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 つりあいの位置
難易度：★★
 あれれ
2016/09/16 12:38
長さ1メートルの糸の両端を結んで輪にし、
その一箇所に100グラムの錘を接着して、ネックレスのようなものを作りました。 これを壁にささっている二本の釘A,Bの両方にかけました。  A,B間の距離は40cmです。 手を離すと、糸が滑ってちょっと動いた後、安定して動かない状態になりました。 このときの錘の位置をCとします。 図のA,Bの位置、水平な線(地面)を基に点Cの位置を作図するにはどうすればいいでしょうか。 目盛りのない定規、コンパスを使って作図するものとします。 糸や釘の太さ、糸の伸び縮み、錘や結び目の大きさ、摩擦などは無視してください。 --- 9/20追記 Cの位置はA,Bの中点の真下になると考えている人が多いようですが、 そうではありません。 Cの条件は力学的に考えれば簡単に分かると思います。 作図も簡単です。 CがA,Bの中点の真下の場合も、ちょっと面倒ですが作図は可能ですね。 というわけで、こちらは発展問題として出題します。 発展問題★★★ A,Bの中点をOとします。 OCが地面に対して垂直になるとした場合、 Cの位置を作図するにはどうすればよいでしょうか。 ※作図方法についてはあまり細かく書く必要はありません。 線分の垂直二等分線をひく、中点を求める、ある点を通って地面に垂直な線をひく、 等は説明なしで使って構いません。
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回答募集は終了しました。
あれれ
あれれ
説明は結構面倒ですね。
★を1個増やしておきます。
あれれ
仮にA,Bが同じ高さだった場合、
CはA,Bの中点の30cm下に位置することになると思われますが、 このとき糸の長さを(cmで)計算してみると、 40+2√(20^2+30^2)=112.11… となり、1メートルにならないですね。
あれれ
途中は読み飛ばしてしまいましたが・・・
錘が移動しうる範囲を円弧としている時点で間違っていますね。 AC+BCの長さが一定であるのは明らかですから、楕円の一部です。
あれれ
点Cの位置はそこではありません。
その位置の場合の作図も正しくないと思います。 たぬきおやぢさんも同じ位置だと思っているみたいなので、 こちらも問題にしてしまおうと思います。
あれれ
30cmはどうやって計るのでしょうか。
A,Bから30cmの点は2つありますが、どちらを使うのでしょうか。 オフセットとはどういう意味なのでしょうか。 説明願います。 
あれれ
そのとおり！正解です。
Aの方が地面に近いという仮定は不要と思います。 点Dは2つの交点のうち下の方ですね。 ちなみに、ABの中点の真下という考えが間違っているのは、 糸の長さが80cmの場合を考えれば明らかです。 A,B間の距離は40cmです。とあるので、コンパスで中点を、これが20ＣＭもう一回中点で、10ＣＭ、30ＣＭの長さがわかる。この長さをコンパスで拾って、A点B点から下方に円弧をを書いて、交わる点を、C'点とする。
線分ABと並行するC'点を通る線分A'B'を書く。 O点を通る地面から垂線を書く。交点がＣ。 
No.8 すいません。
あれれ
A,Bを通る直線との距離がある値である平行線をひいて、
Oから下ろした垂線との交点を求めるということですね。 ABが垂直の場合には交点はありません。 この状態からほんの少し傾けるとCの位置は遥か彼方。 糸の長さが1メートルを超えるのは確実ですね。
ヒントでーす。
糸の張力や錘の位置エネルギーに注目すれば、釣り合いの位置の条件は分かると思います。 発展問題は要するに楕円と直線の交点を定規とコンパスだけで作図せよということですね。 楕円自体は描けませんので、[円または直線]と[円または直線]の交点として求めないといけません。 楕円のある特徴を使えば可能です。
あれれ
正解です。
60cmをどうやって計るかは書いてありませんでしたが、おまけしておきます。
まずは基本的な作図方法を一応書いておきます。
・線分ABの垂直二等分線の描き方 Aを中心にBを通る円、Bを中心にAを通る円を描き、 その2つの交点を結ぶとABの垂直二等分線になります。 このときABとその垂直二等分線の交点はA,Bの中点です。 ・点Aを通り、直線Lに垂直な直線の描き方 Aを中心にして、Lと交点を2つ持つ適当な大きさの円を描きます。 その円がLから切り取る線分の垂直二等分線が求める直線です。 ・点Aを通り、直線Lに平行な直線の描き方 直線L上の任意の点から直線Lに垂直な直線を描きます。 Aからその直線に垂直な直線を描けばよいです。 A,B,Lは任意の点と直線にすることができます。 AP+BP=60(cm)となる点Pの集合はA,Bを焦点とする楕円です。 錘はこの楕円上の点です。 以下楕円といえばこの楕円を指すものとします。 では、問題の答えです。 糸の張力に注目すると、錘をCAの方向に引っ張る力の大きさとCBの方向に引っ張る力は等しいことが分かります。 それらの水平成分の大きさが等しくないといけませんので、ACとBCの地面に対する角度は同じです。 角ACBの2等分線は地面に垂直だということです。 楕円のCにおける接線が地面に平行ということでもあります。 また、錘の位置エネルギーに注目すると、錘は位置エネルギーが最小の位置です。 つまり、地面からの高さが最も低くなる位置に来ることが分かります。 このことからも楕円のCにおける接線が地面に平行ということが分かります。 A,B間の距離は40cm。 A,Bの中点を求めれば20cmが測れますので、60cmも測れます。 Bを中心に半径60cmの円を描きます。 この円と、Aを通り地面と垂直な直線との交点2つのうち、下のものをPとします。 APの垂直二等分線とBPの交点がCです。 発展問題について。 楕円と直線の関係を円と直線の関係に変換してやればよいです。 楕円はある方向に何倍かすると円になります。 楕円と直線に対してその変換を行った円と直線は作図可能です。 その交点について逆の変換を行えば、元の楕円と直線の交点になります。 線分ABを延長してできる直線をX軸、Oを通りx軸と直交する直線をy軸とします。 まず、楕円とx軸、y軸との交点を求めましょう。 一般化するためにd=(AP+BP)/2、e=AB/2としておきます。 A(-e,0)、B(e,0)です。 楕円の長径、短径をそれぞれa,bとします。 楕円とx軸の交点をD(-a,0)、E(a,0)とします。 AD+BD=(a-e)+(a+e)=2a=2dなので、a=dです。 Oを中心とする半径dの円とx軸の交点がD,Eです。 楕円とy軸の交点をF(0,-b)、G(0,b)とします。 AF+BF=2dであり、AF=BFですのでAF=BF=d Aを中心とする半径dの円とy軸の交点がF,Gです。 ではCの位置を求めましょう。 Oを通り地面に垂直な直線をVとします(CはV上の点です)。 Oを中心とする半径dの円は楕円をy軸方向にa/b倍したものになっています。 (x,y)を(x,ay/b)へと移す変換で、楕円は円に移ります。 直線Vに同様の変換をして、その直線と円の交点を求めます。 それをb/a倍すればCの位置となります。 ある線分のa/b倍の長さを求めるにはどうすればいいでしょうか。 三角形ODFは斜辺以外の2辺の長さがa,bの直角三角形です。 この斜辺に平行な直線をひけば、そのx切片、y切片の長さはa:bになります。 よって、その線分をy軸上に置いて、端点からDFに平行な直線をひけば、 x軸から切り取られる長さが求めたい長さです。 b/a倍にしたい場合は、x軸からy軸へと変換すればよいです。 具体的に作図方法を書きますと ・線分ABを延長してできる直線をX軸、Oを通りx軸と直交する直線をy軸とする ・OBの中点を求め、Aからその点までの距離30cmを計る ・Oを中心とする半径30cmの円とx軸との交点を左からD,Eとする ・Aを中心とする半径30cmの円とy軸との交点を下からF,Gとする ・Oを通り地面に垂直な直線Vを描く ・Dを通り直線DEに直交する直線と、直線Vとの交点をHとする ・Hを通り直線DFに平行な直線とx軸との交点をIとする ・Dを中心としIを通る円と直線DHの交点のうち下の方をJとする ・Oを中心としDを通る円と線分OJとの交点をKとする ・Kを通り直線ABに直交する直線と、直線Vの交点がC |
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