参加型ナゾトキサイト『クイズ大陸』で、脳トレをどうぞ！

FAQ

RSS
@quiz_tairikuさんをフォロー

「いいぱい」は大きい？小さい？

難易度：★★ 　

りむじん 2015/11/16 14:15

e^πとπ^eではどちらが大きいですか。

ただしeは自然対数の底で、πは円周率ですが、
1<e<πという事は知っていて、近似値は知らないとします。

シンプルで分かりやすい問題が好きな私が高校生の時に授業でやった問題です (^_^)

文字が２つだけ、しかもeとπという清潔感のある問題ですね (＞o＜)




	【f(x)=logx/xとすると、 f(x)はx>eの領域で単調減少する。よって e<πより f(e)>f(π) loge/e>logπ/π πloge>elogπ e^π>π^e よってe^πの方が大きい。】

回答募集は終了しました。

▲ △ ▽ ▼ No.1

e^π > π^e

<証明>
f(x) = log (x) / x とおく　（x>0の範囲）
連続関数であるので微分可能
f'(x)=(1-log (x)) / x^2
f'(x)=0となるのは x=eのときのみ
　　x=eのときに f(x)　が最大値をとることがわかる
　f(e) > f(π)
　log(e) / e > log(π) /π
log(e^π) > log(π^e)
e^π > π^e

たっくん４ 2015/11/16 20:45

りむじんさんは絶対ワタシを誘導してるよなぁ･･･ (-へ-;)

　
というわけで、高校生のころは絶対大きいの大好き星人 (**)

でしたが、今のワタシは小さめなのがいいと思います (^_^)

りむじん模範解答どおりですね (^o^)

▲ △ ▽ ▼ No.2

(e^x,x^e) 対数を取ると
(x,eln(x)) eで割ると
(x/e,ln(x)) 微分すると
(1/e,1/x)
e<xのとき、1/e>1/x
e/e=1,ln(e)=1,e<piなので
pi/e>ln(pi)
よってe^pi>pi^e

length 2015/11/16 22:19

「近似値は知らないとします」
どこまで知っているのだろう…

りむじん違うやり方ですね (**)

当時の私
「eって2ぐらいでπって3ぐらいだったよな… (-へ-;)

2³<3²だから
e^π<π^eかな！？ (^o^)

」

今の私
「eって2ぐらいでπって3.14ぐらいだったよな… (-へ-;)

」

▲ △ ▽ ▼ No.3

　
あまり有名ではない解法をご紹介させて頂きます。パクってきました。

まず、別途、以下の不等式を証明しておきます。(証明略)

y ≧ 0 のときに
e^y ≧ 1 + y 　　　...①
（等号は y=0 のときのみ）

①において z ≧ 1 なる z をもちいて z = 1 + y と置き換えて以下を得ます。

e^(z-1) ≧ z 　　　...②
（等号は z=1 のときのみ）

②において x ≧ e なる x をもちいて x = ez と置き換えて以下を得ます。

e^(x/e-1) ≧ x/e　　...③
（等号は x=e のときのみ）

これを整理して
e^(x/e) ≧ x 　　　...④
（x ≧ e 、等号は x=e のときのみ）

両片をe乗して( e ＞ 1 なので不等号の向きは変わらない)

e^x ≧ x^e 　　　...④
（x ≧ e 、等号は x=e のときのみ）

特に、x = π ＞ e とすれば

e^π ＞ π^e
を得る。
　

s_hskz 2015/11/17 00:35

　
最初の部分を初等的に示す方法があれば嬉しいのですが……
　

りむじん >あまり有名ではない解法をご紹介させて頂きます。
>パクってきました。

余裕の構え…！ (○。○)

▲ △ ▽ ▼ No.4

本当なら、logとって変形してlogX/Xを比べたり？<br>でも面倒なので<br>πのe乗=22.46 < eのπ乗=23.14<br>Googleさんに聞いたら、電卓で結果を教えてくれました。証明しろと言う問題ではなければ

MIC 2015/11/17 01:06

これでいいのでは？

便利な世の中になったものだ･････

りむじん >Googleさんに聞いたら、電卓で結果を教えてくれました。証明しろと言う問題ではなければ

「オッケーGoogle、代わりに宿題やって (^o^)

」

▲ △ ▽ ▼ No.5

関数 F(x)＝x－elogx (logx はxを真数とする自然対数)を考える。
F'(x)＝1－e/x であり、F(x)は
0＜x＜e で減少、
x＝e で極小値 0 をとり、
e＜x で増加する。
e＜π より、F(e)＜F(π) つまり 0＜π－elogπ
したがって、elogπ＝log(π^e)＜π＝πloge＝log(e^π)
1＜e より、π^e＜e^π

ぼやき餅 2015/11/19 18:42

受験前の肩慣らしに。
ところで、π＝3 なんですよね (^o^)

(すっとぼけ)

りむじんいい肩慣らしになる問題だと思いますよ (^_^)

真面目な話、普通の人なら円周率10桁、理系の人ならもっと覚えていると思いますが、
私はどう頑張ってもπ=3.1415までしか覚えていない (;o;)

eなんてのもほぼ2で済ましている (;v;)

▲ △ ▽ ▼ No.6

f(x)=(log x)/xをx>0で微分してみると、［e, +∞）で単調減少となることがわかる。
つまり、
(log e)/e>(log π)/π
よって、π^e<e^π ■

いち 2015/11/26 19:51

高校時代にやった気がしました (^^)

りむじん模範解答です (^_^)

▲ △ ▽ ▼ No.7

s_hskz 2015/12/09 22:31

＞f(x)=logx/xとすると、
f(x)はx>eの領域で単調減少する。……①

高校の指導要領をみますと、以下のような生徒が存在するかもしれません。

（１）多項式関数の微積分は習う。
（２）指数関数や対数関数は習う。
（３）指数関数や対数関数の微積分については習わない。

このような高校生にも、①と同等な性質を直感的に理解してもらう為に次のような方法があるようです。

===

y=log(x) のグラフを描きます。

このグラフは点(e,1)を通過します。

原点と点(e,1)とを通る直線Eを描き加えます。

更に、
原点と点(π,log(π))とを通る直線Pを描き加えます。

y=log(x) のグラフは上に凸であることもあいまって、直線Eの傾き＞直線Pの傾きとなります。従いまして、

1/e > log(π)/π
log(e)/e > log(π)/π

よって
π^e<e^π

※上記は、πでなくとも、x>e なるxであれば、グラフから読み取れる性質です。事実上、①と同等です。
===

以上が指数関数や対数関数の微積分について学習する前に、直感的に π^e<e^π を悟らせるための便法です。

　

りむじん見たことあるなと思ったら一度削除していましたね (○。○)