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 マス目の問題リスペクト
難易度：★★★
 s_hskz
2015/11/24 17:15
●はじめに
《マス目問題》へのリスペクトです。 《マス目問題》については以下をあらかじめ御参照ください。 ★Weekend Mathematics／問題131 ( http://www.junko-k.com/mondai/mondai131.htm ) ※マス目を市松模様で考えて与えられた図形では敷き詰めが不可能であることを示す、クイズファン、パズルファンには有名な問題です。 ●出題 以上を踏まえまして、以下の問いにお答えください。 １０×１０のマス目を、下記のＬ字型のテトロミノないし逆Ｌ字型のテトロミノを適宜おりまぜて使っても、敷きつめることができないことをスッキリとシンプルに示して下さい。 ただし、テトロミノは回転させて使ってもよいですが、互いに重なったり、正方形からはみ出したりしてはいけないものとします。 ●Ｌ字型のテトロミノ ┏━┓ ┃・┃ ┣━┫ ┃・┃ ┣━╋━┓ ┃・┃・┃ ┗━┻━┛ ●逆Ｌ字型のテトロミノ ┏━┳━┓ ┃・┃・┃ ┣━╋━┛ ┃・┃ ┣━┫ ┃・┃ ┗━┛ ●さいごに。 なにかアイデアがおりてくれば、すんなりといきます。 enjoy ! 11/26昼追記。No.7にヒントになりそうな投稿を致しました。<br> 11/28昼追記。 皆様の解答の囁きをゆっくりと順次開きつつ最後にちょっと面白いＬ型についての別解をご紹介したいと存じます。⇒ 作業完です。
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回答募集は終了しました。
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白黒白黒白黒白黒白黒
白黒白黒白黒白黒白黒 白黒白黒白黒白黒白黒 白黒白黒白黒白黒白黒 白黒白黒白黒白黒白黒 白黒白黒白黒白黒白黒 白黒白黒白黒白黒白黒 白黒白黒白黒白黒白黒 白黒白黒白黒白黒白黒 白黒白黒白黒白黒白黒 とすると、各ピースは「白3黒1」か「白1黒3」を覆う ピースが奇数なので白黒それぞれ奇数個が覆われるはずなので矛盾 
これも有名だよな・・・
Ｉの敷き詰め不可能の証明もシンプル 
s_hskz
ヽ(^○^)ノご存知でしたか。 ＞Ｉの敷き詰め不可能の証明もシンプル 素晴らしい知見のご紹介をありがとうございました。感服です。 10×10のマス目の奇数列目を黒で塗る。黒マスが50個出来上がる。
一つのLテトロミノをマス目に沿って置く場合、どのように回転させても、覆われる黒マスの数は奇数個である。 10×10の正方形をテトロミノを重なり合わずに敷き詰めるためには、100÷4＝25個のテトロミノが必要であるが Lテトロミノ25個を互いに重ならないように置くと、覆われる黒マスの合計は奇数個になるので、ちょうど50個の黒マスを覆うことはできない。 したがって、Lテトロミノだけで10×10のマス目を敷き詰めることは不可能である。
出題が1年早ければ、敷き詰める対象は「2014×2014のマス目」になっていたのだろうか。
s_hskz
＞出題が1年早ければ、敷き詰める対象は「2014×2014のマス目」になっていたのだろうか。 (^皿^) ええと…次の年賀状チャンスは2018年でしょうか。 盤面を赤青の市松模様に塗り、さらに段の偶奇で計４色（青⇒水色、赤⇒桃色）に塗り分ける。
結果、盤面が各２５箇所×４色に塗り分けられる。 塗りわけイメージ： 赤青赤青 水桃水桃 赤青赤青 水桃水桃 ＜大雑把な回答＞ テトロミノ一枚当たり全ての色を平均ちょうど一回ずつカバーする必要がある。 テトロミノを一個どう配置しても、ひとつの色（例：赤）が二回塗られ、その斜め隣の色（例：桃）が塗られない。 これを回復する方法は、桃が二回塗られ、赤が塗られないようにテトロミノをおく以外に方法が無い。 同様に、偶数個のテトロミノの配置であれば平均ちょうど一回ずつ４色がカバーされる配置が可能になるが、この盤面におかれるテトロミノの数は奇数（２５個）であるので、最後の一個で必ずバランスが崩れる。∴不可能 ＜数学の試験と思って回答＞ テトロミノの配置は、次の４パターンのいずれかになる。 A：赤２・青・水 B：桃２・青・水 C：青２・赤・桃 D：水２・赤・桃 (1) 赤が２５箇所 2A+C+D = 25 (2) 桃が２５箇所 2B+C+D = 25 (3) 青が２５箇所 2C+A+B = 25 (1)と(2)から A=B, (3)に代入して 2(A+C) = 25, 整数値の解がないので矛盾∴不可能
スッキリとシンプルに記すのは苦手です
s_hskz
ヽ(^○^)ノ あ、これは私もこう解きました。スジとしてはそんなに悪くはないと自負しております。 そしたら、某女史から『こうするんだよーん』と言われてアゴが外れました。 (;゜0゜) こんな顔しました 解答公開時追記： 偶奇の2ビットの市松模様を多重化して4ビットにするアイデアは私は好きです。(^○^)
No.1 でぴろろさんがおっしゃっていた、Ｉ字型テトロミノの１０×１０の正方形への敷き詰め不可能の証明ですけれど、No.3 の、たっくん４さんの囁きの解法をひとひねりすると出てくるんですよね……これが最もシンプルかどうかは私には未知なのですけれど。 ⇒ 15:02追記 ある意味においてもっと単純なのがみつかりました。orz ●Ｉ字型テトロミノ ┏━┳━┳━┳━┓ ┃・┃・┃・┃・┃ ┗━┻━┻━┻━┛ Ｉは1*4マスなので、同じ行（列に）縦（横）置きタイルのブロック（＝1マス）が奇数入ると10マスぴったり埋める事が出来ません；；
つまり縦（横）置きともに偶数枚使う必要があります。 10*10は100マスでタイルは１枚4マスなので25枚・・・縦か横どちらかは奇数になるので無理；；
Ｌにはまったく歯が立ちませんが、Ｉに挑戦（ただし市松模様無視
 ）・・・理屈はえらく簡単なんですが、言葉（や文字）で説明するのは難しい  この囁きも果たして説明になっているかどうか  
s_hskz
おお…… なかなかに凝った論証ですね。言われてみれば（そして良く考えれば）まさしくおっしゃる通りです。 (^◇^) 別解とさせて頂きます。 解答公開時追記： この、塗り分けないやりかたには度肝を抜かれました。 別解ですが目からウロコでもあります。 ▼ ★ 手作りの勲章です。 No.3同様に４色に分けたとき、Ｉ字型テトロミノが占められるマスは赤２青２の形しかありえないので、２５個（奇数）を埋められるはずがない（最後に４色とも一マスずつあまる）
ＩはNo.3 をひねる必要もなく、簡単ではないですか？
s_hskz
(≧∇≦) Ｉ字型でも、確かに、ひねる必要はなかったですね。…… そして、もっともっと要素を減らしてシンプルにできるようです。
Ｉ字型テトロミノの１０×１０の正方形への敷き詰め不可能の証明の一例を投稿いたします。もしかしたらＬ字型テトロミノのほうのヒントとなるかもしれません。 === １０×１０の正方形を以下のように白黒で塗り分けます。 ■■□□■■□□■■ ■■□□■■□□■■ □□■■□□■■□□ □□■■□□■■□□ ■■□□■■□□■■ ■■□□■■□□■■ □□■■□□■■□□ □□■■□□■■□□ ■■□□■■□□■■ ■■□□■■□□■■ Ｉ字型テトロミノを１個、この模様のどこにおいても白のマスを２つ、黒のマスを２つ、覆います。すなわち、Ｉ字型テトロミノを何個どのように置いても、必ず白黒のマスを同数覆います。 一方、１０×１０の正方形において黒のマスは52個、白のマスは48個あります。白黒同数ではありません。 よって、１０×１０の正方形をＩ字型テトロミノで覆い尽くすことはできません。 さて、１０×１０の正方形を上手に白黒で塗り分けることにより、Ｌ字型テトロミノ、逆Ｌ字型テトロミノを織り混ぜても、１０×１０の正方形を覆いつくせないことを、簡単に示すことが出来ます。塗り分けかたを是非探してみて下さい。 とりあえず、ぱっと思いついたのがこの解法だったので・・・
まず、１０×１０のマス目を、四色に塗った、 白緑 赤黒 のパターンで覆い尽くします。 白緑白緑白緑白緑白緑 赤黒赤黒赤黒赤黒赤黒 白緑白緑白緑白緑白緑 赤黒赤黒赤黒赤黒赤黒 白緑白緑白緑白緑白緑 赤黒赤黒赤黒赤黒赤黒 白緑白緑白緑白緑白緑 赤黒赤黒赤黒赤黒赤黒 白緑白緑白緑白緑白緑 赤黒赤黒赤黒赤黒赤黒 白黒が対角、赤緑が対角になるように配置してあります。 ペントミノの置き方を考えると、 白緑白 赤 一例は↑で、白×２＋赤＋緑、となっていますが、 ペントミノをどのように置いたとしても、必ず、 i)白黒のいずれか片方をふたつと、赤緑をひとつずつ または、 ii)赤緑のいずれか片方をふたつと、白黒をひとつずつ 覆うように置くことになります。 白をふたつ覆う置き方のペントミノの数を（white pentominoから）wpとおき、 以下同様に、黒：bp、緑：gp、赤：rpを定義します。 ペントミノが覆った白、黒、赤、緑のマス目のトータル数を、 W,B,R,Gとおくと、 W=2wp+rp+gp B=2bp+rp+gp G=2gp+wp+bp R=grp+wp+bp と、なります。 また、題意から wp+bp+gp+rp=25 （∵トータルのペントミノの数） です。 ここで、W,B,G,Rはすべて奇数（２５）にならなければ、 全てのマス目を埋められないが、 wp+bp+gp+rp=25 から、 wp+bpと、 gp+rpが、 同時に奇数になることはできない。 したがって、 W,Bの組、または、G,Rの組のいずれかは、 偶数になってしまう。 つまり、与えられたペントミノを用いて、 １０×１０のマス目を全て埋めることは不可能。
もう少し簡単になる気もしますが・・・とりあえず証明は出来たので提出
囁きは色が塗れないのでやりづらい・・・
s_hskz
(^○^)ノ正解です。 たっくん４さんの解と同系統ですし、私も最初にこう考えました。 こちらの方向に考えるのは自然な成り行きなのかなあと考えてはおります。 解答公開時追記： たっくん４さんの詰め方と比べてみて思わずうなりました…… 1234123412
2341234123 3412341234 4123412341 1234123412 2341234123 3412341234 4123412341 1234123412 2341234123 1234 1 2 3 4 1…25個 2…26個 3…25個 4…24個
jさんの方法はこれ?
s_hskz
I字型のほうの正解です。 No.4とNo.6で s_hskzが『ひねる』という形容をしていた解ですね。 jさんのNo.5のI字型への解は、塗り分けを必要としません。最初に拝見したときにはカナリびっくりいたしました。 0000000000
1111111111 0000000000 1111111111 0000000000 1111111111 0000000000 1111111111 0000000000 1111111111 0 1 00 0 111 以下、Tと同じ論法
s_hskz
(^ω^) Ｌ字型、正解です。意図解のひとつです。色でぬりわけるならばコレが一番単純かもしれないですね！ 解答公開時追記： よくみましたら 1 0 11 1 000 や鏡像が書かれていませんが、入試ではあるまいし勿論オッケーですね。 
s_hskz
あ、ちゃんと意味はとれました。崩れているようにはみえませんです。ブラウザの影響でしょうか。はて？
それでは、ちょっと珍しい解答をご案内致します。 ┏━┳━┳━┳━┳━┳━┳━┳━┳━┳━┓ ┃１┃１┃１┃１┃１┃１┃１┃１┃１┃１┃ ┣━╋━╋━╋━╋━╋━╋━╋━╋━╋━┫ ┃５┃５┃５┃５┃５┃５┃５┃５┃５┃５┃ ┣━╋━╋━╋━╋━╋━╋━╋━╋━╋━┫ ┃１┃１┃１┃１┃１┃１┃１┃１┃１┃１┃ ┣━╋━╋━╋━╋━╋━╋━╋━╋━╋━┫ ┃５┃５┃５┃５┃５┃５┃５┃５┃５┃５┃ ┣━╋━╋━╋━╋━╋━╋━╋━╋━╋━┫ ┃１┃１┃１┃１┃１┃１┃１┃１┃１┃１┃ ┣━╋━╋━╋━╋━╋━╋━╋━╋━╋━┫ ┃５┃５┃５┃５┃５┃５┃５┃５┃５┃５┃ ┣━╋━╋━╋━╋━╋━╋━╋━╋━╋━┫ ┃１┃１┃１┃１┃１┃１┃１┃１┃１┃１┃ ┣━╋━╋━╋━╋━╋━╋━╋━╋━╋━┫ ┃５┃５┃５┃５┃５┃５┃５┃５┃５┃５┃ ┣━╋━╋━╋━╋━╋━╋━╋━╋━╋━┫ ┃１┃１┃１┃１┃１┃１┃１┃１┃１┃１┃ ┣━╋━╋━╋━╋━╋━╋━╋━╋━╋━┫ ┃５┃５┃５┃５┃５┃５┃５┃５┃５┃５┃ ┗━┻━┻━┻━┻━┻━┻━┻━┻━┻━┛ 上記のように色（偶奇や四色などを示すビット） ではなく数値で埋めます。 Ｌ字型テトロミノまたは逆Ｌ字型テトロミノを１個、どのように置いてもテトロミノは必ず８の倍数分のマスを覆います。テトロミノを２５個にしても同様です。しかるに、１０×１０のマスの正方形全体では数の合計は３００で８の倍数ではありません。 ■Ｑ．Ｅ．Ｄ． === この証明は以下の書物にありました。カッコイイと感じたものですから、クイズ大陸で是非ご案内したいと考えました。 ●『ヒルベルトの忘れられた問題 (本格数学練習帳 第3巻)』 D.フックス, S. タバチニコフ, 蟹江幸博 === さて。みなさんからの御解答を拝見して、とても参考になりました。まことに有り難うございました。出題者といたしまして感激です。 特に、ｊさんからのＩ字型への証明には心底驚きました。最初は意味を汲み取れませんでしたが、よく考えてみているうちにジワジワと《これは凄い》と思うに至りました。 私なりの理解では、マス目の横方向の行に対してそれを覆うＩ字型ペントミノで縦に置いたものだけを数え、マス目の縦方向に対してＩ字型ペントミノの横に置いたものだけを数えているのですね。これをすべての行と列について加算しますが、総和は奇数にはならないという…… === さて、解答例を全部開きましたので、いずれ時をみはからってこのスレッドはロックさせて頂きます。 皆様、有り難うございました。
手作り勲章ありがとうございます
 Ｌは>>7で出た2*2の塗りわけをヒントに四色正方形は思いついたのですが、そこから先の論理展開に気づけませんでした 結局、またも塗りわけを捨てて、今度は最初に角にタイルを置いて、次を破綻しないように置くと新たな角が出来てどうしても二つ一組・・・みたいな論理を掘り下げに行ったんですが、二匹目の泥鰌は居ませんでした それにしても一列おきの塗りわけ、さらには1と5、かなりびっくり  ！
＞No.14 Jさん 私もビックリしたことを共有していただけたようで、ありがたいことです。有名問題でしたが、あえて出題した介が御座いました。 (^ω^)
スレッドをロックする前に、若干気がついたことを記すことと致します。 Ｓ字型テトロミノとＺ字型テトロミノとを織り混ぜたケースではどうなのだろうと、ふと頭をよぎりました。あれこれと本スレッドで今まで登場した塗りわけを試しましたが今一つスッキリしませんでした。 Ｓ字型テトロミノ ┏━┳━┓ ┃・┃・┃ ┏━╋━╋━┛ ┃・┃・┃ ┗━┻━┛ Ｚ字型テトロミノ（または、逆Ｓ字型テトロミノ） ┏━┳━┓ ┃・┃・┃ ┗━╋━╋━┓ ┃・┃・┃ ┗━┻━┛ そこで新しい塗りわけをほどこしてみました。１０×１０の正方形を以下のように白黒で塗り分けます。 ■□□■■□□■■□ □■■□□■■□□■ □■■□□■■□□■ ■□□■■□□■■□ ■□□■■□□■■□ □■■□□■■□□■ □■■□□■■□□■ ■□□■■□□■■□ ■□□■■□□■■□ □■■□□■■□□■ すると、Ｓ字型テトロミノであれ逆Ｓ字型テトロミノであれ、どのように置いても各テトロミノは「白3黒1」か「白1黒3」を覆うことになります。 テトロミノは全体で２５枚、これが奇数なので白黒それぞれ奇数個が覆われるはずとなります。ところが１０×１０の正方形は白も黒もマスが５０で偶数です。このことから、Ｓ字型テトロミノと逆Ｓ字型テトロミノとを織り混ぜて使っても１０×１０の正方形を覆い尽くすことはできないとわかります。 または、次のように考えます。上記の塗りわけで、白のマスに数字の１を、黒のマスに数字の５を対応させます。Ｓ字型テトロミノまたは逆Ｓ字型テトロミノを１個、どこにどのように置いても、覆う数は８または１６となり、いずれにせよ８の倍数です。１０×１０の正方形全体では３００でして、これは８の倍数ではありません。このことから、Ｓ字型テトロミノと逆Ｓ字型テトロミノとを織り混ぜて使っても１０×１０の正方形を覆い尽くすことはできないとわかります。 === ※普通の市松模様でＴ字型ペントミノにおいても、この１・５戦法は使えますね。 === それではおりをみてロックさせて頂きます。御参加頂いた皆様、有り難う御座いました。 |
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