最初にJを引いて勝つ確率
1/5 * 1/3
最初にQまたはKを引いたら、わざと既知のJを引いて、相手に問２の状態で渡す。
4/5 * 1/2

合計すると7/15

このケースも考えていたのですが、計算違いで>>8と同じになると思っていました。

これが正しい戦略なのですね。目から鱗です。

場にあるカードが4枚の時、1組のペアを獲得することができれば、もう1組の自明なペアも獲得することができる。
ケース1〜3のいずれにおいても、X氏もY氏も2組取れば確実に勝利できるので、最後の2組を獲得した側が勝利することになる。

【補題】
(a) 全てのペアが、「2枚のうち少なくとも1枚は既知」であれば、手番者は残り全てのペアを獲得することができる：
まず、2n枚のカードの中から、ランク(数字)が互いに異なるように既知のカードからn枚集め、集合Aを作る。
これで全てのペアは、「集合Aに属すカード」と「集合Aに属さないカード」のペアとなる。

手番者は、集合Aに属さないカードから1枚選び、めくる。
ここで何がめくられたとしても、それとペアになるカードは集合Aにあり、
集合Aのカードはすべて既知であるため、必ずペアを成立させることができる。
これを繰り返すことで場のカードを取り尽くすことができる。


(b) 残り4枚で、公開済みのカードが1枚なら、手番者が残りのペア2組を取れる確率は2/3
┣既知のカードからめくった場合、<ケース1>の1枚目をめくった直後と同じ状況になるので、勝率は1/3。
┃
┣未知のカードからめくった場合、
┃├→1/3の確率で、既知のカードと同じランクのカードをめくり、ペア成立。勝利確定。
┃├→2/3の確率で、未知のカードをめくり、
┃│　├→1/2の確率で、ペア成立。勝利確定。
┃│　└→1/2の確率で、ペア不成立。相手番に状態(a)となり敗北確定。
┃└☆この選択に対する勝率は[ (1/3)*1 + (2/3)*(1/2)*1 ] = 2/3
┃
★この場合は、未知のカードからめくるのが最善で、そうした時の勝率は2/3である。


【本題】
ケース1
┠→1/3の確率で、ペア成立。2組取って勝利確定。
┠→2/3の確率で、ペア不成立。相手番に状態(a)となり敗北確定。
★ケース1の勝率は1/3である。


ケース2
┣既知のカードを2枚めくる場合、手番者が入れ替わるだけなので、割愛。
┃
┣既知のカードからめくった上で、未知のカードをめくる場合
┃├→1/4の確率でペアが成立し、状態(b)になる。勝率は2/3
┃├→1/4の確率で、既知のランクを晒してペア不成立、相手番に状態(b)となるので、勝率は1-(2/3) = 1/3
┃├→2/4の確率で、最後の1種類のランクを晒してペア不成立。相手番に状態(a)となり敗北確定。
┃└☆この選択に対する勝率は[ (1/4)*(2/3) + (1/4)*(1/3) ] = 1/4
┃
┣未知のカードからめくる場合、
┃├→1/2の確率で、KかQをめくり、ペアを成立させることができる。状態(b)になるので勝率は2/3
┃├→1/2の確率で、未知のランクのカードをめくり、
┃│　├→1/3の確率で、ペア成立。状態(a)となり勝利確定。
┃│　└→2/3の確率で、ペア不成立。相手番に状態(a)となり敗北確定。
┃└☆この選択に対する勝率は[ (1/2)*(2/3) + (1/2)*(1/3) ] = 1/2
┃
★ケース2は、未知のカードからめくるのが最善で、そうした時の勝率は1/2である。


ケース3
┣未知のカードからめくる場合、
┃├→1/5の確率で、Jをめくり、
┃│　ペアを成立させると<ケース1>、外すと相手番で状態(b)になるので、どちらを選んでも勝率は1/3。
┃├→4/5の確率で、未知のランクのカードをめくり、
┃│　├既知のJをめくって相手に手番を渡した場合、相手番で<ケース2>となるので、勝率は1/2。
┃│　├未知のカードをもう1枚めくることにすると
┃│　│　├→1/4の確率で、ペアが成立。状態(b)となり、勝率は2/3。
┃│　│　├→1/4の確率で、Jを晒してペア不成立。相手番に状態(b)となり、勝率は1/3
┃│　│　├→2/4の確率で、最後の1種類のランクを晒してペア不成立。相手番に状態(a)となり敗北確定。
┃│　│　└☆この選択に対する勝率は [(1/4)*(2/3) + (1/4)*(1/3)] = 1/4。
┃│　└★2枚目に既知のJをめくる方が勝率が高く、勝率は1/2。
┃│
┃└☆この選択に対する勝率は [(1/5)*(1/3) + (4/5)*(1/2)] = 7/15。
┃
┣既知のJからめくる場合、
┃├→1/5の確率で、Jのペア成立。<ケース1>となり勝率は1/3。
┃├→4/5の確率で、未知のランクを晒してペア不成立。相手に<ケース2>を渡すことになるので、勝率は1/2。
┃└☆この選択に対する勝率は [(1/5)*(1/3) + (4/5)*(1/2)] = 7/15。
┃
★ケース3は順序を問わず、「2枚のうち1枚は既知のJをめくる」が最善で、そうした時の勝率は7/15である。

場に残り１０枚、うち４枚が既知、ここまでの獲得ペア数が４対４
未知のカードをめくった場合の勝利確率は2/5なので、既知のカード同士をめくって相手に同じ状態で渡すのが最善手となり千日手になる。

未知のカードをめくった場合の勝利確率
めくったカードが既知のカードのいずれにも一致しない場合には、二枚目に同じ数字のカードをめくることが勝利条件
2/6 * 1/5
めくったカードが既知のカードと一致する場合
4/6 * (2/5 * 1/4 + 3/5 * (2/4 * 1/3 + 2/4))

ケース1でX氏が勝者となる確率は1/3

ケース1
残りをＫとＱとする。（Ｋ・Ｋ'・Ｑ・Ｑ'）
任意の２枚を引くとき、その組合せは6通り。
�@Ｋ・Ｋ'
�AＫ・Ｑ
�BＫ・Ｑ'
�CＫ'・Ｑ
�DＫ'・Ｑ'
�EＱ・Ｑ'
Ｘ氏の勝ちは�@�Eの場合だけ。
外せば、Ｙ氏のターンで既知のＫＱで２ペアとも取られてしまいます。
よって、確率は2/6＝1/3

ケース2の場合、X氏が勝者となる確率は1/2
ケース3の場合、X氏が勝者となる確率は7/15

ゲームが終わらない状況の一例。
場に残り8枚、うち3枚が既知で1組のペアを含む、獲得ペア数は4対5または5対4。

ケース２　残念ながら私では計算不能・・・

「残り四枚で手番のプレーヤーの勝利確率」※四枚になった時点ではどちらも七組に達していないものとします。
※　○-△＝○枚中△枚既知　+は既に一枚めくっているケース

4-0　１／３＝ケース１

4-1　２／３
「未知をめくる」
a：既知の数字（１／３）＝揃えて自動的に残りも揃い勝利（１／３）
b：未知の数字（２／３）＝残りの未知をめくり揃う（＝１／２）と勝利（２／３*１／２＝１／３）→a+bで２／３

4-1+　１／３＝ケース１から一枚めくったのと同じこと
（4-1から既知をめくってもこのケースになるが勝率で劣るので除外）

4-2　３／３　未知二枚とも既知の数字なのでどっちを引いても揃えて自動的に二組獲得

4-2+　１／２　4-1から未知を一枚めくり、未知の数字だったケースに等しい
（4-2から既知をめくってもこのケースになるが、勝率で劣るので除外）

ケース２の状況は５組：５組で6-2、6-2+の二通りありえると仮定して・・・

・6-2+の場合
「既知をめくる」＝6-2で相手の手番（この後6-2の勝率を計算するので1引くそれ）
「未知をめくる」　１／４
a：揃う（１／４）＝4-1になる（１／４*２／３＝２／１２）
b：めくってないほうの既知の数字（１／４）＝既知のペア+4-1で相手の手番→相手が4-1（１／４*１／３＝１／１２）
c：未知の数字（２／４）＝6-3で相手の手番＝負け
a+b＝１／４が勝率

・6-2の場合　１／２
「既知をめくる」＝6-2+と同じ
「未知をめくる」
a：既知の数字（１／２）
揃えると4-1（＝２／３）→１／２*２／３＝２／６
※　揃えずにＹ氏に手番を渡してもＹ氏が揃えて4-1なんで自分が4-1で手番の方が勝る
b：未知の数字（１／２）
「未知をめくる」
ba：揃う（１／３）＝4-2になる（勝利）
bb：揃わない（２／３）＝残り三種すべて既知となりＹ氏へ→総取りされて負ける

a+ba＝１／２が勝利確率
※一見、１／２は相手に渡しても構わないように思えるが、それなら最初からゲームをするべきではないのでＮＧ

つまり勝率は（6-2+になる確率*１／４）+（6-2になる確立*１／２）だと思うのですが、それが私には計算できません（TT）

こういうときはどちらかが起こりえないと助かるんですが・・・

6-2+は6-1（＝ケース３）から未知をめくり、未知の数字だったケースなので>>2とのやりとりにより起こりうる。

仮に５組同士6-2が起こりえないとしても証明出来ません。
（むしろ凄く時間をかければ起こりうることを証明出来てしまいそうな気が・・・）

ケース３　７／１５

やはり○-△（○＝残り枚数、△＝既知枚数）　+は既に一枚めくっている状況

ケース３も6-1+　6-1を検討

・6-1+（未知しかめくるカードがない）　７／１５
a：揃う（１／５）　4-0（１／３）になる＝１／５*１／３＝１／１５
b：揃わない（４／５）　6-2でＹ氏へ（１／２）＝４／５*１／２＝２／５
a+b＝７／１５が勝率

・6-1
「既知をめくる」＝6-1+＝７／１５

「未知をめくる」　７／１５
a：既知の数字（１／５）　１／１５
aa：揃える（元々既知のカードをめくれば100％）＝4-0（１／３）
ab：揃えない（未知のカードをめくれば100％）＝既知のペア＆4-1でＹ氏（１／３）
１／５*aaまたはabで１／１５

b：未知の数字（４／５）　２／５
ba：元々既知のカードをめくる＝6-2でＹ氏＝１／２
bb：未知をめくる　１／４
bba：揃う（１／４）＝4-1（２／３）　１／４*２／３＝２／１２
bbb：既知の数字で揃わない（１／４）＝既知のペア＆4-1でＹ氏（１／３）１／４*１／３＝１／１２
bbc：未知の数字で揃わない（２／４）＝三種類とも既知でＹ氏＝負け　0
bba+bbb＝１／４が勝率

ba＞bbなのでbaを選択して１／２、*４／５で２／５

まずケース３は>>2のやり取りの通り一組以上揃えてこの局面を迎えている。
（8-2など途中で既知が二枚（種類）以上あれば手渡し可能だった）

a+b＝７／１５

6-1でも6-1+でも７／１５なのでケース３は７／１５
（１／２より低いけど、6-1または6-1+で手渡しは不能）