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このクイズの参加者（11人）
算数・数学クイズ
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 問１はありません
難易度：★★★
 s_hskz
2015/10/31 01:47
問1はありません。
この問題では単位分数という言葉を使います。単位分数とは正の整数を分母、1を分子とした分数のことです。たとえば、1/2は単位分数ですが2/3は単位分数ではありません。 では出題いたします。小問が問2から問11まであります。個々に答えていただいて結構です。囁いて下さい。 問2 1-1/6 を 互いに相異なる2個の単位分数の和としてあらわして下さい。但し、分母は最大でも6未満とします。 問3 1-1/12 を 互いに相異なる3個の単位分数の和としてあらわして下さい。但し、分母は最大でも12未満とします。 問4 1-1/15 を 互いに相異なる4個の単位分数の和としてあらわして下さい。但し、分母は最大でも15未満とします。 問5 1-1/15 を 互いに相異なる5個の単位分数の和としてあらわして下さい。但し、分母は最大でも15未満とします。 問6 1-1/18 を 互いに相異なる6個の単位分数の和としてあらわして下さい。但し、分母は最大でも18未満とします。 問7 1-1/20 を 互いに相異なる7個の単位分数の和としてあらわして下さい。但し、分母は最大でも20未満とします。 問8 1-1/24 を 互いに相異なる8個の単位分数の和としてあらわして下さい。但し、分母は最大でも24未満とします。 問9 1-1/24 を 互いに相異なる9個の単位分数の和としてあらわして下さい。但し、分母は最大でも24未満とします。 問10 1-1/28 を 互いに相異なる10個の単位分数の和としてあらわして下さい。但し、分母は最大でも28未満とします。 問11 1-1/30 を 互いに相異なる11個の単位分数の和としてあらわして下さい。但し、分母は最大でも30未満とします。
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回答募集は終了しました。
s_hskz
かえるの妻さん二ゲット！ かえるの妻さん三ゲット！ ＞頭痛がぁ、 作戦：いのちだいじに (o^ O^)シ彡☆ 
s_hskz
＞＃ 9:06 出題文の根本的な見落としに気づきました。orz はい、もうしわけありません。 No.2 と No.4 と No.3 の後半は そういうことになりますです。 まずは十一攻略に向かう心意気、とてもいいですね。(^O^) 人間たるもの、常にこうありたいものです。
s_hskz
私も迷路は出口から派です。
s_hskz
オッドアイ……右目が赤ではないですね、ということはカイトではありませんね。
s_hskz
かえるの妻さん四ゲット！ （先ほどはまことにすみませんでした、完全に見間違えをしておりました。ご指摘により正解メダルはこちらのほうへと、修正させて頂きました。） あっ、それと、緑の右目は二期のほうのカイトでしたか。なるほどです。 問1:1/2=1-1/2
問2:1/2+1/3=1-1/6 問3:1/2+1/4+1/6=1-1/12 
通は問1を答える
とりあえずここまで
s_hskz
ぴろろさん二ゲット！ ぴろろさん三ゲット！ ＞通は問1を答える ＞問1:1/2=1-1/2 惜しいですね。（ネタにマジレスいたします。お許しください。） 1-1/2 = 1/2 なのですが、左辺の1/2の分母が、右辺にも登場しておりまして、題意を満たしません。右辺の単位分数の分母はみな、2 未満でなくてはいけません。 問∞ならば、いくつかあります。一例を。(^O^) 1-1/∞ = 1/2 + 1/4 + 1/8 + 1/16 + ．．．永遠に続く 11/12回答発表時に囁きを開かせて頂きました
これ念のため質問ですが、各設問の「分母は・・・○○未満」は、あくまで「以下」ではなく「未満」なのですよね？ 15未満なら1/15は使えないという・・・これによって難易度が相当変わる問題があるので・・・
s_hskz
お答えいたします。 ＞15未満なら1/15は使えない はい、その通りです。左辺に登場する単位分数が右辺では登場しないようにお願いいたします。 ・右辺に登場するおのおのの単位分数はみな、左辺の単位分数よりも大きいです。 ・右辺に登場するおのおのの単位分数の分母はみな、左辺の単位分数の分母よりも小さいです。 以上です。よろしくお願いいたします。
s_hskz
かえるの妻さん五ゲット！ すべりだし順調ですね。 ＞力業じゃなくてエレガントな解き方があるんだろうなー  もしもみつけたら是非とも教えてください。私にはエレファントな解き方しかわかりません。 ＼(￣０￣)／パオーン (2) 1/2 + 1/3
(3) 1/2 + 1/4 + 1/6 (4) 1/2 + 1/4 + 1/10 + 1/12 (5) 1/3 + 1/4 + 1/6 + 1/10 + 1/12 (6) 1/3 + 1/4 + 1/9 + 1/10 + 1/12 + 1/15 (7) 1/3 + 1/5 + 1/9 + 1/10 + 1/12 + 1/15 + 1/18 (8) 1/4 + 1/6 + 1/8 + 1/9 + 1/10 + 1/12 + 1/15 + 1/18 (9) 1/5 + 1/6 + 1/8 + 1/9 + 1/10 + 1/12 + 1/15 + 1/18 + 1/20 (10) 1/6 + 1/7 + 1/8 + 1/9 + 1/10 + 1/12 + 1/14 + 1/15 + 1/18 + 1/24 (11) 1/6 + 1/7 + 1/8 + 1/9 + 1/10 + 1/15 + 1/14 + 1/18 + 1/20 + 1/24 + 1/28
問1は「1 - 1/2」を1つの単位分数で表わせばいいのでしょうか？
 
s_hskz
みれいさん二ゲット！ みれいさん三ゲット！ みれいさん四ゲット！ みれいさん五ゲット！ みれいさん六ゲット！ みれいさん七ゲット！ みれいさん八ゲット！ みれいさん九ゲット！ みれいさん十ゲット！ みれいさん十一ゲット！ 全ゲットおめでとうございます ＞問1は「1 - 1/2」を1つの単位分数で表わせばいいのでしょうか？ 忘れてやってください……  11/12回答発表時に囁きを開かせて頂きました ②1/2+1/3
③1/2+1/4+1/6 ④1/2+1/4+1/10+1/12 ⑤1/3+1/4+1/6+1/9+1/10 ここまでやってコツがわかったのでもうやりたくない １－１／１５の場合（１４／１５） 15/2=7.5 15/3=5 15/4=3.75 15/5=3 15/6=2.5 15/8=1.875 15/10=1.5 15/12=1.25 この候補の中から○個で１４になる組み合わせを探すだけ
これでいいよね？残りは面倒
s_hskz
どびちゃんさん二ゲット！ どびちゃんさん三ゲット！ どびちゃんさん四ゲット！ どびちゃんさんの五残念っ ＞残りは面倒 たしかに、面倒かもしれません、申し訳ありません。 No.29まで、この囁きは非公開でした。公開させて頂くことといたします。
s_hskz
Yssさん二ゲット！ 訂正。Yssさん 三ゲットではありませんでした。 （一度は正答判定してしまうケアレスミスを致しました。ご指摘を有難う御座います、Yssさん） Yssさん四ゲット！ Yssさん五ゲット！ Yssさんさんの三残念っ まずは順当に、ですね。題意はこの通りです。 ヒミツ
問6まで取り急ぎ
 さぁできた！ と思いきや、ありゃ指定が違った、という系の問題ですね  すみません･･･ ↑ケアレスミスを実践してどうする 
s_hskz
たっくん４さん二ゲット！ たっくん４さん四ゲット！ たっくん４さん六ゲット！ たっくん４さんの三残念っ たっくん４さんの五残念っ ＞さぁできた！ と思いきや、ありゃ指定が違った、という系 あうあう……右辺の単位分数が、左辺に登場していては不味いのです。問題文中の未満に御留意くださいますよう、お願い申し上げます。 私も既にケアレスミスをやらかしております。誤答を正答だと勘違いいたしまして、かえるの妻さんにお詫びしました。
うーん、出題の文章がわかりづらかった模様ですね。申し訳ないことです。更に研鑽いたします。 ところで、この問題は、lengthさんによる出題、『導火線リスペクト』で遊んでいるときに作ったものです。既に終了した問題の『導火線リスペクト』の解のひとつには、マッチ棒リスペクト！がありまして、単位分数時間を１本の導火線ではかれるのでした。この問題『問１はありません』は、ｎ本の導火線で何ができるかについて探っていたときの副産物です。 
s_hskz
Yssさん三ゲット！ ご指摘を有難う御座います。No.11での応答を訂正させて頂きました。 （目がっ目がーー）σ(≧ω≦*) === 11/9 20:30 訂正 よくみましたら、Yssさん三ゲットならずでした まことに申し訳ありません。 問３： 2,4,6<br><br>問５： 3,4,6,10,12<br><br>問７： 3,5,9,10,12,15,18<br><br>問８： 4,6,8,9,10,12,15,18 ※<br><br>問９： 5,6,8,9,10,12,15,18,20<br><br>問10： 6,7,8,9,10,12,14,15,18,24 ※<br><br>問11： 6,7,8,9,10,14,15,18,20,24,28<br><br>問８と問10は 1/6+1/12 を 1/5+1/20 に差し替え可能
こんどこそ
ところでこの問題、合計１を作る問題にして、「ｎ未満」でなく「ｎ以下」にしても同じ効果ですね。使う分数が１つ増えるので、その場合のタイトルは「問２はありません」になるのかな ↓問１は･･･「１を１個の単位分数であらわせ、ただし分母は１以下」 で良いのでは
s_hskz
たっくん４さん三ゲット！ たっくん４さん五ゲット！ たっくん４さん七ゲット！ たっくん４さん八ゲット！ たっくん４さん九ゲット！ たっくん４さん十ゲット！ たっくん４さん十一ゲット！ 全ゲットおめでとうございます ＞タイトルは「問２はありません」になるのかな 「問２まではありません」 でしょうか11/12回答発表時に囁きを開かせて頂きました 問3.999999 1-1/15=1/2+1/3+1/10
問4 1-1/15=1/2+1/4+1/10+1/12 問5 1-1/15=1/3+1/4+1/6+1/10+1/12 問5.999999 1-1/18=1/3+1/4+1/6+1/9+1/12 問6 1-1/18=1/3+1/4+1/9+1/10+1/12+1/15
s_hskz
ぴろろさん四ゲット！ ぴろろさん五ゲット！ ぴろろさん六ゲット！ 問3.999999 と、問5.999999 とが、面白いです。(^ω^) 問42 1-1/100を（以下略） 凄いですねえ…これを…(≧∇≦) 11/12回答発表時に囁きを開かせて頂きました
s_hskz
lengthさん二ゲット！ lengthさん三ゲット！ lengthさん四ゲット！ lengthさん五ゲット！ lengthさん六ゲット！ lengthさん七ゲット！ lengthさんの八残念っ 『導火線リスペクト』には本当にハマりました。
あれ？ きたちゃさんの御回答への返信操作中に、ご投稿が見えなくなりました。 ひょっとして私、誤操作したかもしれません。 きたちゃさん、大変に申し訳ありません。よろしければ再度のポストをお願いできないでしょうか。よろしくお願い申し上げます。
s_hskz
きたちゃさん二ゲット！ きたちゃさん三ゲット！ きたちゃさん四ゲット！ きたちゃさん五ゲット！ きたちゃさんの六残念っ ＞これはなかなか難しい No.10の囁きで、どびちゃんさんが、コツがあると述べていらっしゃいました。
No18の返答です。
実は、一つミスが判明して s_hskzさんの返答前に消さなければいけないと思い消しましたが、まさか返答の途中だとは・・ 想像以上に速いですね。 決してs_hskzさんの誤作動などではありません。 すみませんでした。 追記 問７以降難しいですが、ここであきらめる私ではない。 こちらこそ 今後ともお願いします。
s_hskz
あっ、きたちゃさん、了解いたしました。焦っておりましたのでひと安心です。お知らせを有難う御座います。 それと、そんなに恐縮なさらないでください。今後とも宜しくお願い申し上げます。
s_hskz
もう一度深呼吸しましょう。私も今回はミス連発中です。単位分数には魔力でもあるのでしょうか。 きたちゃさんの六残念っ
s_hskz
きたちゃさん六ゲット！ きたちゃさんの七残念っ (約0.28%ほどあいません)
s_hskz
Annさん二ゲット！ Annさん三ゲット！ Annさん四ゲット！ Annさん五ゲット！ Annさん六ゲット！ ＞ここまで解いてみました 私にはAnnさんが算数苦手にはとても思えません。
s_hskz
Annさん七ゲット！ Annさん八ゲット！ Annさん九ゲット！ キマシタネー！！
s_hskz
lengthさん八ゲット！ lengthさん九ゲット！ lengthさん十ゲット！ lengthさん十一ゲット！ 全ゲットおめでとうございます コツがわかってきた頃に終わる問題です。すみません。 (￣▽￣;) 中学受験では 1/n + 1/n(n-1)= 1/n-1 がしばしば出題されます･･･以下のＮ＋１はそのパターン。ワタシは「丸暗記するのではなくて、次みたいに考えて、その一番よくあるパターンと理解せよ」と教えていました。
３系統：２＋１をまとめられる 1/3+1/6=3/6=1/2 1/6+1/12=3/12=1/4 ※←重要 1/9+1/18=3/18=1/6 ※←重要 ４系統：３＋１をまとめられる 1/4+1/12=4/12=1/3 ５系統 ：３＋２や４＋１をまとめられる 1/10+1/15=5/30=1/6 1/5+1/20=5/20=1/4 ※←重要 ７系統 ４＋２＋１をまとめられる 1/7+1/14+1/28=7/28=1/4 ５系統、７系統、（８・９系統）については最初から追わないで、上記のようにまとまる可能性のあるところだけを調べるのがこの問題のコツですね。
<コツがわかってきた頃に終わる問題です。すみません。>
これ、おっしゃるとおりかも。（囁き） 中学受験の家庭教師をしていたころ･･･と思い出したころに終わってしまいました。
s_hskz
公開しちゃいます。o(^-^)o 私はこのコツを存じ上げませんでした。役立つかもですのですぐに公開させて頂きました。
s_hskz
きたちゃさん七ゲット！ きたちゃさん八ゲット！ きたちゃさん九ゲット！ ＞果たして問１０と問１１は解けるのだろうか。 この調子この調子っ 大丈夫ですよ
s_hskz
うーん……言葉の定義通り、まさしく微妙です…… 17/7980 約0.00213032581453634085ほど右辺と左辺とがあいません。 きたちゃさんの十残念っ （たぶん1/19は使いようがありません）
s_hskz
Annさん十ゲット！ あと１問でパーフェクトですね。
No.10 どびちゃんさんの囁きを公開させて頂きました。 小数で考えること、メノコ（死語？）としては有力な手がかりです。ただし、探したあとは分数できちんと再計算して安心すべきでしょう。問いのナンバーが大きくなりますと、近いけどちょっと違う、みたいなものも現れますので。 私が見つけた解法は、積み上げていくのではなく、全部足してから引いていく方法。
問題の性質上、使う分数より、使わない分数の方が個数が少ないので（1/19など、絶対なさそうなものはハナから除外して）、まず、ありそうな分数を全部足してしまいます。 目指す値に対して、どれだけ超過しているかを計算。で、その超過分に相当する分数の組（大体２から３個）を探す方が、１０個の組を探すより楽です。 その際、27/28だと分母が７の倍数なので1/7,1/14などを足しておく。23/24の場合は７系統は足さない、などの勘も大事ですね。あと1/2から足すのか、そんな大きい数を足すわけないので1/5からにしておくか、などの勘も大事ですが・・・勘を外すと長いこと迷宮に入ることになります（笑） というわけで、出来たところまで提出。 問６ 1/3 + 1/4 + 1/9 + 1/10 + 1/12 + 1/15 問７ 1/3 + 1/5 + 1/9 + 1/10 + 1/12 + 1/15 + 1/18 問８ 1/4 + 1/5 + 1/8 + 1/9 + 1/10 + 1/15 + 1/18 + 1/20 問９ 1/5 + 1/6 + 1/8 + 1/9 + 1/10 + 1/12 + 1/15 + 1/18 + 1/20 問10 1/5 + 1/7 + 1/8 + 1/9 + 1/10 + 1/12 + 1/14 + 1/18 + 1/20 + 1/24
というわけで、出来たところまで提出。
s_hskz
Yssさん六ゲット！ Yssさん七ゲット！ Yssさん八ゲット！ Yssさん九ゲット！ Yssさんの十残念っ （ 1/60 ほど合いません。 ） === 囁きの一部を公開させて頂きます。コツとして有力です。以下。 ＞私が見つけた解法は、積み上げていくのではなく、全部足してから引いていく方法。 問題の性質上、使う分数より、使わない分数の方が個数が少ないので（1/19など、絶対なさそうなものはハナから除外して）、まず、ありそうな分数を全部足してしまいます。 目指す値に対して、どれだけ超過しているかを計算。で、その超過分に相当する分数の組（大体２から３個）を探す方が、１０個の組を探すより楽です。 その際、27/28だと分母が７の倍数なので1/7,1/14などを足しておく。23/24の場合は７系統は足さない、などの勘も大事ですね。あと1/2から足すのか、そんな大きい数を足すわけないので1/5からにしておくか、などの勘も大事ですが・・・勘を外すと長いこと迷宮に入ることになります（笑） === 11/12回答発表時に囁きを開かせて頂きました
s_hskz
Yssさん十ゲット！ やはり単位分数の和の計算には人間にとってメダパニ効果があるようですね。 o(^-^)o
s_hskz
ココノカさん二ゲット！ ココノカさん三ゲット！ ココノカさん四ゲット！ ココノカさん五ゲット！ ココノカさん六ゲット！ ココノカさん七ゲット！ ココノカさん八ゲット！ ココノカさん九ゲット！ なかなかの丁寧なお手前で、力強い腕前と存じます。 ウインク(-_^) ヒミツ
実はたっくん４さんのヒントがなければ、問１１は迷宮入りしていました
 そういえば・・・問∞も面白いですね。問題にしても良かったかもですが・・・
s_hskz
Yssさん十一ゲット！ 全ゲットおめでとうございます 迷宮入り、辛いですよね。クイズ大陸では有り難いことに優しい人がいっぱいです。 いやでもYssさんには迷宮突破力が明らかにおありだと存じます。問∞とかに好奇心がおありのことですし。 19系列：10+5+4=19
1/20 = (10+5+4)/19*20 = 1/19*2+1/19*4+1/19*5 17系列 10+5+2 (10+5+2)/17*10 = 1/17 + 1/17*2 + 1/17*5
s_hskz
これは囁き即公開ですね。本スレッドには直接的には関わりありませんが、ある単位分数を他の３つの単位分数の和として表現することは結構難しいとされているのですよね。 問41 1-1/99を（以下略） についての、ある条件下での、すべての別解を一覧にした表を本日みかけまして……目がチカチカいたしました。むちゃくちゃいっぱいありました。解く気力が出る人々がいることに驚きました。(￣▽￣;)
s_hskz
1-2/28 = 1/5+1/7+1/8+1/10+1/12+1/14+1/15+1/20+1/21+1/24 なのです…… きたちゃさんの十残念っ ふぁいとおいっばつう
s_hskz
Annさん十一ゲット！ 全ゲットおめでとうございます ＞迷宮入りを避けて地道に…。 これもまた、ひとつの算数能力なのです。ビバ！！
s_hskz
きたちゃさん十一ゲット！ o(^-^)o あとはとりこぼしていた十でコンプリートですね。 ヒミツ
あえて問題文だけ読んで挑戦しました
 スーパー力技 with 電卓使いまくり 問10と11で難易度が上がりまくった印象です。 計算間違いや記述ミスしてないといいんだけど・・・もし正解だったら 2つの某数字リスペクト！
s_hskz
jさん二ゲット！ jさん三ゲット！ jさん四ゲット！ jさん五ゲット！ jさん八ゲット！ jさん九ゲット！ jさん十ゲット！ jさん十一ゲット！ jさんの六残念っ jさんの七残念っ …… 六七のぞき全問正解、珍しいパターンです。明日にはコンプリートですね。 o(^-^)o
たっくん４さんの１９系列すごすぎ・・・見たら納得するけど自力では・・・ムリです
問42 1-1/100 のスレも見ましたが、１７系列使われてますよね。これ見た瞬間にめまいがしました ・・・とか言いながら、２３系列とか行けるのか・・・なんて考えていたら、 1/23 + 1/(23*2) + 1/(23*4) + 1/(23*6) =1/23 + 1/46 + 1/92 + 1/138 =(12+6+3+2)/276 =23/276 =1/12 なんて恐ろしいことに あと、さらに今、じゃあ２７は？とか考えてみて、2+3+4+6+12=27なので、これも作れそうです。但し５個の単位分数の和になるので計算はナシで  （でも和は1/12のはず）・・・と、ここまで考えてみて、ひょっとしてこういうパターンをどんどんデータベース的に蓄積していく人が、解く気力が続く人なのかもしれない・・・と思いました。 本問と直接関係ない・・・と思われるので、公開コメントで失礼しますm(_'_)m 追記：なるほど・・・突き詰めてる人がいるんですね・・・がんばるなぁ・・・
s_hskz
どうも、問41 1-1/99には27通りの解があって、必ず1/17が含まれるようです。17？ ●単位分数分解の問題｜おおせきの部屋 h＠＠p://www.geocities.jp/ha415713/unit_fraction.html === 二項分解と二項合成、三項分解、二項分解の変種…… ●[PDF] 単位分数の和が1 - 大阪経済大学 h＠＠p://www.osaka-ue.ac.jp/zemi/nishiyama/math2010j/unitfraction_j.pdf
s_hskz
jさん六ゲット！ jさん七ゲット！ 全ゲットおめでとうございます ＞あの段階で計算間違えてるって どうも、このスレッドの問題には魔力があるようでして、出題者サイドも含め少なくない方々によるボーンヘッド、イージーミスが発生しています。不思議ですね。 問７ 1/3 1/5 1/9 1/10 1/12 1/15 1/18
ＯＲ 1/4 1/5 1/6 1/9 1/10 1/15 1/18 折角だから360を使って問6と7を解いてみたら問7の別解が見つかりました^^; ※分母360のと時の分子（○数字は元の分母） ②180 ③120 ④90 ⑤72 ⑥60 ⑧45 ⑨40 ⑩36 ⑫30 ⑮24 ⑱20 ・分母360時の17/18の分子340 →どうやっても一の位を0に出来ない⑤⑧不要 →⑩と⑮は使うなら両方（⑩⑮60） →十の位偶数なので④と⑫は使うなら（④⑫120） →⑱20と⑨40以外は60の倍数なので⑨40を使って残り300（五個）⑱20は不要。 →使えるのは②180③120④⑫120⑥60⑩⑮60で七個で合計540 →二個で240削るには②180⑥60除外しかない。 「使うのは③④⑥⑨⑩⑫⑮」 ・分母360時の19/20の分子342 →端数の2を消すには⑤72必須。 →⑩36と⑮24は使うとすればセットで使うしかなく⑩⑮60 →⑧45は不要確定。 →残り270で10の位を偶数にするには⑫30（残り240）or④90（180）使用。 →使わなかったほうは不要。 →を踏まえて小さいのから足していったら⑱20 ⑩⑮60（80）⑨40（120） →③120を足せば240、⑥60を足せば180！ 「使うのは⑤⑨⑩⑮⑱+③⑫or④⑥」
問6と問7を解き方を若干変えて遊んでたら問7にもう一つ解があるのが分かりました。
と言うわけで正解メダルは頂いてますが訂正  そのうち他のも別解調べしないと
s_hskz
なるほど、このように絞っていくのですね、思考過程がわかって大変興味深いです。 さて、10ある問いのうちいくつかは唯一解を持っていることだろうと思います。その他のいくつかは別解を含んでいることでしょう。このあたりは迷宮です。どうかお気をつけ下さい。 11/12回答発表時に囁きを開かせて頂きました
s_hskz
きたちゃさん十ゲット！ 全ゲットおめでとうございます！ ＞だろうという固定観念がいけなかったですね。 ⇒わかります。ひとたび迷いこむと本当になかなか大変ですよね。
おはようございます。
別解探しは仮に何個か見つかったとしても「別解がない」ことの証明がとても無理そうで残念ながら断念・・・ ちなみに>>42で挙げた以外は問9まで別解発見してません。 問10と11は手をつけてないので閃き系パズルに行き詰ったときに遊んでみようかな
s_hskz
そうですね、それぞれの問いに、いくつの解があるのかを決定することは、かなりの難易度だと思われます。
s_hskz
ぴろろさん七ゲット！ ぴろろさん八ゲット！ ぴろろさん九ゲット！ ぴろろさん、お帰りなさいませ。 ■命題：pを素数、または素数の冪とする。
1を複数個の相異なる単位分数の和で表した時、分母がpの倍数である単位分数は2項以上存在するか、存在しないかのどちらかである。 ■証明：1を複数個の相異なる単位分数の和で表した時、分母がpの倍数である単位分数がただ1つだけ存在するようなpが存在すると仮定する。 そのようなpに対し、分母がpの倍数である唯一の単位分数を 1/pq と表す。 すべての単位分数をの最小公倍数をpqrとすると ・rがpの倍数なら、最小公倍数がpqrとなるためには、1/pqの他に、分母がp^2の倍数である単位分数が存在しなければならないが、 「分母がpの倍数である単位分数が1つだけ存在する」という仮定に反する。 ・rがpの倍数でないなら、1/pqでない単位分数は分母がpの倍数ではないので 通分した時に、それぞれ[a1]p/pqr、[a2]p/pqr、… と表すことができる。 しかし、単位分数の総和は(([a1]+[a2]+…)p+r)/pqr となり、分子がpの倍数ではないので約分しても整数にはならない。 したがって、「1を相異なる単位分数の和で表した」という仮定に反する。 いずれにしても矛盾を生じるため、背理法により、そのようなpは存在せず、命題は正しい。 追記 ・5の倍数の分母を持つ単位分数は 「1/10 + 1/15」「1/5 + 1/20」「1/5 + 1/10 + 1/30」「1/20 + 1/30」のセットで用いる ・「1/7 + 1/14 + 1/28」「1/8 + 1/24」「1/9 + 1/18」は常にセットで用いる ---- (2) 候補：1/2, 1/3 (3) 候補：1/2, 1/3, 1/4, 1/6。この中から1/3を取り除いた時のみ解となる。 (4) 候補：1/2, 1/3, 1/4, 1/6, 1/10, 1/12。 1/10が必須。1/2を用いないと4項の和が14/15未満になってしまうので、1/2も必要になる。 残り2項は1/4と1/12。 (5) 候補：1/2, 1/3, 1/4, 1/6, 1/10, 1/12 1/10が必須。残った候補の和が4/3で、1項取り除いて5/6にするためには、1/2を取り除くしかない。 (6) 候補：1/2, 1/3, 1/4, 1/6, 1/9, 1/10, 1/12, 1/15 1/9が必須。 「1/4と1/12」「1/10と1/15」のペアを不使用の場合、合計が17/18にならないので、これらのペアは必要。 ここまでで確定した項が5つでその和が11/18なので、残りの1項は1/3。 (7) 候補：1/2, 1/3, 1/4, 1/5, 1/6, 1/9, 1/10, 1/12, 1/15, 1/18 1/5が必須。1/2を用いると7項の和が19/20を超えてしまうので使えない。 「1/10と1/15」「1/9と1/18」のペアを不使用の場合、合計が19/20にならないので、これらのペアは必要。 残り2項で5/12になるように選ぶためには「1/4と1/6」「1/3と1/12」の2通りの解が存在する。 (8) 候補：1/2, 1/3, 1/4, 1/5, 1/6, 1/8, 1/9, 1/10, 1/12, 1/15, 1/18, 1/20 1/8が必須。1/2を用いると8項の和が23/24を超えてしまうので使えない。 「1/9と1/18」「1/10と1/15」のいずれかのペアを不使用の場合、どうやっても合計が19/20にならないので、これらのペアは必須。 残りの3項の組み合わせは「1/4、1/6、1/12」「1/4、1/5、1/20」の2通りが存在する。
問6までは唯一解でした。
問7、問8はそれぞれ2つの解があるようです。
s_hskz
No.52 にお返事を記しました。宜しくお願い致します。 11/12回答発表時に囁きを開かせて頂きました (9)候補：1/2, 1/3, 1/4, 1/5, 1/6, 1/8, 1/9, 1/10, 1/12, 1/15, 1/18, 1/20
1/2、1/3、1/4を用いると9項の和が23/24を超えてしまうため使えない。残りの9項の和が偶然にも23/24になる。 (10)候補：1/2, 1/3, 1/4, 1/5, 1/6, 1/7, 1/8, 1/9, 1/10, 1/12, 1/14, 1/15, 1/18, 1/20, 1/24 1/7、1/14が必須。1/2、1/3、1/4を用いると10項の和が27/28を超えてしまうため使えない。 「1/8と1/24」「1/9と1/18」「1/10と1/15」のいずれかを不使用だと、10項の和が27/28にならないためこれらは必須。 確定済の8項の和が20/28なので、残り2項で1/4を作るためには、「1/5と1/20」「1/6と1/12」の2通りの組み合わせが考えられる。 (11)候補：1/2, 1/3, 1/4, 1/5, 1/6, 1/7, 1/8, 1/9, 1/10, 1/12, 1/14, 1/15, 1/18, 1/20, 1/24, 1/28 1/2、1/3、1/4を用いると11項の和が29/30を超えてしまうため使えない。 残りの13項の候補すべてを足し合わせると75/60。 13項から1項取り除いて残りの項の和を(29/30 + 1/n)の形にするためには1/5か1/12を取り除くしかない。
問10にも複数解が有りました。
問9がこんなにスマートに解けるとは。
s_hskz
No.52 にお返事を記しました。宜しくお願い致します。 11/12回答発表時に囁きを開かせて頂きました
切れ味するどいみれいさんによるNo.47 No.48 、とてもいい感じなのです。 いったん持ち帰らせてくださいませ。 11 の謎を納得したいのです 分母が7の倍数である単位分数は「1/7 + 1/14 + 1/28」「1/21 + 1/28」のいずれかで用いる必要がある。
---- ■問10 ・前述の命題から、使用不可能であることが分かるもの 1/16, 1/17, 1/19, 1/23, 1/25, 1/27 ・どう組み合わせても使えないもの 1/11, 1/22, 1/13, 1/26 ・他の項を可能な限り小さくしても、総和が27/28を超えてしまうもの 1/2, 1/3 ・まだ候補にあるもの 1/4, 1/5, 1/6, 1/7, 1/8, 1/9, 1/10, 1/12, 1/14, 1/15, 1/18, 1/20, 1/21, 1/24 分母に7の倍数を含む単位分数を ・1/21のみ使用 → 「1/4と1/12」を除いた場合のみ解となる。 ・1/7、1/14を使用 →>>48の(10)候補の2組が解となる。 [ 5, 6, 8, 9,10, 15,18,20,21,24] [ 5, 7, 8, 9,10, 14,15,18,20, 24] [ 6, 7, 8, 9,10,12,14,15,18, 24] ---- ■問11 ・前述の命題から、使用不可能であることが分かるもの 1/16, 1/17, 1/19, 1/23, 1/25, 1/27, 1/29 ・どう組み合わせても使えないもの 1/11, 1/22, 1/13, 1/26 ・他の項を可能な限り小さくしても、総和が29/30を超えてしまうもの 1/2, 1/3 ・まだ候補にあるもの 1/4, 1/5, 1/6, 1/7, 1/8, 1/9, 1/10, 1/12, 1/14, 1/15, 1/18, 1/20, 1/21, 1/24, 1/28 分母に7の倍数を含む単位分数を ・一切使用しない →候補が11項になるが、その総和は29/30にはならないので、解なし。 ・1/21、1/28の2つを使用 → 「1/5と1/6」を除いた場合のみ解となる。 ・1/7、1/14、1/28の3つを使用 「1/4と1/5と1/12」を除いた場合のみ解となる。
10,11修正
使えるはずの単位分数を「使えない」と思い込んでしまったせいで、解を見落としていたようです。 問10には3通り、問11には2通りの解があるはず。
s_hskz
No.52 にお返事を記しました。宜しくお願い致します。 11/12回答発表時に囁きを開かせて頂きました
恐ろしい間違いをしでかしていました。 No.14 で、私もYssさんも 1/3 + 1/4 + 1/6 が正解だと思い込んでいます。 申し訳ありませんでした。
みれいさんによる素晴らしい御考察、No.47 48 50 を勉強いたしました。 囁き中の推論は後日公開とさせて頂きます。結論だけ以下にまとめます。 【解の個数】 問2～6 1 問7～8 2 問9 1 問10 3 問11 2 === 問10 に３つ目の解があるとは……気がつきませんでした。 みれいさん、さすがです。御教示をまことにありがとうございました。 ヒミツ
>>52まで閲覧済み
問8・・・、またケアレスミス（と言うか大錯覚）で二個目の解を見逃してました みれいさんのコメントがなければ見逃したままだったでしょう・・・ しかもこれどう考えても説明が冗長・・・ 問9までは最初に答えたときも含めて手計算（ただし筆記はしました ）でしｔが、問10と11の別解探しは本当に電卓使いまくりになるので本当に気が向いたらにします・・・ので解答発表は遠慮なく
s_hskz
＞みれいさんのコメント「問9がスマート」と言うのは はい、もの凄くシンプルです。
s_hskz
52?
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