とりあえず投稿いたします。
　

続いて投稿しておきます。

私もとりあえず…

No.1 の囁きを変えます。

グダグダですが…

解答です．この問題の裏には，対角線論法があります．
0以上1未満のすべての実数に番号をつけて，k番目の実数を実数x[k]のように書けたとします．
実数Xを，次を満たすものとします．
「Xの小数第k桁は，x[k]の少数第k桁と異なる」
このようなXは容易に構成でき，Xはすべてのx[k]と異なるので，「すべての実数に番号をつけて」という部分に矛盾．
つまり，実数には番号をつける(＝自然数と1:1で対応させる)ことができない．

という論法です．これは小数点から右に進んでいきますが，逆に左に進めたものが本問でした．同じように類推すると，自然数には番号をつける(＝自然数と1:1で対応させる)ことができない(という明らかにおかしな結果)となりそうですが，違いは「発散するかどうか」でした．

前述の問題では，小数点以下何桁まで続けようと0以上1未満ですから収束するのでXは実数です．一方で，本問では発散してしまうため，Xはそもそも自然数ではないのでした．

以上です．