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複素数^3^

難易度：★★ 　

length 2015/12/10 19:25

|3^(-1)^3^(-1)|を求めてください。




	【正解! 3^(-1)^3^(-1)=3^(-1)^(1/3) =3^(1/2+√3i/2) =√33^(√3i/2) =√3e^(ln(3)√3i/2) =√3(cos(ln(3)√3/2)+isin(ln(3)√3i/2)) \|3^(-1)^3^(-1)\|=\|√3(cos(ln(3)√3/2)+isin(ln(3)√3i/2))\| =√(3cos(ln(3)√3/2)^2+3sin(ln(3)√3i/2)^2) =√3 不正解…とは言えない(-_-; 累乗の結合順位は未定義(右結合が一般的だが)なので， 3^(-1)^3^(-1)=3^((-1)3(-1)) =27とも解釈できる。不正解…とは言えない(-_-; (-1)^3=-1なので， 3^(-1)^(1/3)=3^(-1) =1/3とも解釈できる。】
解答判定ワード	【√3】or 【sqrt(3)】
不正解…とは言えない(-_-;	【1/3】
不正解…とは言えない(-_-;	【27】

回答募集は終了しました。

▲ △ ▽ ▼ No.1

ヒミツ

クソガキ 2015/12/10 19:34

こうですか？

不正解…とは言えない(-_-;

▲ △ ▽ ▼ No.2

ヒミツ

クソガキ 2015/12/10 19:36

こうですか？

length 用意していない解答が (-へ-;)

どう解きましたか?

▲ △ ▽ ▼ No.3

ビット演算子XORを使いました．

00000000000000000000000000000011
11111111111111111111111111111111
00000000000000000000000000000011
11111111111111111111111111111111
--------------------------------
00000000000000000000000000000000

クソガキ 2015/12/10 19:55

こうです

length 面白いですね (＞o＜)

ただ、|が未定義なのが気になります。

▲ △ ▽ ▼ No.4

3^(-1)^3^(-1)の絶対値は、複素数z=(-1)^3^(-1)の実部をrとすると3^rに等しいです。

z=(-1)^3^(-1)=(-1)^(1/3)なので、
z^3+1=0

ところで、
e^(iπ)+1=0 ですから、
(e^(iπ/3))^3+1=0 、
よって
e^(iπ/3)は(-1)の三乗根です。
ただし、(x+1)(x^2-x+1)=0の複素解となります。
一方、
e^(iπ/3)の実部は、1/2。
e^(iπ/3)=1/2+(√3/2)i より
【zの実部、即ちrはcos(π/3)=1/2】

3^(-1)^3^(-1)の絶対値は
3^r=3^(1/2)=√3
となります。

s_hskz 2015/12/10 23:36

もっと簡単にとけるのでしょうか

（判定は待っててね）

▲ △ ▽ ▼ No.5

ヒミツ

s_hskz 2015/12/10 23:42

かってに君がいらっしゃいましたか……

正解！

▲ △ ▽ ▼ No.6

(x+1)(x^2-x+1)=0の複素解の実部って、1/2 が暗算ででるのでした…といいますか、二次方程式(x^2-x+1=0)について、解の公式で実部の係数をみれば良いので、すみませんでした。

s_hskz 2015/12/10 23:56

No.4は遠回りでした

（判定は待っててね）

▲ △ ▽ ▼ No.7

自然対数を使って
3=e(log(3))

複素数 Z=a+bi について

3^Z=3^(a+bi)
=3^(a)*3^(bi)
=3^(a)*(e(log(3)))^(bi)
=3^(a)*(e^(log(3)*bi))
=3^(a)*{cos(log(3)*b)+isin(log(3)*b)}

ゆえに、
|3^Z|^2=[3^(a)*{cos(log(3)*b)+isin(log(3)*b)}]*[3^(a)*{cos(log(3)*b)-isin(log(3)*b)}]=[3^(a)]^2
|3^Z|の実部は3^(a)となります。
(-1)^3^(-1)の実部はNo.4、No.6で示したように1/2でした。

よって、
|3^(-1)^3^(-1)|=√3

s_hskz 2015/12/11 00:43

部分点欠落っぽいので補充させてください。

length 丁寧ですばらしいです (＞o＜)

▲ △ ▽ ▼ No.8

ヒミツ

Yss 2015/12/11 08:38

結合規則が…普通はこっちじゃない気がするがまずこれを書いてみる。

不正解…とは言えない(-_-;

▲ △ ▽ ▼ No.9

ヒミツ

Yss 2015/12/11 11:51

あっちから結合すると・・・こうなるはず。

不正解…とは言えない(-_-;

▲ △ ▽ ▼ No.10

ヒミツ

Yss 2015/12/11 12:16

で、いいはずなんですが・・・

length 計算ミスがあります。
答えは別解と同じですが (^^;)

▲ △ ▽ ▼ No.11

私だったら

|3^(-1)^3^(-1)^3|

として出題していたかもしれません。

s_hskz 2015/12/11 12:22

　
解くにあたって、まず、2^3^2 あたりでGoogle検索しました。(なまけもの)
　

length それですと別解一つがとんでもないことに (^^;)

▲ △ ▽ ▼ No.12

ヒミツ

I.T 2015/12/11 13:14

勝手に君はよくわからないですが (^^;)

length 一つずつ囁くと反応します (*^_^*)

▲ △ ▽ ▼ No.13

ヒミツ

たっくん４ 2015/12/11 17:48

べき乗の　^　って、
学問の世界ではきちんとした定義があるんですかね？
プログラム言語によって定義が違うんですけど。

というわけで、かってに君狙い。

不正解…とは言えない(-_-;

▲ △ ▽ ▼ No.14

ヒミツ

たっくん４ 2015/12/11 17:49

かってに君狙いその２。これは誤答とされてもおかしくはない (^_^)

不正解…とは言えない(-_-;

▲ △ ▽ ▼ No.15

<br>右から計算：(-1)^(1/3)の解を-1とすれば･･･　答：1/3<br> 1/2( 1 +- √3i)とすれば･･･　計算したくない<br>左から計算：　答：27<br> 　

たっくん４ 2015/12/11 17:51

　かってに君を狙わずに。

したくない、じゃなくて、ワタシには無理、と書くのが正しかったか (^^;)

length 計算してください (;_;)

▲ △ ▽ ▼ No.16

ヒミツ

スーパームーン 2015/12/12 10:29

はい．

正解！

▲ △ ▽ ▼ No.18

ヒミツ

スーパームーン 2015/12/12 10:46

別解．

不正解…とは言えない(-_-;

▲ △ ▽ ▼ No.19

こちらが正解だったのですね．

|3^(-1)^3^(-1)|
=|3^(-1)^(1/3)|
=|3^(1/2±√3i/2)|
=|e^{(log3)(1/2±√3i/2)}|
=|e^{(log3)(1/2)}|×|e^{±(log3)√3i/2}|
＝√3×1
=√3

一般に，数式として(-1)^(1/3)は値が確定できないためダメだと思います．
立方根記号[3]√(-1)だったら，文句なしの-1なのですが．
この辺りって実際のところ，数学上はどういう定義になってるんだろう？

(-1)^(1/3)=-1とすれば以下の通り．
|3^(-1)^3^(-1)|
=|3^(-1)^(1/3)|
=|3^(-1)|
=|1/3|
=1/3

スーパームーン 2015/12/12 11:48

途中式．

length その辺りはわざとあいまいに書いていたのです。
そして、定義について考えると別解がもう一つあります。

▲ △ ▽ ▼ No.20

ヒミツ

スーパームーン 2015/12/12 22:25

もう1つの別解

不正解…とは言えない(-_-;

▲ △ ▽ ▼ No.21

3^(-1)^3^(-1)

これ、右結合（数学）か左結合（一部の計算機処理系）しかないものと信じておりました。ところが別解が複数あるとなると……右結合（数学）において、多価となっているのでしょうか…対数関数でも使わないかぎりそんなことないはずと考えておりました。

回答が開かれたときが楽しみです。

s_hskz 2015/12/12 23:10

　
みなさんの様子から、別解がふたつもあったと気がつき、……びっくりしています。
　

length かなり単純な話なのですが (^^;)