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神経衰弱は神経戦だ
難易度:★★  
?たっくん4 2016/10/07 16:02
X氏とY氏2人で
トランプのハートとスペードだけ(全26枚)を使って神経衰弱を行っています。
都りつ取られつの接戦のまま終盤戦、手番はX氏です。

ケース1:場に残り4枚、うち正体が既知の(=過去に開かれた)カードはなし。獲得ペア数はX氏がリード(6対5)

ケース2:場に残り6枚、うち既知のカードは2枚(KとQ)。獲得ペア数は同点(5対5)

ケース3:場に残り6枚、うち既知のカードは1枚(J)。獲得ペア数は同点(5対5)


問1〜3: X氏が勝者となる確率は、ケース1・2・3においてそれぞれいくつでしょう。

詳細条件(通常の神経衰弱ルールですので、読まなくても解けます):
・手番で場にカードがあれば、カードを必ず2枚めくらないとなりません(パス不可)。
・めくった2枚がペアの場合、手番は引き続き変わりません(変われません)。
・場にカードがなくなった時点で、獲得ペア数が多いほうが勝利でゲーム終了。
 勝者は敗者から1ドルを受け取ります。
 獲得ペア数の差の大きさは一切問題になりません。
・X氏とY氏、二人とも合理的に(金銭的効用を高める事だけを目的に)プレイします。
・X氏とY氏、二人とも記憶力は完璧であり、それを相互に認識しています。
・カードめくりには運以外の要素は一切ありません。

問4(超発展問題): 
  このゲームは、進行具合によって、ゲームが終わらない状況が発生します。
  それはどのような状況でしょう。
 (場に残り*枚、うち*枚が既知、ここまでの獲得ペア数が*対*)でお答えください。
  該当するケースはいくつかあります

 10/17朝までに意図解の公開予定です 
 意図解を公開しました 10/17 12:00
Answer答え
問1: 残4既0= 勝率1/3(約33%)
 最初に引いたカードとペアを引けば(確率1/3)勝ち。
 外れたら、全ての数が既知になるので、相手に全部取られて負け。
 自分の手番で全ての数を開くようなめくりはたいていの場合不利で、この場合、パスできるならパスするのが正しい戦略。(それだとお互いパスでゲームは終わらない)

続く問題を解くには、残4既1の勝率を先に計算しておくと便利。
・「最初に既知のカードを引き当てる」(確率1/3)か
・「最初に引いたカードがはずれ、続けて同じ数を引く」(確率1/3)
の2例であるので、勝率2/3(66.7%)。

問2: 残6既2(非ペア)= 勝率1/2(50%)
 最初にKかQを引けば(確率1/2)、残4既1で勝率2/3.
 最初にそれ以外を引けば(確率1/2)、続けて同じ数を引かない限り勝てないので勝率1/3.
 1/2*2/3 + 1/2*1/3 = 1/2 
 自分の手番で全ての数を開くようなめくりだが、確率50%なら勝負しても損は無い。
ただし得も無いので、ここで既知のKとQを引いて実質パスするのも正解手順。 

問3: 残6既1= 勝率7/15(約47%)
 最初にJを引いたら(確率1/5)、残4既0になって、勝率1/3.
 最初にそれ以外を引いた場合、Jを引いてわざと外して残6既2にするのが得策。
 相手の勝率1/2なので、自身の勝率も1/2。
  1/5*1/3 + 4/5*1/2 = 7/15
 素直に続けて裏返しのカードをめくる戦略を取ると、この期待値を下回る。(勝率4/15、約27%)

 これも、最初からパスできればパスするのが正しい戦略。(お互いパスでゲームは終わらない)
 奇策のようだが、最初からJを引いてしまうのも戦略的には正解と同じ効果を持つ。

問4:
 お互いがパスをできるならパスが有利な状況で、既知のカードの中にペアでない2枚が存在する場合、非ペアをわざと引くことで、実質パスが可能となる。
  例:残26既12(0-0の同点)、等。
 未知の裏返しカードをめくってチャレンジした場合、
 ・既知カードにある数を引き当てても(残24既11)、特に有利にはならない(ほとんど勝率は変化しない)。
 ・最初に今まででていない数を引いてしまったら、続けてペアができれば即勝利だが、できなかった場合即敗戦。
  ペアができる確率は、残26既12の場合、わずか1/13。できない確率は12/13。 
  チャレンジは非合理的。
 
 参考まで、場のカードが一番残り少なくてこの「二人とも非ペアをわざと引いて実質パス」
 状況が生じるのは、残10既4(4-4の同点)。

【考察】残26既12 一般式としては残2n既n-1 において、めくりをチャレンジし続けて勝つ確率の計算方法の考え方:
 残り14枚のめくる順番を1番目から14番目まで定める。まだ見えていないカードをAとすると、勝てるのは、(1)2枚のAが連続している場合(全手の数が開かれた段階で手番が来る)(2)Aが最初の7枚にない場合(そこまでで7連勝、その後に負けてもOK)
 (1)が13通り、(2)が21通り、(1)(2)を同時に満たすのが6通りで、勝つ場合は 13+21-6 =28 通り、全部で91通りなので 28/91 =4/13 約31%。 チャレンジは非合理的。
参考まで、
残8既3(1点リード)=50%、チャレンジ可。
残10既4(同点)=6/15、パス。
残10既4(2点リード)=8/15、チャレンジすべき。
残14既6(2点リード)=13/28、パス。
残20既9(3点リード)=25/55、パス。
いずれもリードされてる側の勝率は当然これより低いので、リードしている側がパスならお互い手詰まりになります。最後の例では、最初の3ペアを続けて取られても、ハズレが多ければ、パス合戦に持ち込める可能性があるということです。 
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