FAQ
RSS
このクイズのヒント
-
ヒント知らないよ
このクイズの参加者（9人）
算数・数学クイズ
算数・数学クイズ
有名クイズ
広告
広告
広告
広告
広告
広告
広告
広告
広告
広告
広告
広告
広告
広告
広告
広告
広告
広告
広告
広告
広告
広告
広告
広告
広告
広告
広告
広告
広告
広告
広告
広告
クイズ大陸関連書籍
|
|
ツイート
|
 眠り姫プロジェクトに御参加下さい
難易度：★★★
 s_hskz
2015/10/16 02:15
出題者の私が用意した「正解」を当てる問題ではありません。みなさんからの忌憚ない御意見を伺いたいとの試みです。
【眠り姫プロジェクト事前説明会】 １日めに、あなたは、これから行われる実験の説明を受けています。実験会場の一階には既に眠り姫プロジェクトに参加している被験者が多数います。あなたが説明を受けている場所は彼ら全員を観察できる二階です。被験者のそれぞれが赤ないし青のチョーカーを首にはめられています。いっせいにインタビューを受けているようです。あなたは、これから我が身におこる実験について事前説明を受けました。このところ連日、インタビューを受ける被験者の人数は１５００人なのだそうです。今日も明日も明後日も、その予定に変更はないそうです。そしてこのプロジェクトは既に長期にわたり続けられているとのことです。 説明が頭にはいり、被験者たちの健康そうな様子をみて、この実験プロジェクトに参加する意思を、あなたは固めました。あなたは実験会場の一階へと降りていきます。 【眠り姫プロジェクト参加】 一日めに、あなたに関して、ある実験が始められる。まず、あなたは眠らされる。そのあとフェアなコインが投げられ、表か裏かによって、次の二つの措置が選ばれる。 場合Ａ■表が出た場合 一日めに眠らされたあなたには赤いチョーカーが首にはめられる。このチョーカーはあなたにはみえない。あなたは二日めに起こされ、インタビューされ、その後チョーカーをはずされ、帰宅を許され、バイト代10000円が振り込まれるのを待つ。 場合Ｂ■裏が出た場合 一日めに眠らされたあなたには青いチョーカーが首にはめられる。このチョーカーはあなたにはみえない。あなたは二日めに一度起こされ、インタビューされ、また眠らされ、三日めに起こされ、インタビューされ、その後チョーカーをはずされ、帰宅を許され、バイト代20000円が振り込まれるのを待つ。眠りは記憶を消すほど深いので、目覚めたときに二日めか三日めかはわからない。そのままの状態でインタビューされる。 場合Ａ場合Ｂのいずれの場合もあなたは、実験の手続きについてはすべて事前にわかっている。目覚めたときに自分が二日めにいるか三日めにいるか、そしてコインは表だったのか裏だったのかがわからないだけである。 ちなみに、コイン投げがなされるタイミングについては、あなたが最初に起こされる前である。 さて、あなたへのインタビューは次のようなものである。 ◇問１「今は第１日め、実験開始の直前である。場合Ａである確率は？」 ※なお、このインタビューのみ、１５００人が一斉に受けるインタビューとは別のタイミングで行われることに御留意下さい。 ◇問２「さぁ、あなたは目覚めた。あなたの首にはめられたチョーカーの色が赤である確率は？」 ◇問３「さぁ、あなたは目覚めた。場合Ａである確率は？」 ◇問４「さぁ、あなたは目覚めた。あなたのバイト代の期待値は？」 ◇問５「さぁ、あなたは目覚めた。今は二日めであると知らされた。あなたの首にはめられたチョーカーの色が赤である確率は？」 ◇問６「さぁ、あなたは目覚めた。今は二日めであると知らされた。場合Ａである確率は？」 ◇問７「さぁ、あなたは目覚めた。今は二日めであると知らされた。 あなたのバイト代の期待値は？」 問１から問７まであなたの主張をおきかせください。何人ものプロの研究者が、この問題で互いに異論をぶつけあっています。正解なんてあるのでしょうか。…… なお、囁き欄はありません。ざっくばらんにお考えをおきかせください。各インタビューにあなたならどのようにお答えになるのでしょうか。 === ◎参考資料 ■[PDF]『1．序論： 眠り姫問題 信念の度合い或いは主観確率を ... - 静岡理工科大学』 http://www.sist.ac.jp/~shinba/self_location.pdf ■三浦俊彦著『多宇宙と輪廻転生 人間原理のパラドクス』 青土社 ※参考資料にあげた文献での考え方と私の考え方は異なります。みなさんのお考えもまた、参考資料にも、私の考えにも一致していないこともあるだろうと考えられます。それでいいと思うのです。
|
回答募集は終了しました。
『フェアなコインって何だ』と御質問があろうかとは存じますが、コイントスをしたときに表と裏の出る確率が等しい、くらいに考えてくださいませ。 物理的にマヂな話をすれば１０円玉の表と裏の出る確率が等しいわけがありませんよね？微妙に違いますよね？表と裏で模様が違う以上…… 今、０＜α＜１／２ なる確率αで表が出るコインがあったとしましょう。 コインの替わりに下駄でも構いません。 何回トライしても表の出る確率がαだとするのです。物理的減耗が確率に影響しないとの考えを取ります。 さて、このコインのみ（下駄のみ）を使って、勝率が１／２となるゲームを作れます。 ２回を一組としてコイントスをし、表裏の順に出たらｘの勝ち、裏表の順に出たらｙの勝ち、表表の順に出たり、裏裏の順に出たりしたら引き分け再試合とすればオーケーです。 なお、サッカーの試合前のコイントスで表と裏の出る確率が違うというのは有名な噂ですが……
さあ、あなたは目覚めた。あなたにとっての主観的確率とは何？、目覚めたこと自体に、主観的な確率の変動を考慮すべき情報的な価値はあるか。場合Ａである確率と、あなたの首のチョーカーの色との関わりは？
問題文であげられた参考資料のうち、最初のPDFには、眠り姫問題と３囚人問題の関わりが示唆されています。実は３囚人問題とYssさん御出題のクイズ「モンティ・ホール的まずいお茶」の問題１とは、等価な問題です。 今回の『眠り姫プロジェクト』は、Yssさん御出題のクイズ「彼は天使か悪魔か？」のなかで雑談として顔を出しました。ベイズ改訂にからんでです。Yssさんのお勧めにより出題させて頂く決心をいたしました。
とりあえず問１問２だけ。
問１は1/2でいいでしょう。 問２は、実はこれだと言葉がまだ曖昧で、 チョーカーが客観的視点から見て赤である確率は1/2 あなたが、自分の首に赤いチョーカーを見るという【体験をする確率】は1/3 に、なると考えます。 これ、曜日だともっと違いがクッキリするんですよね。 火曜日は週に一回しか来ないけど、火曜に二回起こされる設定なら、本人は火曜を二回体験する。客観的な頻度と主観的な頻度が異なるという。 まあ、この問題、純粋に確率の問題というよりは、語義のトリックみたいな面もあるのが面白い部分だと思うので…そこが困ったところであり面白いところでもあると思いますが… あ、いきなり整理する方向に進めてつまらなくしちゃいました？ でもこの程度で整理できるほど浅くないですね、この問題は 
Yssさん、眠り姫プロジェクトにご参加を有り難うございます。（召喚魔法が効きましたかね……） 確かにプロの研究者どうしでケンケンガクガクの大論争をなさっているのは語義の問題が隠れているのかもしれませんね。 オリジナルの「眠り姫問題」には首のチョーカーがありません。語義についての検討が必要かもしれないことが浮かび上がるような工夫としてバイト代とチョーカーとを付加してみました。 === この場をお借りして、皆さんへお願い申し上げます。《予想もしない解答でs_hskz をびっくりさせたり、他の人の面白回答を絶賛してください。どれだけ頭の体操できるかな？》
初めて聞く問題です･･･s_hskz さん、楽しい問題のご紹介をありがとうございます。
一つだけ「目覚めたときにはどんなときも必ずインタビューされる」という前提を確認したいのですが、これは疑わなくてよいのですよね？だとしたら、全く悩むところなく以下のように答えます。 事前 1:1 ◇問１ １/２ 何日目か不明 1:2 ◇問２ １/３ ◇問３ １/３ ◇問４ （ 二日目と告知 1:1 ◇問５ １/２ ◇問６ １/２ ◇問７ １万５千円 事前と二日目の答が誰に聞いても 1/2であることは論を待たないはずで、問題は「何日目か知らされていない」場合の確率ですよね。 この種の問題で、私の基本的な考え方は「ギャンブルだとしたときに期待値がゼロとなるようにオッズを切り、それから逆算して確率を算出する」です。 胴元は、赤に２倍、青に０．５倍（欧米式）のオッズをきった場合に、期待値ゼロのパレート最適解になります。 （それ以外のオッズなら、赤か青のどちらかを選ぶことで被験者にとっての期待値がプラスになります。）ということで逆算される確率は1/3。 論争のポイントは理解しているつもりですが、私からしたらそれ以外の答えはありえません。 主観的・客観的確率のハザマで矛盾を感じる方は、「Ａだったら二日目終了時点で殺される」と問題を読み替えれば、話が通りやすいと思います。「生きてインタビューに答えているという事実」がすでに条件的確率の影響下にあるので、事前の確率にこだわることには意味が乏しい（ない）ことにご納得いただけるのではないかと。 問４は訂正します。これは思慮が浅かったです･･･ また復活。やっぱり１+2/3でよいと考え直しました。 
s_hskz
「目覚めたときにはどんなときも必ずインタビューされる」 それでよろしいかと存じます。 （インタビューされたことを被験者は忘れてしまいますが……） それと、分析哲学者の三浦俊彦先生バージョンの眠り姫問題では被験者は、必要な数だけインタビューを受けたあとは永遠に眠り続ける設定になっています。
ありがとうございます。
h_hskzさんに召喚されましたYssです  さきほどは、同時に書いていたようですね  ＞Yssさんのお勧めにより 待ってました！ ３囚人問題は、モンティ・ホールと数学的にはほぼ等価なのに、より直感を混乱させる度合が高いですね。例の本で見て、しばし混乱の渦に呑み込まれました。 ところで、ベイズ主義においては、フェアなコインとは、たとえゆがみがあるとしても、そして表裏の確率が異なっていたとしても（たとえば0.6と0.4）、どちらが0.6なのか分からず、判断するのに十分な情報がないと言えたら、表も裏も確率は1/2ずつ、と考えて良い、と、なるんですよね。ここが頻度主義と大きく異なるところだと思います。 残りの問題も、ぼちぼち解答していきますね。
s_hskz
＞待ってました！ ありがとうございます。 強固な１／３派原理主義者だった私が、Yssさんのひとことで転向してしまいました。考えが落ち着くまでに時間がかかってしまいました。
「フェアなコイン」は面白いですね。
今回の問題は、「Ａだったら二日目終了時点で帰される」手続きがわかっている以上、悩むところはないのですが。 今回の問題に帰着すると、「Ａだったら二日目終了時点で帰される」と言う情報が被験者に与えられない場合、に該当するのでしょうか。この場合、被験者は確率1/2と判断せざるを得ませんし、それが「被験者にとっては」正解です。 これはギャンブルで言うと＜胴元がイカサマをしている＞状態なので、被験者にとっての確率1/2は「イカサマによりミスリードされた確率」ではあるのですが
たっくん４さん
客観的視点から見て、というのは、少しあいまいな言い方だったので、 （１）眠りに入る前＋完全に起きてからの、客観的視点の世界 （２）一瞬起こされるだけの、主観的視点のみの世界 のふたつに分けたときに、 たとえば、バイト代は（１）の世界の出来事です。 その観点（＝さきほどの「客観的視点」）から、赤チョーカーと青チョーカーの確率を考えると、 これは明らかに、1/2です。バイト代の期待値は、したがって15000円になります。 青いチョーカーの時に、何度起こされようとも、何日かかろうとも、やっぱり15000円です。 しかし、（２）の主観的世界の中でたとえばギャンブルをすることにしたとしましょう。 首のチョーカーの色当てをする。赤か青か。これなら、私も（オッズが同率なら）青に賭けます。 客観的に見て（＝（１）の世界で）赤か青か、ということと、 主観的体験として（＝（２）の世界で）赤と青と、どちらを体験するか、ということが、 かなり解離する事例です。 多くの、日常で体験する出来事では、ここまで解離することはないので、混乱するのではないでしょうか。 おっと、つい問４＆問７に手をつけてしまった・・・ （２）の主観的世界での出来事は、事後確率的にも、（１）の世界には影響を与えない。 というのが、私がたどり着いている結論なのですが・・・
たっくん４さんの提起された、( >>6 )
二日目の時点で殺される（なんで数学やパズルってすぐ殺されるんでしょうね？） という仮定だと、（１）の主観的世界に戻れないので、解釈は難しくなりますね。バイト代受け取れないし（そういう問題か？いや、そういう問題だ。）
s_hskz
余談ですが言語学で例文を出すときもなにかと死ぬだの殺すだのがでてくるそうです。一回コッキリの事象を示したいときにです。
＞（２）の主観的世界での出来事は、事後確率的にも、（１）の世界には影響を与えない。
というのが、私がたどり着いている結論なのですが・・・ とは言ったものの、今、「今日は三日目です」と言われたら、１００％青チョーカーだって分かるよなー、と混乱しているところです。
たっくん４さんの
＞二日目の答が誰に聞いても 1/2であることは論を待たないはずで を読んで、s_hskzさんがニヤリ、としている気がする・・・ これ、自明ではないですよね。事前の方は１／２で論を待たない、でいいと思いますが。 私の答えはもう少し練ってから書きます。
s_hskz
ニヤリとはいかないですね、とてもとても。 眉と眉の間にシワをよせて考え込んでおります。
いつも楽しませていただきありがとうございます。
どう考えても理系ではない、と言って文系的素養にも疑問あり、無学系の私が来ましたよ！ とりあえずはNO.3（10：12時点）まで書き込みだけ見て、参考資料未読状態で行きます。 下記のように考えます。 コイントス＝Ａ（赤）、Ｂ（青）ともに1/2 2日目にインタビューを受ける可能性は100％でＡ1/2、Ｂ1/2（Ｂ2と呼びます） 3日目はＡバイト完了が1/2、Ｂインタビューが1/2（Ｂ3と呼びます） ※言葉のあやがあるかもしれませんが、意を汲んでいただけるとありがたいです 問1 1/2 これは単純にコイントスだけ考慮。 問2 1/2 目覚める可能性は100％（じゃなかったら怖すぎるｗ）で、どのケースもふるい落とされてないので1/2のまま 問3 1/2 この問題に関しては赤＝Ａと考えて問2と同じ ※Ａ、Ｂ2、Ｂ3の三通りのうちの一つだから1/3とは考えません。 問4 15,000円 10,000*1/2+20000*1/2＝15,000と考えます・・・でも現実だったら日給換算して1/2*10000*1/2+1/2*20000*1/3で日給2500+約3333円で日給期待値5833円と計算するかもしれません  問5 1/2 二日目だと分かっても、バイト完了（赤）３日目へ続く（青）の確率は変わらないと思います。 問6 2/3 二日目と分かったことでＢ3が否定されました。否定されたＢ3（1/4）はすべて青なので青の確率が1/4下がって赤（Ａ）2：青（Ｂ）1に。 問7 15000円 問5と問4を踏襲します。「ごくろうさん（10000円）」が1/2、「３日目へ（20000円）」が1/2 現在の考えです。参考資料を読んだり、他の方のコメントを見て変わるかも知れません 
s_hskz
私も雑食系です。 アクジキといっても良いかもしれません。
NO.2がさらに面白そうなのですが、これは大長考が必要になりそうです！
期限切れの恐れが大きいとさえ感じます と言うか見ての通りNO.14すら大長考でありまして、その間に書き込まれた巨匠たちの書き込みを熟読してみて、問7までの再考をするのも楽しみです。 どどどどど素人がスーパー的外れ（とか空気クラッシュ）なこと言ってても暖かい目でお願いします 
s_hskz
みなさんのご様子からみてロックはかなり先になりそうです。
>>10 Yssさん、
＜これは明らかに、1/2です。バイト代の期待値は、したがって15000円になります。＞ 一番異論の多そうな問4について、「１＋２/３万円」であることを主張してみます。 これは「ギャラを君の言った価格で買い取ってあげるけど、いくらなら変えたい？」 というギャンブル１に置き換えられることに異論はないと思います。 ここからは先物取引の考え方ですが、 ギャンブル１は「ギャラは普通に払うから、それとは別に本来のギャラと君のつけた値段との差額をやりとりしよう」 （付けた値段－実際のギャラ）を被験者が受け取る（負の場合は支払う） というギャンブルと全く同値です。 すると、答えは１＋２/３万円であってますね。 １．５万円と言う答えは、「２回賭けているのに１回分の勝敗が無視されている」と言う問題点があります。 要するに「発言者全員の （のべ）平均ギャラはいくら？」と問題を捉えなおせば、１＋２/３万円が正解になるのです。
「このところ連日、インタビューを受ける被験者の人数は１５００人なのだそうです。」
↑みなさんの書き込みを見て検討しているうちにこの条件を完全に見逃していたことに気がつきました！ ・・・これはさらなる苦戦の予感
s_hskz
３の倍数で大きめな数字だったならなんでもよいくらいの気持ちで作った１５００です。あまりお気になさらないで下さい。
私は被験者にはなりたくないですが、議論には参加してみます。
とりあえず自分の見解だけ書いておきます。 問1～問7のすべてについて、確率は1/2、期待値は15000円、です。 A,Bは等確率で起こると考えるのが妥当ですので、こうなります。 これ以外の答えはあり得なーいと思っています
s_hskz
問２を除いて同意いたします。
たっくん４ さん、jさん、あれれさん、眠り姫プロジェクトへのご参加を有り難うございます。 みなさんの御意見を読んで大いに参考にさせていただいております。 まずはご挨拶だけでも…
>>10
＜客観的に見て（＝（１）の世界で）赤か青か、ということ＞ こんな質問は、一切問われてないと思うんですけどね･･･ 皆が疑わない問１は、定義ア＜コインで決めた時の事象Ａ対事象Ｂの比率：１：１＞という定義をそのままに問う質問であるから疑問なく５０％なのであって、それ以降の質問は全部「条件付確率」なのだから、必ずしも５０％でないことは明白ではないかと。この問題の設定は「条件付確率」を前提にしていることが日本語的に明らかだと思いますので、議論が起こる理由が理解できません。 ＜（２）の主観的世界での出来事は、事後確率的にも、（１）の世界には影響を与えない。というのが、私がたどり着いている結論なのですが＞ 主観の出来事は、前段の確率には影響を与えない、これはその通り、同意します。ただし、この問題で問われているのは、というより、確率の世界で問われているのは、すべて前段の確率を前提（一部）とした事後の世界であって、（１）にひたすらこだわるのはなんとも不思議な反応だと思っています。
出題者の私のポジションペーパーを投稿いたします。 === ◇問１「今は第１日め、実験開始の直前である。場合Ａである確率は？」 ◆答１ １／２ === ◇問２「さぁ、あなたは目覚めた。あなたの首にはめられたチョーカーの色が赤である確率は？」 ◆答２ １／３ ※１５００名の被験者のうちのひとりとして私は目覚めました。事前説明で赤いチョーカーをつけた被験者は５００名、青いチョーカーをつけた被験者は１０００名いるとわかっています。そのうちの１名が私です。 === ◇問３「さぁ、あなたは目覚めた。場合Ａである確率は？」 ◆答３ １／２ ※答２に引きずられて【場合Ａである＝赤いチョーカーをつけている】確率だから１／３と答えたくなりかねませんが、赤いチョーカーの被験者の人数に比べて青いチョーカーの被験者の人数は２倍いることを忘れずに勘定にいれます。比がキャンセルするのでした。 === ◇問４「さぁ、あなたは目覚めた。あなたのバイト代の期待値は？」 ◆答４ １５０００円 ※（答３に整合） === ◇問５「さぁ、あなたは目覚めた。今は二日めであると知らされた。あなたの首にはめられたチョーカーの色が赤である確率は？」 ◆答５ １／２ ※二日めの被験者１０００名では、赤いチョーカーと青いチョーカーの人数は同じです。そのなかのひとりとして私は目覚めました。 === ◇問６「さぁ、あなたは目覚めた。今は二日めであると知らされた。場合Ａである確率は？」 ◆答６ １／２ ※答３、答５に整合。比は１対１になっていますが同じ計算です。 === ◇問７「さぁ、あなたは目覚めた。今は二日めであると知らされた。 あなたのバイト代の期待値は？」 ◆答７ １５０００円 ※（答６に整合） === 以上が私の認識です。
おー、出題者ご本人の意見が出てきましたね。がぜん面白くなってきました
 （すいません、いまから自分のファイナルアンサーを投稿します）
「多宇宙と輪廻転生」は以前読みました。
賛同できないところもありましたが、面白い内容だったと思います。 議論を進める前に確認したいことがあります。 知ってる問題だと思って設定を読み飛ばしていたのですが、 よく読むと意味が分からないところがでてきたのです。 いっせいにインタビューを受けるということは、 2日目にインタビューを受けるのは1500人。赤と青が半々。 3日目にインタビューを受けるのは約750人。青のみ。 ということになるのでしょうか。 周りを見れば2日目か3日目か分かってしまうと思うのですが。 半数の人は1日早くいなくなるのに、連日被験者の人数は1500人というのも謎です。 この辺は問題の本質には関係ないと思いますし、話がややこしくなりますので、 他の被験者を目にすることはないと考えてよろしいでしょうか。
s_hskz
『多宇宙と輪廻転生』 不思議な本でした。眠り姫については様々な研究者の意見がみられて面白かったです。ですが、「唯一設定」がらみのオハナシは納得しておりません。 さてご質問の件ですが、プロジェクトの人口推移を図にします。●および■は赤チョーカー500名、○および□は青チョーカー500名を示します。初日だけはダメですが、以後、今日まで被験者は１５００名づつ稼働です。 1:●○ 2: ○□■ 3:●○□ 4: ○□■ 5:●○□ 6: ○□■ 要は、毎日1000名の投入です。 毎日赤チョーカーのバイト終わり、その赤チョーカーの前の日に実験を開始していた青チョーカーのバイト終わり、それぞれ５００名、計１０００名がリタイアしていきます。
これ、外側の客観的な世界と、目覚めた瞬間の主観的な世界と、
どっちのことを問うているのか、それをハッキリさせないと、 答えが変わってしまう問題だと思います。 短く表現するために、この解答ではそれぞれを、 外の世界、夢の世界、と呼ぶことにします。 （夢といってもその瞬間は起きているんですが） ということで、問題文をこう解釈することにします。 チョーカーが赤（または青）である→夢の世界の出来事 場合Ａである→外の世界の出来事 >>4 では分かりにくいことを申しましたが、 問題文がよく練られているので（s_hskzリスペクト！）、それに沿う形で、チョーカーの色は完全に夢の世界の話（したがって >>4 に書いたことは、この解答で発展的に解消したということにして、一旦取り消します）、場合Ａである、というのは完全に外の世界の話、ということで、解答を進めていきます。 これ以外の解釈もありうると思いますが、 このように解釈すると、私の言いたいことが一番伝わる解答が作れるので、我田引水ではありますが、しかし、s_hskzさんもこういう意図があるからこその設問と推察いたしましたので、このような解釈で進めることを、お許し下さい。 解答の前に、前提を整理してリストにしておきます。 どっちの世界から見ていて、どっちの世界の確率を問うているのかを 夢の世界から、外の世界の確率を問うのなら、 夢→外 のように表記します。 問１ 外→外 問２ 夢→夢 問３ 夢→外 問４ 夢→外 問５ 夢→夢 問６ 夢→外 問７ 夢→外 そして、私の解答です。 問１ １／２ 問２ １／３ 問３ １／２ 問４ １５０００円 問５ １／２ 問６ ２／３ 問７ ４００００／３ 円 では、考え方ですが、 まず、夢の世界で話が終わる話なのか、外の世界で結論が出るのかによって、違う確率を考えないといけない、ということを述べたいと思います。オカネが絡む場合は決済はどの瞬間に行われるのか、ということです。 そして、外の世界と夢の世界とのつながり方ですが、こう考えます。 ＜記号の説明＞ 赤：チョーカーが赤 青：チョーカーが青 Ａ：場合Ａ Ｂ：場合Ｂ 赤2や青3など、数字がついているのは、何日目にそれを体験したかの数字。 外の世界の事象：その確率ー夢の世界の事象：その確率 の順で、 対応関係を表すと、こうなります。 Ａ：1/2 ー 赤2：1/3 Ｂ：1/2 ┬ 青2：1/3 └ 青3：1/3 少し無理やりですが、変形すると、 （ア）Ａ ：1/2 ー 赤2：1/3 （イ）Ｂ2：1/4 ー 青2：1/3 （ウ）Ｂ3：1/4 ー 青3：1/3 このように、外の世界と、夢の世界が、 確率がねじ曲がってつながっています。 ここでもし、問２のように、起こされただけの時に、チョーカーが 赤である確率を問われたら、 夢の世界では確率1/3ずつですから、１／３となります（問２）。 しかし、この時点では、（ア）（イ）（ウ）の可能性はどれもあり、 外の世界でＡが起きたかＢが起きたかで言うと、何の情報も無く、 これは１／２と考えるしかない（問３）。 当然、外の世界の話である、バイト代の期待値も１／２を前提に 計算し、１５０００円になる（問４）。 上に各問で、何を問うているのかを、リストにしましたが、 私は、問２と問３では、本質的に問われているものが違うと解釈して 解答を作っているので、異なる確率になっています。 出題者さんご本人の解答を拝見すると私と同じなので少し安心しました(^^ゞ さて、ここで、「二日目である」と告げられた場合、 （ア）（イ）の可能性のみが残り、（ウ）が消え去ります。 （ア）Ａ：1/2 ー 赤2：1/3 （イ）Ｂ2：1/4 ー 青2：1/3 外の世界でも夢の世界でも（ア）（イ）が全事象になりますから、 全確率が１になるように比例させて計算し直すと、 （イ）青2：1/3 ー 青2：1/2 （ア）Ａ：2/3 ー 赤2：1/2 （イ）Ｂ2：1/3 ー 青2：1/2 「チョーカーが赤である確率」は夢の世界の話なので１／２ （問５） 「Ａが起きた確率」は外の世界の話なので２／３ （問６） そして、問７は、２／３を前提に計算するので４／３ 万円。 ここは、出題者さんと私の意見が違うところのようです。 私は、こう考えます。二日目であるという情報から、まだこれから三日目に起こされるかもしれない、ということを想定して、（ウ）の可能性を残してしまうと、 夢の世界で何の事前情報も無いときに（ア）（イ）（ウ）が等確率１／３ずつと考える仮定と矛盾すると思います。 （ア）（イ）（ウ）が等確率１／３ずつと考えるなら、「二日目である」という情報を得たときには、（ウ）は消去しないといけません。 問７は秀逸な問いですよね（s_hskzリスペクト！）。 私の解答の前提は、言い換えるとこんな感じです。 たとえば、問７の状況で「二日目だ」と告げられて、 その瞬間に、 「ふつうにバイト代を受け取る」のと 「いますぐ通常のバイト代を破棄して、○○万円に変更する」のと どっちを選ぶ？ という選択肢を突き付けられて、 （記憶が無くなるらしいので、あとでもめないようにビデオでも録画しておきますかね） そのとき、何円との交換だったら、得なのか。 言い換えると、外の世界の決済と、夢の世界の決済を、どういうレートで交換するのが妥当なのか、という話を考えたとすると、 私が解答した、４／３万円がしきい値になると思います。 夢の世界から、外の世界のバイト代の期待値を求める、というのは、言い換えると今書いたような話になると思います。あくまで夢の世界の中だけで成立する計算なので、これを現実のお金に換算したければ、夢の世界の中で（起きてますが、笑）決済まで持って行く必要があります。 まとめますと、 外の世界と、夢の世界の確率が、確率がねじ曲がってつながっているために、このような混乱する事態になるのだと思います。 どちらの世界から見て、どちらの世界での確率を求めているのかによって、確率が複数定義出来てしまいます。 というのを、私のファイナルアンサーとします。 10/16 20:10 「二日目である」と告げられたところからの説明に記号のミスがありましたので修正しました。履歴を残して打ち消し線で消してあります。結論に変わりはありません。
>>21 s_hskzさんに質問です。
質問１：このところ連日、インタビューを受ける被験者の人数は１５００人、というのは、十分に長い期間実験が行われていて、２日目の被験者１０００人、３日目の被験者５００人の組み合わせがずっと安定している、という理解でよろしいでしょうか？ ･･･質問１がノーな場合、、 質問２：「一斉に受けるインタビュー」で、他の被験者のチョーカーは見えるのでしょうか？質問１がイエスなら、目に入るチョーカーは常に１：２で安定しているのでどっちでも違いが無いのですけど。 最後に、しかし一番重要な質問３：「◆答３」のご説明が全くわかりません･･･ 問３での質問は「さぁ、あなたは目覚めた。（目覚めたあなた自身が）場合Ａである確率は？」 という意味ですよね？それなら、表が出た人＝場合１＝赤いチョーカーをつけている、が、同義で完全対応になるはず。、 1/2であることをなんとか正当化しようとすれば･･･ 「さぁ、あなたは目覚めた。（あなたとは関係なく、ある新規の被験者への対応が）場合Ａである確率は？」と言う超絶的解釈であるなら、たしかにその確率は 1/2 なのですけど。
s_hskz
とりあえずご質問の１番にだけ先に私の見方をお伝えいたします。 No.23における、あれれさんからのご質問への答えと同じなのですが、別の言葉で。毎日１０００名が新規にプロジェクトに参加し、毎日１０００名がプロジェクトから抜けます。新規に参加したものの半分は赤チョーカーをつけられ、残り半分は青チョーカーをつけられます。 アルバイトを終えて帰路につく参加者の半数は直前まで赤チョーカーをつけられていましたし、残り半分は青チョーカーをつけられていました。もしもわかりにくければ次のように考えてみましょう。青チョーカーの２回目の睡眠のあいだにチョーカーの色を黄色にさしかえます。すると毎日１０００名の帰宅者の半分はかつて赤チョーカーをつけていて残りの半分は黄チョーカーをつけていました。直前まで青チョーカーをつけていた人たちは帰宅できません。 こうした設定ならば、実験会場の二階での事前説明会で階下をつぶさに観察すれば、赤青黄のチョーカーをつけた人々の数はそれぞれ５００名づつだとわかることでしょう。 余談ですが、こうした設定であっても問１から７までには黄も青も含まれず赤についてだけ言及していますから、答１から７までの結果に影響を与えません。 ご質問の３番についてはよく考えませんとお答えできないようです。なにか良い説明がみつかれば良いのですが…… ===以下不十分なものですが追伸です。 まず、私の見解はYssさんによるものとは異なりますので、そこを留意願いたく存じます。 ＞問３での質問は「さぁ、あなたは目覚めた。（目覚めたあなた自身が）場合Ａである確率は？」 という意味ですよね？ そうです。一人称的確率論です。あくまでも《私にとって》です。 ＞それなら、表が出た人＝場合１＝赤いチョーカーをつけている、が、同義で完全対応になるはず。 その点についてはお気持ちが痛いほどにわかります。私はつい先日まで強固にたっくん４さんのお立場でしたので。 ＞1/2であることをなんとか正当化しようとすれば･･ 正当化のつもりは御座いません。一人称的確率論で、答３にて1/2と申しました。 "表が出た人＝場合１＝赤いチョーカーをつけている"が、 "裏が出た人＝場合２＝青いチョーカーをつけている"と、非対称なのです。非対称の起源は、青いチョーカーをつけている人が２倍いること、これになります。 選挙でたとえれば赤チョーカーの人が一票もっているのに、青チョーカーの人が二票もっているようなものです。 "裏が出た人＝場合２＝青いチョーカーをつけている"の信念の度合いは、話半分に是正すべきと存じます。
>>24 Yssさんの意見 を読んで、違う意見の持ち主の主張が少しだけ理解ができた気がします。
問３は外の世界に対する質問、だということは、 「（目覚めたあなた自身が）場合Ａである確率は？」ではなく、 「（あなたとは関係なく、ある新規の被験者への対応が）場合Ａである確率は？」と言う解釈だということでしょうか？ 後者の解釈を取るのであれば、トートロジーで、そりゃいつだってその確率は1/2です。この点は同意します。
連日1500名がインタビューを受けているものだと思っていました。
ので、日によって1500名の赤青の比率が異なってくるんじゃないか？そうだとしたらそれはどんな影響があるだろうか？と考えて頭がショートしてました  プロジェクト初日 1500名採用 インタビューなし 2日目 1500名＝赤+青被インタビュー初回 帰宅した赤の人数分新規募集 3日目 1500名＝赤+青二度目（帰宅）+青初回 帰宅した分を募集 4日目 1500名＝赤+青二度目（帰宅）+青初回 帰宅した分を募集 ・・・のような流れを考えて立ち往生していました
s_hskz
No.23 と No.25 に、ご質問への答えに通じるかもしれない私の見解を記しました。 ここでは更に別の説明に挑戦いたします。 目がさめた私にとって、場合Ａの二日目の私と、場合Ｂの二日目の私と、場合Ｃの三日目の私と、どれもが等確率でありえます。 もしも人口が安定しているのならば、目がさめた【私たち】にとって、場合Ａの二日目の【私たち】と、場合Ｂの二日目の【私たち】と、場合Ｂの三日目の【私たち】と、どれもが等しい人数いることでしょう。 そのためには、連日にわたり続くプロジェクトの初日から毎日一貫して１０００名の新規参加者を募れば良いでしょう。最初の帰宅者は赤チョーカーの人たち５００人ですが、次の日からは毎日１０００名の帰宅者がいることになります。青チョーカーの人は１日ずれて帰宅しますから、そのぶんだけ、日々安定してだぶつきます。 プロジェクト最終日には５００名の青チョーカーの人々が帰宅することでしょう。
私は理論が苦手なので直感で回答です
問１、２、３、５、６→1/2 問４と７はわかりません。 問２と３、問５と６、 質問から読み取れる情報だけでは正解は出ないと思います。
黒犬さん、眠り姫プロジェクトにご参加を有り難うございます。 天才数学者のポール・エルデシュも、モンティ・ホール問題について当初間違えましたし、正解を聞いても暫くのあいだ、納得しませんでした。 この種の問題については、理論の基盤、ナイーブな直感のありかたを重要視すべきと存じます。 ＞問２と３、問５と６、問４と７は同じ事を質問してる あれ？そうなのでしょうか……少々私にもお時間を頂きたく存じます。
そもそも一日後との人数が決まってる点を完全に見逃して回答してました。
気づいてからは連日1500名ちょうどに収束させる方法に考え違いがあったようです 改めて考えてみました。※と言っても気づきとも考え違いの是正とも関係なく再考しただけになってるかもしれません。 ◇問１「今は第１日め、実験開始の直前である。場合Ａである確率は？」 1/2 純粋にコイントスの確率通り ◇問２「さぁ、あなたは目覚めた。あなたの首にはめられたチョーカーの色が赤である確率は？」 1/2 「目覚める」ことは実験開始前から分かっていたことで、この情報によって確率計算修正はないと思います。問1と同じ数値じゃないと矛盾する気がします。 ◇問３「さぁ、あなたは目覚めた。場合Ａである確率は？」 1/2 問2と同じスタンスです。 ◇問４「さぁ、あなたは目覚めた。あなたのバイト代の期待値は？」 15,000円 10,000円*1/2（赤）+20,000円*1/2（青）※日給期待値はやめましたｗ ◇問５「さぁ、あなたは目覚めた。今は二日めであると知らされた。あなたの首にはめられたチョーカーの色が赤である確率は？」 1/2 二日目と言うことは前の日に実験に参加したことが確定。この時、赤だったか青だったかはそれぞれ1/2（この後、帰宅する確率も三日目を迎える可能性も1/2） ◇問６「さぁ、あなたは目覚めた。今は二日めであると知らされた。場合Ａである確率は？」 1/2 問5を踏襲（NO.14から考えを変えました） ◇問７「さぁ、あなたは目覚めた。今は二日めであると知らされた。 あなたのバイト代の期待値は？」 15,000 問4問5を踏襲。 結局、二日目が確定＝前日参加が確定と言う考えが備わっただけです。 まだ他の方のコメント（前出のも含めて）や参考文献を見て変わるかもしれません。 （自信が持てないのです ）
ひとつ問いかけをします。
この問題では、たまたま、二日目であるという情報を得るケースしか問われていませんが、 もしも「あなたは目覚めました、今日は三日目です」という情報を得たとしたら、本当に同じ考え方、計算方法で確率や期待値を求めるでしょうか？ もしも、問７で、１５０００円という金額を答えたなら、 私がいま設定した、「今日は三日目です」という状況においても１５０００円と答えなければ、考え方が一貫していないと思います。 あるいは、「二日目である」という情報と「三日目である」という情報には、何か考え方を変えるだけの違いがあるのでしょうか？ 但し、三日目であるという情報を得たあと、何らかの方法で「夢の世界」の記憶が消去されてから、本当の目覚め、とならないと、話が一貫しないと思います。蛇足でした。 私は、「三日目である」という情報を得た場合は、どういう確率、どういう期待値を考えるのだろう？という問を自問してみて、上の考えに至りました。 皆さま、いかがでしょう？
NO.31 Yssさん
私は「二日目である」と言う情報から赤（10,000円）の可能性が1/2、青（20,000）円の可能性が1/2と考えて10,000円*1/2+20,000円*1/2＝15,000円と回答しました。 「三日目である」と言う情報はそれだけで赤（10,000円）の可能性を0にするものだと思います。 このことは10,000円*1/2を消去し、20,000円に修正する根拠（＝考え方を変えるだけの違い）と考えます。 NO.31より引用 「但し、三日目であるという情報を得たあと、何らかの方法で「夢の世界」の記憶が消去されてから、本当の目覚め、とならないと、話が一貫しないと思います。蛇足でした。」 この部分を理解出来ていないままに返信しています。理解出来ていないままの返信自体が無意味だったらごめんなさい
訂正です。
問４と７が同じというのは取り消します。 期待値が何かもわからないのに…すみません  問２と３、問５と６については『場合A＝コインは表＝チョーカーは赤』の流れから同じ質問じゃん…と思ったわけです。
s_hskz
問２と３、問５と６については『場合A＝コインは表＝チョーカーは赤』 はい、おっしゃりたいことはよくわかります。私は係数をつけることにしました。以下。 『場合A＝コインは表（二つの選択肢【コイントス】のうちの一つ）＝チョーカーは赤（三つの選択肢【目覚め】のうちの一つ）』 『場合B＝コインは裏（二つの選択肢【コイントス】のうちの一つ）＝チョーカーは青（三つの選択肢【目覚め】のうちの二つ）』
議論が色々出てまして・・・
ここで、皆さんの主張を一覧にしてまとめてみようと思いました。 出題のところにあるリンクによると、大きく分けて、この問題は、 「１／３派」と「１／２派」に分かれるとのこと。 これがまた、分かりにくい名称で、１／３派というのは、目覚める機会をそれぞれ等確率と考える派、ということです。１／２派というのは、場合Ａでの目覚めを１／２、場合Ｂでの目覚めを１／４の２回と考える、ということ（が一応本質のようです）です。 ガチガチの１／３派だと、 【問２】【問３（＝問４）】【問５】【問６（＝問７）】の４つに分けて考えると、 １／３ １／３ １／２ １／２ という答えになるはず。 一方で、１／２派だと、順に、 １／２ １／２ ２／３ ２／３ と、なるはずです。 ここで、１／３派をthirdのＴで表し、１／２派をhalfのＨで表すことにすると、 各解答者が、各設問について、どちら派で考えたのかを表にすることが出来ます。 順にs_hskzさん、たっくん４さん、Yss、ｊさん、あれれさん Ｓ た Ｙ ｊ あ 問２ Ｔ Ｔ Ｔ Ｈ H 問３ Ｈ Ｔ Ｈ Ｈ H 問４ Ｈ Ｔ Ｈ Ｈ H 問５ Ｔ Ｔ Ｔ Ｔ T 問６ Ｔ Ｔ Ｈ Ｔ T 問７ Ｔ Ｔ Ｈ Ｔ T たっくん４さんはガチガチの１／３派であることが分かります。 これはこれで一貫していますよね。 s_hskzさんは問３と問４のときだけ１／２派になっていますね。 私は、上で書いたように、夢の世界と外の世界と分けて、外の世界を見るときだけ１／２派です。 （一応、考え方は一貫してる・・・と思うのですが） ｊさんは基本が１／２派のようですが、ところどころ１／３派の解答があります。 問６と問７は一貫していないとおかしいと思うので、ここは勘違いでしょうか？ あれれさんは、解答の数値は１／２で一貫していますが、その場合、文献の分類によると後半は１／３派になっている（＝等確率のみっつから一つ選択肢が消去されて１／２になった）ことになります。 議論を深める助けになればと思いまして、僭越ながらまとめさせて頂きましたm(_'_)m あくまで解答の数値から、リンク先の文献による標準的な解釈で解釈すると１／３派になるのか、１／２派になるのかを（半ば機械的に）まとめたものですので、そのまとめ方ってどうよ、みたいな議論も歓迎いたします。 追記：ｊさんの問６を修正しました。
s_hskz
？ jさんの問６ は T なのではないかとおもいますがいかがでしょう。【展開はともあれ、あれれさんと数値は一緒】 あと、黒犬さんの分が表から落ちています。
個人的には私はもはや１／２派でも１／３派でもないようですね……頻度主義の基本に戻ってみた派。
>>25
答３ やはりまったく判りません… ・場合Ａ＝赤チョーカーをしている ・場合Ｂ＝青チョーカーをしている が一対一対応ではない、とおっしゃる意味がまったく判りません… s_hskzさんのおっしゃることをなんとか理解しようとして想像しているのですが、 判りやすくどこかで三日目に青から黄色に入れ替えるとして、 ・場合Ａ ＝赤チョーカーをしている ・場合Ｂ・２＝青チョーカーをしている ・場合Ｂ・３＝黄チョーカーをしている の３組が存在するわけですが、 「赤チョーカーをしているか」という質問の際の分母は３で答えが1/3なのに、 「場合Ａであるか」という質問の際の分母は２になるのでしょうか？違いは何？
s_hskz
私の頭の中ではこうなっているようです。（黒犬さんからのコメントにおこたえしたものと、ほぼ同様ですが。） 『場合A＝コインは表（二つの選択肢【コイントス】のうちの一つ）＝チョーカーは赤（３つの目覚めのうちの【１つ】）』 『場合B＝コインは裏（二つの選択肢【コイントス】のうちの一つ）＝チョーカーは青（３つの目覚めのうちの【２つ】）』 コインの表裏【トス基準】からチョーカーの色の頻度【目覚め基準】を推定することには異論がでにくいところですね。（と思っています。だって青のほうが赤に比べて２倍発生しますから） あとは、筋道を正確に逆転して、チョーカーの色【目覚め基準】から、サイコロの表裏【トス基準】を推定する問題が残ります。この逆問題でも数理的構造は同じで、『目覚めにおいては青のほうが赤よりも２倍有利だ』という事実であらかじめ補正してあげればサイコロの表裏についての確率を計算できることでしょう。 コイントス基準と目覚め基準とはガッツリとお互いがお互いを規定しあっているように、私にはみえます。 ご提案の ・場合Ａ ＝赤チョーカーをしている ・場合Ｂ・２＝青チョーカーをしている ・場合Ｂ・３＝黄チョーカーをしている で、各色のチョーカーの発生頻度は同じと考えています。これは【目覚め基準】で考えていますから、被験者本人にも納得ではなかろうかとおもいます。また、事前説明会で二階から一階のフロアを見渡したときに、だいたいにおいて、赤チョーカーは５００人、青チョーカーは５００人、黄チョーカーは５００人ですから、客観的視点からでも、赤チョーカーをつける確率は１／３と見積もれます。【私視点の主観的確率】は、外側からの客観的視点でも対応物がある、これが問２についての私の見解です。 では問い３についての私の見解は？ たっくん４さんからのご質問は以下のようなものでした。 === 「赤チョーカーをしているか」という質問の際の分母は３で答えが1/3なのに、 「場合Ａであるか」という質問の際の分母は２になるのでしょうか？違いは何？ === まず、前半の《「赤チョーカーをしているか」という質問の際の分母は３で答えが1/3》については、いましがた書いた通りでして、１／３派の方々には自明なことでしょう。私は事前説明会での二階からの展望を引き合いに出して説明し、客観的視点からの頻度を数えても、１／３派の主観的確率と、数値が同じ結論になるのだと申し上げました。 たっくん４さんからの後半の問いかけについても、やはり二階からの展望で説明してみましょう。二日目、三日目の被験者たちがいっせいにインタビューをうけているのでした。二日目の被験者は赤、青のチョーカーをつけていますからすぐにわかりますね。だいたいにおいて５００人づついることになるでしょう。 三日目の被験者は黄色いチョーカーをつけていてほぼ５００人いるのでしたね。 たっくん４さんは、コイントスの表の結果としての場合Ａに、赤をカウントします。私も異論はありません。一回のコイントスの表の結果、１０００人の被験者のうち５００人が赤チョーカーをつけられました。 また、たっくん４さんは、コイントスの裏の結果としての場合Ｂに、青と黄とをともにカウントします。私はここに異論があります。一回のコイントスの裏の結果として５００名が場合Ｂに振り分けられるのにたっくん４さんは、青チョーカー、黄色チョーカーの１０００人分をカウントしてしまいます。ここが私には腑に落ちないところなのです。事実、たっくん４さんのやりかたでは、明日になってまたカウントしたときに今日青だった被験者が黄になって再びカウントにはいるのでしょう？……場合Ｂに振り分けられた被験者が、二回づつカウントされ、場合Ａに振り分けられた被験者が一回しかカウントされない、こうしたアンバランスなカウントでもって場合Ａ、場合Ｂの確率を求めることには、大きな違和感を感じます。 分母が２なのは、二重カウントを排除したからです。
>>31 Yssさん
この種の数学的展開になればＴ派には矛盾が出ないはずですよウッシッシ 「３日目である」情報を得て「あなたの＊＊は？」とたずねられたら、「場合Ａ＝赤チョーカー系」に対するすべての答えはゼロで、バイト代は２万円、と答えます。 ※これ以外の答えになる方がいらしたらそれもぜひ根拠をお伺いしたい ＜たぶん批判の出ない公式＞ 何日目か知らずに答える場合の回答数値 ＝Ｐ（２日目にインタビューを受ける比率）×（２日目と知らされての回答数値） ＋Ｐ（３日目にインタビューを受ける比率）×（３日目と知らされての回答数値） ただし Ｐ（２日目インタビュー比率）＋Ｐ（３日目インタビュー比率）＝１ <たっくん４の代入数値> Ｐ（２日目にインタビューを受ける比率）=2/3 ２日目と知らされての回答数値 = 1/2 （あるいは 3/2 万円） Ｐ（３日目にインタビューを受ける比率）=1/3 ３日目と知らされての回答数値 =０ （あるいは 2 万円） 以上から、 何日目か知らずに答える場合の数値＝1/3、あるいは 5/3 万円が得られます。 考える際にこの考え方をしたわけではないのに、たっくん４の回答群とまったく矛盾がありません。「答の見直し」になっていますね。 以上の式に整合性のない方は、上記のプロセスのどこか（公式か、代入数値か）に私と違う考えをお持ちなのだと思います。どこであるかをご指摘いただければ幸いです。
Yssさん、非常に分かりやすいまとめありがとうございます。
参考リンクの2まで読んできました・・・が、 NO.34の「１／３派というのは、目覚める機会をそれぞれ等確率と考える派、ということです。１／２派というのは、場合Ａでの目覚めを１／２、場合Ｂでの目覚めを１／４の２回と考える」を認識したに過ぎません。そんな状態でのコメントです。 ◇問２「さぁ、あなたは目覚めた。あなたの首にはめられたチョーカーの色が赤である確率は？」 1/2 H派（H＝1/2「派」の定義なので「派」がダブりますが、後に私はHなのでと言う言い回しをするかもしれず、それはふざけた印象で嫌なので、あえて派をつけさせてください） 参考リンクの↓そのまんまです。 「日曜日に眠る前に 1/2 であった．今起こされてみて，一度はどの様な場合でも必ず起こされることははじめから分かっていたのだから，そして周りの状況も区別は付かないのであるから，情報は何も入ってきていない」 ◇問３「さぁ、あなたは目覚めた。場合Ａである確率は？」 1/2 H派 問2を踏襲。「目覚めた」は何の情報でもなく赤＝Ａ ◇問４「さぁ、あなたは目覚めた。あなたのバイト代の期待値は？」 15,000円 H派 10,000円も20,000円も1/2の確率なので足して2で割る。 ◇問５「さぁ、あなたは目覚めた。今は二日めであると知らされた。あなたの首にはめられたチョーカーの色が赤である確率は？」 1/2 ？派 二日目と知らされることにより、この被験者は全被験者1,500人のうち1人ではなくて、前日参加者1,000人のうちの1人なのが確定。その1,000人の赤青はそれぞれ1/2です。 あるいは前日参加者が確定したことによって、二日前に赤で既に帰宅（1/4）青で二度目のインタビュー（1/4）が除外されたと言ってもいいです。いわばF派？ ◇問６「さぁ、あなたは目覚めた。今は二日めであると知らされた。場合Ａである確率は？」 1/2 ？派 問5を踏襲。赤＝Ａと既に帰宅の半々、青＝Ｂ（二日目）Ｂ（三日目）の半々で赤・青ともに三日目が否定される。 ◇問７「さぁ、あなたは目覚めた。今は二日めであると知らされた。 あなたのバイト代の期待値は？」 15,000円 ？派 確率計算は問6、金額計算は問4を踏襲。 ※「三日目」であることを知らされた場合 Ａ、Ｂ（二日目）、既に帰宅が否定されるのでＢ（三日目）＝20,000円が確定 現時点での回答です。見直しや参考リンクの読み進め、それと出来れば二日目＝前日参加確定の論点抜きでの考察もしてみたいです。※回答がｊとｊ’のようになるかもしれません。 P・S 参考リンク閲覧とYssさんの整理でさらにさらに面白くなって来ました！ 導入部に引き込まれて読み始めた推理小説が佳境に入ってますます盛り上がってきたときの感触です！大感謝！！！
>>35
s_hskz さん、 ご説明ありがとうございます。おっしゃることがようやっと理解できました。 『目覚めにおいては青のほうが赤よりも２倍有利だ』という事実であらかじめ補正 なるほどね、問題の設定が私と違うんです。これは、私に言わせれば、「目覚めた人の確率・期待値」を問う質問の答えではありません。 No.25の問３ 条件付確率「（目覚めたあなた自身が、目覚めたという情報を加味して）場合Ａである確率は？」 ではなくて、 原点に立ち返った確率「（目覚めたあなた自身が目覚めたという情報を無視して）場合ＡＢが決定される前に）場合Ａになった確率は？」を考えて答えているのですよね？ それはもちろん 「任意の誰かが場合Ａであった確率は？」と、もちろん同じ答えです。 No.26 にも記しましたが、質問がこういう趣旨だと仮定するなら、1/2 に同意します。 でも、日本語の解釈としてはおかしいと思うんですけどね  。問題を変えて、「一億人に一人しか目覚めない」あるいは「場合Ａの場合は二度と目覚めない」ことを知っていたとして、◇問３「さぁ、あなたは目覚めた。（あなたが）場合Ａである確率は？」といわれて、皆さんが それでもこの問いは条件付確率ではなくて原点に立ち返った質問だと考えて「1/2」とお答えになれるのか、ぜひお尋ねしたいものです。実は後者の場合にＡだったら答えられないんですけど
そうか、違いがすごく理解できました。
「確率」と言われたとき、真実の確率とか、オリジナルの確率、「客観的な確率」を多くの方は考えるんですね。 私に言わせれば、オリジナルがどうであっても、事後に得た情報があったらそれは活用して「より正しい類推」をするのが当然ではあります。ここで「自分が目覚めた」という情報を無視して回答するセンスは私にはありません。（もともとそういう質問だよと念を押されれば別ですけど） たぶん皆さんに一番異論がありそうな「期待値＝5/3万円」のところは、「確率」という単語よりももっとゆるぎなく、事後情報を活かす以外の解釈はありえないと思っています。これはほかの話が一段落してからにしましょう。
No34の1/2派と1/3派の分類に従えば、私は一貫して1/2派です。
なぜあの答えになるのかの説明は後日に。 No.23の回答について。 フェアなコインを1000枚投げても表裏500枚ずつになるとは限りません。 2枚投げたときに表裏に分かれる確率が1/2。枚数が増えれば確率はさらに小さくなります。 1000人の中から無作為に500人を選ぶと考えればいいですが。 この設定はNo.21の答2のところの計算をするために入れられたものと思われます。 この設定があることによって答えが変わる可能性は考えないことにします。 色々と論点があがっていますが、私はまず、 問2と問3の答えが同じなのかどうかということに決着をつけたいと思います。 場合Aとチョーカーが赤ということは完全に連動していますから、 どのような状況を考えても確率は同じです。 No.21の答2を例にとりましょう。 １５００名の被験者のうちのひとりとして私は目覚めました。 事前説明で赤いチョーカーをつけた被験者は５００名、青いチョーカーをつけた被験者は１０００名いるとわかっています。 そのうちの１名が私です。 (よって自分が赤いチョーカーである確率は1/3) この論法が正しいのであれば、 赤いチョーカーの人は場合Aの人であり、青いチョーカーの人は場合Bの人ですから、 500人は場合A、1000人は場合Bです。 よって、自分が場合Aである確率も1/3となります。 片方に使える論法は必ずもう一方にも使えますので問2と問3の答えは必ず一致します。 一致しない場合はどちらかが間違っています(両方間違っている可能性もあります)。 --- 追記 目覚めたときに、場合Aである確率をp1 目覚めたときに、赤いチョーカーをつけている確率をp2 としましょう。 p1<p2であれば、 赤いチョーカーをつけていて、かつ、場合Aではない という確率が0より大きいことになります。 つまり場合Bで赤いチョーカーをつけている状況が起こりうるということです。 p1>p2であれば、 場合Aであり、赤いチョーカーをつけていない という確率が0より大きくなり、場合Aで青いチョーカーをつけることがあるということになります。 この問題の条件ではどちらも起こりえませんので、p1=p2です。
…… いろいろなアイデアを拝読して、勉強になります。…… ちょっと考えてみたのですが、《眠り姫》の設定が異常と感じられる原因は、眠りが深く記憶を失ってしまう点にあろうかと存じます。記憶を失わない超人が被験者の中にいたとします。この人は目覚めたときに自分の実験が何日目なのかを想起できます。この人にとっては、インタビュー中の問２への答えと問５への答えとは一致するのでしょうね。さてこの人はどんな答えをするのでしょう。 私の見地では……この人にとって赤いチョーカーをつけている主観確率は場合Ａの客観確率に正確に一致していることでしょう。これは問２、問５において同じです。そして、問３、問６においても。 Yssさんの表現をお借りすれば、解離はおきません。 問５の確率はこの人にとって１／２であることでしょう。 そして、この１／２という確率は、その他大勢の、眠りで記憶を失う人々にとっての問５の確率に等しいことでしょう。すでに申し上げた通り……
再び私の見方を書いてみます。 一日目に実験の詳細を聞いたときに私は既に、場合Ａである確率は１／２、場合Ｂである確率は１／２、赤チョーカーで目覚める機会は１回、青チョーカーで目覚める機会は２回、と熟知しています。この事項をＧとします。 私はその後眠らされ、二日目であるか三日目であるかはわからないにせよ、目覚めたときに、Ｇの事項をそのまま想起します。目覚めたことに情報的な価値は無く、Ｇにつけくわえるべき新たな情報はありません。 問２についてインタビューされた私は、Ｇから１／３と答えます。 問３についてインタビューされた私は、Ｇから１／２と答えます。 目覚めたことに、確率を再評価しなければならないほどの、情報的な価値を見いだしておりません。眠りにはいる前の一日目の私と同じ知識で確率計算をすることになるでしょう。 さて、問５、問６においては、新たに情報が付加されました。目覚めたことに価値はありません。《今日は二日目》だということに情報的価値があります。ここにいたり、確率の改訂が行われます。改訂の対象はチョーカーです。チョーカーの色の分布は二日目と三日目で異なりますから、確率の改訂は是非とも必要です。（私は問２の１／３から問５の１／２へと確率改訂を行いました。） 一方、《今日は二日目》という情報は、場合Ａと場合Ｂの分布に変動を与えませんから、確率の改訂の必要を私は感じません。私は問３の１／２からそのまま問６の確率に１／２と、インタビューに答えます。 追記：目覚めに情報的価値が付帯しているケースがあります。それは、２、３個前の私の投稿内にある超人設定のケースです。彼はＧの他に、目覚めたことで今日が何日目なのかを知ります。彼は私たち一般人がたどりつく確率に自らの知識を加えて確率改訂を行うことができます。しないでしょうけれども。直感に従いインタビューに答えますね、おそらく。ただ、その答えは、自らの知識を加えて確率改訂したものと一致するはずです。
>>No.35 s_hskz さん
<一回のコイントスの裏の結果として５００名が場合Ｂに振り分けられるのにたっくん４さんは、青チョーカー、黄色チョーカーの１０００人分をカウントしてしまいます。ここが私には腑に落ちないところなのです。事実、たっくん４さんのやりかたでは、明日になってまたカウントしたときに今日青だった被験者が黄になって再びカウントにはいるのでしょう？？> もちろんカウントします。私が計算しているのは「尋ねられた自分自身が今時点で類推すべき確率」ですから。 s_hskz さんは「オリジナルの確率」を求めたがってることがはっきり認識できました。「最初にどっちかに振り分けられる確率」であれば、計算するまでもなく1/2であることに何の異論もありません。
とりあえずNO.40まで見たところで被験者視点で考えて見ます。
結論は変わっていませんが、実験参加前の情報を整理して問いによってどの情報を当てはめるかで考えました。 「実験参加前被験者視点情報」 ①チョーカー赤確率 1/2 ②チョーカー青確率 1/2 ③二日目にインタビューを受ける確率 2/2（赤でも青でも受ける） ③Ａ そのときチョーカー赤の確率 1/2 ③Ｂ そのときチョーカー青の確率 1/2 ④三日目にインタビューを受ける確率 1/2（赤だと帰宅している。青だと「二日目に続いて」受ける） ⑤チョーカー赤+目覚めてインタビューを受けているのが二日目確率 2/2＝場合Ａ ⑥チョーカー青+目覚めてインタビューを受けているのが二日目確率 1/2＝場合Ｂ（Ｂ２） ⑦チョーカー青+目覚めてインタビューを受けているのが三日目確率 1/2＝場合Ｂ（Ｂ３） ◇問１「今は第１日め、実験開始の直前である。場合Ａである確率は？」 1/2 ①をそのまま適用 ◇問２「さぁ、あなたは目覚めた。あなたの首にはめられたチョーカーの色が赤である確率は？」 1/2 ⑤/（⑤+⑥+⑦）＝1/2 ◇問３「さぁ、あなたは目覚めた。場合Ａである確率は？」 1/2 ⑤/（⑤+⑥+⑦）＝1/2 ◇問４「さぁ、あなたは目覚めた。あなたのバイト代の期待値は？」 15,000円 ⑤/（⑤+⑥+⑦）*10,000 + （⑥+⑦）/（⑤+⑥+⑦）*20,000 ＝15,000 ◇問５「さぁ、あなたは目覚めた。今は二日めであると知らされた。あなたの首にはめられたチョーカーの色が赤である確率は？」 1/2 ③Ａ ◇問６「さぁ、あなたは目覚めた。今は二日めであると知らされた。場合Ａである確率は？」 1/2 ③Ａ ◇問７「さぁ、あなたは目覚めた。今は二日めであると知らされた。 あなたのバイト代の期待値は？」 15,000円 ③Ａ*10,000 + ③Ｂ*20,000 ＝15,000 実験者視点はまた後で検討します。
s_hskz
私は⑤と⑥は同程度で発生するとみています。 両者を足すと二日目におきる事象の全てですが、このなかで赤と青とで数値に差をつけるべき積極的な意味付けを見いだせません。 また、⑥と⑦は同程度で発生するとみています。 ⑥と⑦とを足すと青チョーカーの被験者におきる全事象となりますが、二日目のインタビューと三日目のインタビューとで数値に差をつける積極的な理由付けを見いだしていないからです。 このため、問２につきましては、私見では、 ⑤/（⑤+⑥+⑦）=１/３ とみています。 次に問３について。 ⑤/（⑤+⑥+⑦） ではなく、 ⑤/（⑤+（⑥+⑦）/2） で立式して1/2 を得ます。 青チョーカーが発言力ありすぎなので補正項がはいっています。 場合Ｂのほうが２倍インタビューをうけるのですから、デカイつらをしているとみます。
>>42 s_hskz さん
＜目覚めたことに、確率を再評価しなければならないほどの、情報的な価値を見いだしておりません。＞ ふむむ？？？？これは新たな不思議です･･･s_hskz さんの理屈がまたわからなくなりました。 そうか、問題を下記のように作り直したらどうでしょう、 目覚めは一回だけしかない短縮バージョンです。 場合Ａ： Ａのうち半分は赤チョーカーで問題と同じ。残り半分は眠っているうちにこっそり自宅へ移送されてインタビューなし。（場合Ａのバイト代は１万円） 場合Ｂ： 全員青チョーカーでインタビュー。目覚めは一回だけ。（場合Ｂのバイト代は２万円） 与えられたお題と数学的に同内容だと考えます。私にとってすべての答えが変わりません この場合に ＜目覚めたことに＝インタビューを受けたことに、確率を再評価しなければならないほどの、情報的な価値を見いだしておりません。＞ってことはないですよね？ もしこの場合に限ってインタビューを受けたことに情報的な価値があると考えるなら、同じ内容ではないというご説明が欲しいです。
s_hskz
ミニ版でもＧの内容に変更はございません。赤チョーカーでインタビューを受けることになるのべ人数の期待値に比べ青チョーカーでインタビューを受けるのべ人数の期待値は２倍ですよね。また、フェアなコイントスで場合Ａと場合Ｂとを振り分けることになりますから、どうみてもＧの内容は等価です。Ｇの内容を実験にはいる前に熟知してから実験に臨みます。目覚めたときにＧ以外の情報は得られません。 このミニバージョンでも私の見解はかわりません。
？ さきほど黒犬さんからのご投稿をみたきがするのですが、応答について考えているうちに見失いました。 ええと、私も『眠り姫問題』に出会ったときに、最初は、分母に３がくるオハナシについては全く共感できませんでした。 次に突然に頭が切り替わり、典型的な１／３派になっていました。数年間はこの状態でした。悟りに近い感覚だったのです。 つい最近になり、クイズ大陸の画面を開いているうちに、突如として、また、頭が切り替わりました。今は１／２派でも１／３派でもない意見の持ち主です。還俗しました。 各派を渡り歩いているうちに、おかしなことになってしまいました。
s_hskz
もしもチョーカーの話がなければ、私は、１／３という数字は持ち出していませんね、おそらく。 場合ＡＢの振り分けと目覚めごとのチョーカーの色の振り分けがアンバランスですので、どうしても分母に３を意識せざるを得ないというのが今の私の見地です。
No.42について。
Gが正しいということには同意します。 目覚めたときに場合Aである確率は1/2。 目覚めたときに場合Bである確率も1/2です。 場合Bについては二日目と三日目の2つに分かれます。 どちらかを優遇する理由はないので等確率だと考えるのが妥当でしょう。 よって、場合Bの二日目である確率は1/4。 場合Bの三日目である確率は1/4となります。 場合A、場合B二日目、場合B三日目と3つの可能性があり、 それぞれチョーカーの色が赤、青、青です。 しかし、先程計算したとおり、それらの確率は異なっていますので、 単純に赤である確率は1/3とはなりません。 赤である確率は、場合Aである確率と等しく1/2 青である確率は、 場合B二日目である確率+場合B三日目である確率=1/4+1/4=1/2 となります(要するに場合Bである確率なのですが) つまり確率の違う事象を同等に数えているために間違っているということです。
s_hskz
Ｇの解釈（含、目覚め自体には確率改訂の根拠がない）に御同意頂いていらっしゃるとのこと、有り難く存じます。 あれれさんの解釈には一本、筋が綺麗に通っていると私は思います。 私が眠り姫問題にはじめて出会った頃、私はモンテカルロ・シミュレータを作りました。 (JavaScript言語でプログラムし、ブラウザで処理しました。) 一人ぶんの、ただ１回の経験をシミュレートする下処理を作り、主処理では、その下処理を複数回、回して結果を得るものです。結果は、あれれさんの望む通り、そして当時の私が望む通りでした。 １／３派の人々にとって、その下処理は噴飯物だったようです。私は下処理の冒頭で乱数を発生させ、場合Ａを処理するルーチンと、場合Ｂを処理するルーチンとに等確率にて分岐しました。場合Ａを処理するルーチンでは１回【目覚め】を発生させました。また、場合Ｂを処理するルーチンでも１回【目覚め】を発生させました。全体として下処理では１回の【目覚め】を発生させたのです。すなわち場合Ｂの処理では、冒頭で乱数を呼び、等確率にて、二日目の処理と三日目の処理とに分岐し、それぞれで１回の【目覚め】を発生させました。これは当時の私の考え方、そして今のあれれさんの考えに合致しています。 しかしながら１／３派の人々にとっては承服しがたいアルゴリズムでした。今でも覚えている批判には次のようなものがありました。インタビュアーの視点による内心のつぶやきの形をとっています。『へいへいへいっ、今起きた君っ、俺は君が場合Ｂだと知っているぞ。従って、君の今の【目覚め】の価値は、場合Ａの諸君の【目覚め】の価値の二分の一なんだ。かわいそうになあ、これから俺が君にするインタビューは、場合Ａの諸君にたいして行うインタビューの半分の価値しかないのだ。』 これにはびっくりしました。半年後くらいでしたか…別の主処理と下処理を組み直しました。場合Ｂを二回呼び（二日目用、三日目用に）、場合Ａを１回呼ぶ主処理でした。 この頃には私は動揺しておりました。１／３派になったのは、しばらくしてのことです。今は１／３派ではありませんが。 さて、あれれさんは場合Ａと赤チョーカーとを同一視していらっしゃいます。あれれさん以外で、この眠り姫プロジェクトにご参加頂いた皆さんも、この点には異論がないように見受けられます。 私は、つい最近になって、場合Ａと赤チョーカーとを同一視しない見地にたってしまいました。ここが、あれれさんや皆さんと大きく違うところです。 私には、この見地を上手に説得的に説明する術がございません。私は、ただ単に頻度主義で数え上げるのみです。
>>50
＜半分の価値しかない＞ ガチガチのＴ派の私も、 「オリジナルの確率を説明する」ためには当然この理屈を使います。 「世の中の平均寿命を問う」のか、「今のあなたが平均何歳まで生きるか」を問うのでは、違う解になります。私はこの問題は後者だと考えていますが、前者なら「自分の発言は一票ではなくて、自分の発言の価値を年齢によって逆に加重平均しないといけない」のです。
s_hskz
苦手とするところではありますが《よく考える》ことが望まれますね。
出題者の私の狙いのひとつは、【目覚めたあなたにとっての】バイト代の期待値を計算して頂くことがございました。 問４と問７において１５０００円以外の期待値を算出した皆さんに伺いたいことがございます。（本スレッドにご投稿なさっていなくともご自身で検討なさった方々も含めて） その数式は正しいのでしょうか。 場合Ａの被験者のバイト代を１００００円、場合Ｂの被験者のバイト代を２００００円、として計算して頂いたことと存じます。 場合Ａの被験者のバイト代をａ、場合Ｂの被験者のバイト代をｂとして、皆さんによるバイト代の期待値の算出式を書き換えて下さい。 次に、ａ=ｂ=２００００円としてみてください。眠り姫プロジェクトに参加した被験者は一律に２００００円が支払われる設定に変更してみるのです。このときに、皆さんの算出式が期待値２００００円を示せないとしたら、私は【？？？】と思わざるを得ないのです。 再言致しますが、出題者の私の狙いのひとつは、【目覚めたあなたにとっての】バイト代の期待値を計算して頂くことです。
No.52の投稿をしたのち、ウヰスキーを一杯、ひっかけました。 青土社から出されている『現代思想』（げんだいしそう）は、日本の月刊思想誌です。ある日、立ち読みをしていたところ数学者の小澤正直先生による量子集合論の上に再構築された量子論理についての原稿がありました。量子力学の数理的基礎付けはホットな話題なのです。小澤正直先生による同系統の記事は、しばらくしたのち『数学セミナー』にも連載されていました。 その連載では、事後確率が与えられているときに事前確率を計算すると値が負であったり複素数であったりすることを数学者は当然視していることが書かれていました。また、『日経サイエンス』でも、事後確率から計算される事前確率がマイナス１になるという記事をのせていました。そして、けして絵空事ではなく、物理学の実験で確かめられていることも。 私たちが住んでいるこの宇宙の確率には不思議なところがあります。ため息をつくばかりです。 ウヰスキーを一杯、ひっかけました。しかしこの投稿の内容はいたって真面目なものです。
s_hskz
そのように考える物理学者もいるかもしれませんね。もしくは時間の向きにおいて逆に走っている光子など。 http://www.nikkei-science.com/page/magazine/0910/200910_022.html
s_hskz
lengthさん、眠り姫プロジェクトにご参加を有り難うございます。 どうやら召喚魔法が効きましたね。（軽く酔ったときの魔法はよく効くのです。）
私は、
(1)1/2 (2)1/3 (3)1/3 (4)5/3万円 (5)1/2 (6)1/2 (7)3/2万円 でした。 (厳密に考えていないので変わるかもしれません) チョーカーの色がネック(首だけに )です。
>>56
length さん、ガチ1/3派の仲間ができて嬉しいです ところで、ガチガチの 1/3派の私ですが、実は「この問題の設定に限っては」1/2 と解釈したほうが良いかなという理屈を胸に持ってはいます。1/3派が私のほかにいるなら感想を聞きたく、ちょっと開示したくなりました 後ほどちょっといろいろ整理してお伝えしますね。要は「No.47で示した短縮バージョンのような類似の問題に比べて、この問題は同一人物が２回答えるという設定である＝だから２回目の回答は無効であると世界中が認識すべきではないか」というところにこだわって、No.47で示した短縮バージョンとの「違い」を正当にする理屈なのですが。
「言葉の定義・解釈の問題でもあるよ」というワタシ（たぶんYSSさんも）の主張について皆さんの意識を整理したい例題なのですが･･･ご参考になれば。
ある星で、子がひとりっこか２人兄弟かだったとします。どの世帯に子供がひとりっこか２人兄弟かは、神様がコインを投げて決め。その確率はちょうど１：１です。 この問題が眠り姫問題と同じ構造を持っていること、 およびこの星で調査を行い Ｈ・子どもの人数を世帯で調査したら、その期待値は 3/2 (1/2派の答え) Ｔ・兄弟の人数を全員に尋ねたら、その期待値は 5/3 (1/3派の答え) ここまでは事実としてどなたも異論がないと思います。 ここで、 「あなた自身が 一人っ子の確率・兄弟の数の期待値」と聞かれたら 素直に 1/3、5/3 が自然（さらにいえば、それ以外の解釈を許すと、表現による混乱が起こるので、数学の問題ではこう解釈すべき）ワタシは考えています。 以上の例題は、Yssさんのとる「問２と問３」では質問の意味が違う、との認識をサポートするにも使えるかなと思います。 問２は人数単位の調査であるという認識がだいぶ強そうなのに比べて、問３はこれは世帯単位と解釈する認識が比較的成り立ちそうだからです。
＞No.58 かててくわえて家族手当て制度があり、ひとりっこのいる世帯には月額１００００ラブユ、２人兄弟のいる世帯には月額２００００ラブユが支給されている社会だったとします。この星のこどもは起き抜けでは前日までの全生活史についてのエピソード記憶が脱落していて、最初の食事を摂った後に記憶が戻る設定にします。おきぬけの子どもに聞いてみたいのです。『おはよう。きみの世帯に支給されている家族手当てはいくらだと思う？期待値で答えてね。』 さらに。 この星では、ひとりっこのいる世帯と２人兄弟のいる世帯は必ずとなりどうしに住居をかまえます。 おきぬけの子どもに聞いてみたいのです。『おはよう。おとなりの世帯に支給されている家族手当てはいくらだと思う？期待値で答えてね。』 もうひとつ聞いてみたいです。『おはよう。おとなりの世帯ときみの世帯とに支給されている家族手当ての合計はいくらだと思う？期待値で答えてね。』 === …知りたいのは、１/３派の方々のあいだで上記の問いに自明な統一見解があるのかどうかです。以下がポイントです。 おきぬけの子にとって、 《１》自分の世帯の家族手当てと、隣の世帯の家族手当てとは、期待値において違う値なのでしょうか。 《２》自分の世帯の家族手当てと、隣の世帯の家族手当てとの合計は、期待値において３００００ラブユになるものなのでしょうか。
No.59 の続きです。 今度は、１/３派の方々ではなく、問７で１５０００円以外をお答えになるかた……《例えば、Yssさんによる ４００００／３ 円 など》にお聞きしたいのです。 No.59 での３つの質問をする際に必ず『実はきみは第一子なんだよ』とつけくわえて聞いてみたいです。 おきぬけの子はなんと答えるのでしょう。 自分の世帯と隣の世帯とでは家族手当ての支給金額の期待値が異なるものなのか、自分の世帯と隣の世帯との家族手当ての支給金額の合計の期待値が、３００００ラブユとなるものなのか、お伺いしたいのです。
s_hskz
ご指摘に同意できるところ多々あります。 さて、こういう眠り姫の変種はいかがでしょう。被験者になりたい者は必ず仲のよい２人組で応募します。ここでは、アーニーとバートとしましょう。一回のコイントスで表が出たらアーニーが場合Ａ、バートが場合Ｂの被験者となることにし、裏が出たらアーニーが場合Ｂ、バートが場合Ａの被験者となることにします。それ以外の設定は今まで同様に準じます。 アーニーに問４【アーニーのバイト代の期待値】とともに、【バートのバイト代の期待値はアーニーのそれと同じか、同じでなければいくらか】【アーニーとバートのバイト代の合計の期待値は３００００円か】についてインタビューしたいです。 私見ではアーニーとバートにとってシステムは対称ですし、アーニーだけを単体で切り取ったら眠り姫プロジェクトの通常の被験者と同じと思われます。
１／２派の主張はおそらく、
「本来１／２の確率でＡまたはＢになるのだから、 そこをいじってはだめでしょう、 そして、Ｂの場合に２回目覚めることの扱いは、 確率×試行回数の、回数の方にカウントしないと だめでしょう。」 ということだと思います。 ところが、ここで問題があって、 試行回数は、きちんと数えないといけないのですが、 この設問では、一回ずつ記憶が途絶えてしまうので、 試行回数を積み上げることが出来ないわけです。 一方、１／３派の主張は、 「主観的に体験することを１回は１回とカウントする。」 ということだと、私は理解しています。 確かに、赤チョーカーＯＲ青チョーカーで、目覚めたときに、どちらなのか確認する前に 賭をして当たったら資金が二倍、という賭があったとすると、これは青に賭けたら勝てるけど、 赤に賭けたら負けます。 そういう意味では、主観的確率は１／３なんですね。 こちらにも、問題があって、 特に、赤チョーカーか青チョーカーか、という点に ついて、１：２の比率で起こると考えるのなら、 やはり場合Ａ、場合Ｂも１：２で起こると考えなければ、 整合性がとれないんです。 すると、目覚めた瞬間の世界から見たら、 もらえるバイト代の期待値は、５／３万円になります。 やはり、赤チョーカーの確率を１／３と計算するなら、 バイト代の期待値を、５／３万円と計算しないと、 整合性がとれない・・・はずなんです。 ここを受け入れられない人が多いですね。 （過去の私も含めて、ですが） ここを受け入れているのが、たっくん４さんですね。 と、整理しながら、実は少しガチ１／３派に傾きつつあるんですが。 （たっくん４さんの解が実は全問正しいんじゃないかと思い始めている） ここで、「今日は二日目である」という情報を得ます。 条件付き確率の理論を受け入れるなら、 事象Ａ：場合Ａである 事象Ｂ：場合Ｂである 事象Ｓ：今日は二日目である 今日が二日目であるとき、事象Ａである確率 PS(A) ベイズの定理により、 PS(A)=PA(S)・P(A)/P(S) ここで、事前確率を、 PA(S)=1 P(A)=1/3 P(S)が問題で、 ここを2/3と考えるなら、 PS(A)=1/2 ←この答えは1/3派 一方1/2派では、 PA(S)=1 P(A)=1/2 P(S)・・・これも問題で、 Aである1/2 Bであって二日目1/4 Bであって三日目1/4 と、基本的には考える訳なので、 P(S)=3/4 すると、 PS(A)=2/3 と、なるんですが。 こう考えていった場合、 問２・問３が1/3なら、問５・問６は1/2でないと辻褄が合いません。 また、 問２・問３が1/2なら、問５・問６は2/3でないと辻褄が合いません。 私は問２と問３で1/3派、1/2派を切り替えて考えていたので、 それぞれでは、辻褄が合っていると思うんですね。 いちばん一貫しているのは、たっくん４さんですが。 色々考えた結果、 やはり私はガチガチの１／３派に鞍替えすることにしました。 そして、たっくん４さんのおっしゃるように、 問３を1/2 と答えておきながら、 問 結局、設問に設定された、チョーカーをつけて目覚めたときの出来事を、 考慮に入れていない「単なる事前確率を計算している」 という考えに、私も同意するに至りました。 というわけで、 問２ 1/3 問３ 1/3 問４ 5/3万円 問５ 1/2 問６ 1/2 問７ １万５千円 と、たっくん４さんと同じ答えになりました。
がしかし、
おそらく、ガチ１／３派の考えを、すんなり受け入れられない 最大の理由は、バイト代だと思います。私もそうでした。 それは、計算の前提が、こうなっているからです。 【全て終わって目覚めた後、受け取る。】 この問題の難しさは、 夢の世界から覚めて、外の世界に戻った瞬間に、 夢の世界で起きたことの確率が全てリセットされてしまう点。 お金の計算は、 夢の中の世界で、決済までしないと、 期待値の計算が、意味を成さないはずです。 そこで、こう考えてはいかがでしょう。 問２の条件の時に、 元のバイト代を破棄して、 １６０００円と交換出来るという権利を行使するかどうか、 ということを問われるとします。 もしここで、期待値が15000円と計算するなら、 交換した方が得になる、と考えるはずです。 ガチ１／３派は、５／３万円 ≒ 16667円と計算します。 たっくん４さんは、この取引は損だと考えるはず。 （実は私もこっちに鞍替えしました） しかし、一度交換してしまったら、 二回目がないとなると、確率に影響してしまうので、 この取引を受けた場合、差額決済だけをして、 赤の場合の二日目 青の場合の二日目、三日目 全部の場合に、この質問をされるとします。 単純に頻度で考えても、 この３通りが、等確率で起こるはずです。 すると、 +6000円で 「勝ち」１回 -4000円で 「負け」２回 トータルで2000の損失、 と、なると思いますが、 （私も鞍替え前は１５０００円と計算していましたが） 問４を１５０００円と計算した人に、 逆に問いかけたいです。 本当に、この取引、受けるんですかね？ 負けると思いますけど。 これ、よく考えてみてほしい点です。 つまり、 夢の世界の中で決済まで行わないと、 結局、条件付き確率の問題にならず、 単に、１／２の確率でＡかＢか、 Ａだと１００００円 Ｂだと２００００円 という、眠り姫とは関係ない問題を答えただけになる。 と、私は考えます。 （おそらく、言葉は違いますがたっくん４さんが主張されていた ことと、本質的には同じかと思います） ようやく、ここまでたどり着きました。
>>64
Yssさん、1/3派 ＆ ギャンブルオッズの世界へようこそ おっしゃるように、No64のご主張は、ワタシのNo16の主張と同じです  「Ｂの場合、Ａと等価の賭けが２回行われる」ことを前提にすれば、No16 にワタシが記した思考を経て、1/3 & 3/5万円 以外の解はありえないはずです。 1/2 派の方々のご意見は、「Ｂの場合は賭け金が 1/2 」あるいは「２枚同じ賭けの証書が残っていた場合、２枚目以降は無効」という前提を「世界の共通認識（少なくとも、胴元のルールに書いてあることを確信できる）」としない限り、ギャンブルオッズの理論では否定されます。例えばあれれさんは「Ｂの場合は賭け金が 1/2 」ということが明らか、当然であるとお考えだろうと読み取りますし、そういう世界感の中では正解です。 以下余談： ワタシがここでギャンブルオッズと呼んでいるのはまさにファイナンス理論なのです。 ファイナンス理論では 1/3 & 3/5 万円が支持されます（とワタシは主張します）。 さてここでファイナンス実務に 「２枚目以降は無効あるいは1/2」という問題を当てはめるとすると･･･ 「現物取引以外のデリバティブ（差金取引）が認められるかどうか」が「共通認識」かどうか、となるのですが、そう読み替えるとこの問題は制度や慣習の問題ですかね 日本では「相対取引のデリバティブ（差金取引）は賭博罪に該当する」と主張する法律学者が、昭和50年代には多数、今でもごく少数、存在しました。実は、本件の設定でギャンブルを行うのは賭博罪の要件を構成しそうではありますね･･･ひどい雑談を失礼しました
No.63でYssさんがおっしゃるに
＞こちらにも、問題があって、 特に、赤チョーカーか青チョーカーか、という点に ついて、１：２の比率で起こると考えるのなら、 やはり場合Ａ、場合Ｂも１：２で起こると考えなければ、 整合性がとれないんです。 ↓ 場合Ａ、場合Ｂが１：１で起こるからこそ、赤チョーカーか青チョーカーが、１：２の比率で起こるのでなないでしょうか。 なぜ『やはり場合Ａ、場合Ｂも１：２で起こる』と結論つけたのでしょう……
>>66 のs_hskzさんのご質問にお答えします。
＞場合Ａ、場合Ｂが１：１で起こるからこそ、赤チョーカーか青チョーカーが、１：２の比率で起こるのでなないでしょうか。 この言葉を、言葉を足して考えると、こういうことだと思います。 【外の世界で】場合Ａ、場合Ｂが１：１で起こるから、 【夢の世界で】赤チョーカーか青チョーカーが、１：２の比率で起こる。 要するに私は、【場合ＡかＢか】ということと【チョーカーが赤か青か】ということは、 本質的には同じことだと見なしていて、ただ、数学的にではなく、国語的に見て、 【場合ＡかＢか】の方は、より、【外の世界で】というニュアンスが強いな、と。 そこで、 「場合Ａである」という言葉には自動的に「外の世界で」をつけて解釈し、 「チョーカーが赤である」という言葉には自動的に「夢の世界で」をつけて解釈し、 No.24のような解答を、一度は作ったのですが、 あくまで「国語的に」判断したことですので、 【場合ＡかＢか】と【チョーカーが赤か青か】の間に、本質的な違いがあるとは、 考えていません。あくまで私の立場は、 【本質的な違いとは、確率をどの時点で確定させるのか】です。 （ア） あくまで、「夢の世界」で、目覚めさせられたときの、 目覚めを「一回」とカウントする立場を取るのであれば、 たとえ外の世界で、場合Ｂが１回しか起きていなくても、 夢の世界では２回とカウントしないと、つじつまが合いません。 （イ） 夢の世界の２回を、外の世界の１回と対応づける、と考えるのならば、 Ａで目覚めた体験の重み付け１、 Ｂで目覚めた体験の重み付けは１／２と、 ちがう重み付けをしなければなりません。 （ウ） これら（ア）も（イ）も受け入れないというなら、 それは、「眠り姫問題の、設問の条件云々は関係なく、単に、外の世界で起きていることの確率を求めただけ」になると思います。 つまり、（ウ）の立場というのは、すこし踏み込んで言えば、 眠り姫の条件で、主観的確率を求めることは、ありえない。 主観的確率は定義不可能、と言っているのと同じじゃないでしょうか。 （この主張も、ありうると思っています。但し明示的にそう言うべきでしょう） ↑ ちなみに（ア）が１／３派 （イ）が１／２派。 （ウ）は・・・（何派でしょう？） このスレの内容に対して、私がずっと主張していることは、 （たとえばお金なら確率から期待値を計算出来るはずなので） どの時点でその金額を確定するのか、すなわちどの時点で確率の値を確定するのかによって、数値が変わってしまうという点。 【全て実験が終わったあと、目覚めてからバイト代が確定していることを知る、という設定では、夢の世界の中で確率やバイト代の期待値の計算はできない】ということを主張しています。これだと単に外の世界での確率を求めただけになってしまいます。←それじゃ眠り姫問題じゃないでしょ、という主張。 私の、No.24の解答では、 場合Ａ 場合Ｂについては、外の世界から見て答えていました。 つまり、眠り姫問題の色々な設定を無視して、外の世界で１／２なら１／２と答えた、ということになります。つまりこれは、（ウ）このような条件で、主観的確率は定義出来ない、という立場を取ったことになります。 ちなみに以前別のスレの囁きで「○っぱらい問題」がありましたね。あれは、どちらの駅に着いたか確定するのが「全て終わって完全に起きた後」だから１／２になるのだと思います。 確率をどの時点で確定させるのか 期待値をどの時点で確定させるのか これを明確にしないと、答えが変わってしまう問題です、ということは、このスレでの、私の最初の解答からずっと主張していることなのですが。 設問を、 「あくまで起きた人の主観的な体験に基づく確率を求める」 ＝夢の世界の、ひとときの目覚めの瞬間に、確率を確定し、期待値も確定する のか、 「客観的視点からの確率を求める」 ＝夢の世界から覚めて、元の「外の世界」に戻ってから確率を確定し、期待値も確定する のか 明確にしないといけないのでは？ 私の答えが変わったのは、場合Ａ、場合Ｂという言い方を、どう解釈するかが変わったからです。 しかも、その理由は、１／３派の立場を取らないと、結局「眠り姫問題の世界では確率は定義出来ない」という結論になり、つまらないと思った、というものなのですが。 客観的視点からの確率を求め、問３と問６に、両方１／２と答えた瞬間に、眠り姫問題は、主観的確率を求められる設問とは認めない、したがって、客観的確率を答えるべきだ、と、認めたことになるのではないでしょうか。 ↑もちろんこういう意見もあっていいんですが、今は、この立場は取らない方を選びました。 それだとつまらないので
Yssさんの最近のご投稿を読み進めております。
＞問３を1/2 と答えておきながら、問５も1/2と答える人は、 これは字の入力間違いなのかもしれないと思いましたが、このままなのかどうか教えていただければと存じます。 ===引用開始 （ア）あくまで、「夢の世界」で、目覚めさせられたときの、目覚めを「一回」とカウントする立場を取るのであれば、 たとえ外の世界で、場合Ｂが１回しか起きていなくても、夢の世界では２回とカウントしないと、つじつまが合いません。 ===引用終了 文脈に依存しますが、同意いたします。チョーカーについての分析で、私は問２について１/３と答えております。オリジナルの眠り姫問題に加え、本プロジェクトでチョーカーを導入した私ですが、それは、この１/３を可視化するためです。実際に一階のフロアにずらりと並んだ人々のチョーカーの色を観察できますから、これは客観的に、事前説明会の段階で各被験者にわかっている情報です。 なお、場合ＡかＢかについての確率計算には（ア）は適用できません。 ===引用開始 （イ） 夢の世界の２回を、外の世界の１回と対応づける、と考えるのならば、 Ａで目覚めた体験の重み付け１、 Ｂで目覚めた体験の重み付けは１／２と、 ちがう重み付けをしなければなりません。 ===引用終了 文脈に依存しますが、こちらにも同意いたします。 実際に私はそうしています。チョーカーが赤、の確率ではなく 場合Ａの確率を求める問３において私は１/２と答えています。 チョーカーについては（イ）は適用できません。 さて、（ア）と（イ）とが矛盾するではないかと、本プロジェクトに御参加の圧倒的多数の皆さんが、みていることを承知しております。１/２派からも１/３派からも私の見方はオカシイだろうと思われることでしょう。この深刻な溝の原因は、場合Ａと赤チョーカーとを同一視なさっている皆さんと、そうは思わない私との立脚点の違いにあります。 私は夢の世界のものごとと外の世界のものごとを分離しました。夢の世界のアレと外の世界のコレとを理由があいまいなままに同一視することを……避けることにしたのです。 夢の世界のアレと外の世界のコレとの間に、いくつかの比例関係が見いだされればありがたいですし、眠り姫プロジェクトにおいては、比例関係の記述に不足はありません。ガッツリと整合しています。それゆえに主観的確率と客観的確率に解離がおきていないのだと理解しております。もう少し情報不足な問題設定ならば、主観的確率と客観的確率に解離がおこることは存じ上げておりますが、こと眠り姫プロジェクトにおいては心配不要と捉えています。
No.68について、考察いたしました。
＞＞問３を1/2 と答えておきながら、問５も1/2と答える人は、 これは失礼いたしました。 そして、ここなんですが、 ＞===引用開始 ＞（イ） ＞夢の世界の２回を、外の世界の１回と対応づける、と考えるのならば、 ＞Ａで目覚めた体験の重み付け１、 ＞Ｂで目覚めた体験の重み付けは１／２と、 ＞ちがう重み付けをしなければなりません。 ＞===引用終了 ＞ ＞文脈に依存しますが、こちらにも同意いたします。 ＞実際に私はそうしています。チョーカーが赤、の確率ではなく 場合Ａの確率を求める問３において私は１/２と答えています。 ＞チョーカーについては（イ）は適用できません。 とのことですが、その場合、問６が整合しないんです。 もし、Ｂで目覚めた体験の重み付けをＡの場合の１／２とするのならば、 No.63で書いたことの繰り返しになりますが、 PS(A)=PA(S)・P(A)/P(S) PA(S)=1 P(A)=1/2 P(S)・・・ここが争点。 Aである確率（当然二日目） 1/2 Bであって二日目の確率 1/4 ←重み付けが半分 Bであって三日目の確率 1/4 ←重み付けが半分 となるので、「Ｂであって三日目の確率」だけ消去すると、 P(S)=3/4 と、なります。 すると、 PS(A)=2/3 ←問６の答え と、ならないと、おかしいんです。 問３が1/2であるのに、問６が2/3でないとしたら、 【１】問３と問６で違う考え方を適用している（そう考える合理的理由を説明すべき） あるいは 【２】主観的確率を求めないということを選んでいる （眠り姫問題では主観的確率を求めることに意味がないと言っている） の、どちらかになるのではないですか？ と、問いかけているんです。 No.64の問いかけが、このポイントを突く質問になっていると考えていますが、 全て終わって起きた後に、確率を確認してしまうと、 【２】主観的確率を求めないということを選んでいる と同じになると、Yssは考えています。 あくまで、夢の世界でいっとき目覚めたその間に、再び眠ってその記憶が消え去る前に、 何か、後に残る形で、確率やバイト代を確定しないといけません。 ↑ ここが、設問であいまいになっているので、答えが何通りも出てしまうのだと考えています。（そういうのを楽しむ問題だということは承知しています ）
だいぶ流れてしまってからの亀レスで失礼しますが、
確率を求める基準を明確にするという意味では、 たっくん４さんの No.58が明確で、分かりやすいと思いました。 数学的には、ほぼ同じ構図だということにも同意します。 No.59は・・・かえって論点が増えて複雑化した気がします。（ゴメンナサイ）
■眠り姫問題参考文献について このスレッドの問題文では参考資料のご紹介をさせて頂きました。 その文献はふたつありましたが、どちらにも、説明に「唯一設定（単一設定）」という文言が含まれています。この「唯一設定（単一設定）」を理解するためのモデルとして、《森の射手問題》が使われるのだそうです。以下に。なお、この問題の形は三浦俊彦先生が整備したもので、著書『論理サバイバル』に解説があります。 === ■森の射手問題 神が森を創り、そこに人間を創造した。あなたは今、森で目覚め、神に創られた人間であることがわかっている。さらに、神の声によって次のことが教えられた。 １）「私は､二つの森のうちどちらか一方を作ろうと思った。どちらの森にも天使が一人住んでおり、人間を見つけると、ただ１人を、ただ１回だけ、弓矢で射る。さて、一つの森は、その天使のほかに、５人の人間を含んでいる。もう一つの森は、天使のほかに、５００人の人間を含んでいる。人間たちは互いに出会うことはない。この二つの森の構想を抱いて私はサイコロを振り、どちらを創るかを決めた。そうして一方だけを創り、その結果、おまえとこの森は誕生したのだ」 神の声が消えてからしばらくして、木々のむこうから矢が飛んできて、あなたの肩に突き刺さった。ここで神の声がした｡ 「天使の矢に射られたな……。さて推測せよ、私はどちらの森を創ったのだと思うか？ ５人を含む森か、５００人を含む森か」 ２）あなたが目覚めた状況は １）と同じだが､神の声は次のように言った｡ 「私は､二つの森を作った。どちらの森にも天使が一人住んでおり、人間を見つけると、ただ１人を、ただ１回だけ、弓矢で射る。さて、一つの森は、その天使のほかに、５人の人間だけを含んでいる。もう一つの森は、天使のほかに、５００人の人間を含んでいる。人間たちは互いに出会うことはない。この二つの森を創り、この森はそのうちの一つなのだ｣ 神の声が消えてからしばらくして、木々のむこうから矢が飛んできて、あなたの肩に突き刺さった。ここで神の声がした｡ 「天使の矢に射られたな……｡さて推測せよ、おまえのいるこの森はどちらの森か？ ５人を含む森か、５００人を含む森か｣ ＝＝＝ 「どちらか」可能性の高い方を答えるわけだが、１）と２）は、同じ答えになるだろうか、それとも違う答えになるだろうか。理由をつけて答えてください。 （森の射手問題おわり） ＝＝＝ ■補説 唯一設定（単一設定）とは、１）に対応し、反復設定（繰り返し設定）とは ２）に対応するのだそうです。そして求める確率が違ってくると。眠り姫問題でも意識しなければならないとのことです…… s_hskzにとって、両者は同じ確率の構造だと思われるのですが、皆さんにとっては、明らかに違うのかもしれません。 以上、参考資料を見直しながら言い忘れていたことを思いだし、あわてて投稿している次第です。
No.71について。
これは、事後確率を認める立場を取るかどうか、ということなのでは？ 事後確率を認める、ベイジアンの立場からすると、どちらも一緒だと思います。 しかし、ガチガチの頻度主義だと、１）のように、すでにどちらの森が作られたか確定しているのなら、あとからどちらだったのか、射られた人間の立場から推測して確率を考えることは「ありえない」のでしょう。 神さまがもう知っている話、つまり決定している話について、確率は定義出来ない。 あえて言うなら、５人の森１００％（決定）あるいは５００人の森１００％（決定）のどちらかである、ということなのではないか、と思いました。 本問とは、直接は関係ないような・・・気もします・・・いや、眠り姫状態から確率を算出するのが「ケシカラン」という立場なら、森の射手問題と関係してくるかもしれない・・・ とりあえず思ったことを書いてみました
面白そうなので私も参戦してみます（ひさびさのクイズ大陸参戦
）結論から申しますと、私はガチガチの1/2派のようです。 まずは事象の定義から。 A：目覚めたとき、自分が場合Aに属している B：目覚めたとき、自分が場合Bに属している C：目覚めたとき、それが2日目である D：目覚めたとき、それが3日目である まずコインの結果より、P(A)＝P(B)＝1/2 CとDは排反であり、かつ、目覚めたときはCかDしかあり得ないので、 P(B∩C)＋P(B∩D)＝P(B) 被験者が日によらずずっと1500人であることから、Aが500人、B∩Cが500人、B∩Dが500人とわかる。 よってB∩CとB∩Dは「同様に確からしい」と考え、P(B∩C)＝P(B∩D)＝1/4 それから、「自分のチョーカーが赤色である」のは「自分が場合Aである」のと等しいと考えます。 （チョーカーが赤色なのに場合Bであることもなく、その逆も無いので。） よって問2・3、問5・6は同じ問題とみなします。 以上よりひとまず問4まで。 問1：P(A)＝1/2 問2、3：P(A)＝1/2 問4：10000・P(A)＋20000・P(B)＝15000（円） 問5以降はCである場合における条件付き確率と考えます。 まず、場合Aに3日目はないので、P(A∩C)＝P(A)＝1/2 AとBは排反なので、P(C)＝P(A∩C)＋P(B∩C)＝3/4 問5、6：PC(A)＝P(A∩C)/P(C)＝2/3 問7：PC(B)＝P(B∩C)/P(C)＝1/3より、 10000・PC(A)＋20000・PC(B)＝40000/3（円） なお問7に関して、No.52のようにバイト料がAでもBでも20000円の場合は、期待値もちゃんと20000円になります。 ===================================================================== ついでに森の射手問題のほうも・・・ この問題の最大のポイントは、「神様が実際に創造した人間の数が異なる」点だと思います。 （前者は5人または500人のいずれかであるのに対し、後者は確実に505人です。） なので確率に差異があって当然、と私は考えます。 実際に確率を計算してみます。 やはり事象の定義から。 A：自分が5人の森にいる B：自分が500人の森にいる C：天使が自分を射る ◆ 前者のパターン ※具体的にサイコロのどの目が出ればどちらの森を作るのかに触れられていませんが、 ここでは共に1/2の確率で作られるものとしておきます。よってP(A)＝P(B)＝1/2 AとBは排反かつP(A)＋P(B)＝1より、P(C)＝P(A∩C)＋P(B∩C) P(A∩C)＝1/2・1/5＝1/10、P(B∩C)＝1/2・1/500＝1/1000より、P(C)＝101/1000 神の問いかけはCである場合における条件付き確率と考え、 5人の森にいる確率：PC(A)＝P(A∩C)/P(C)＝100/101 500人の森にいる確率：PC(B)＝P(B∩C)/P(C)＝1/101 ◆ 後者のパターン おそらく神は505人を創造したのち、それを5人と500人に分けて設置するだろうから、 P(A)＝5/505＝1/101、P(B)＝500/505＝100/101 前者のパターンと同様にP(C)を計算する。 P(A∩C)＝1/101・1/5＝1/505、P(B∩C)＝100/101・1/500＝1/505より、P(C)＝2/505 神の問いかけは、やはりCである場合における条件付き確率と考え、 5人の森にいる確率：PC(A)＝P(A∩C)/P(C)＝1/2 500人の森にいる確率：PC(B)＝P(B∩C)/P(C)＝1/2 =============================================================== 私は眠り姫も森の射手のほうも、「条件付き確率の概念をきっちり用いて考える問題」と考えています。というより、私にはこれ以外に合理的に確率を論じる方法が思い浮かびません。 
はじめまして。matcherさんいらっしゃい！
スレ主より先に挨拶で失礼します。 正統派の1/2派の登場でちょっと嬉しくなってます。 計算はあってると思うんですが、 問７の40000/3万円。具体的にどういう状況で実現するのか。私も最初、この値を出したんですが、それが分からなかったのも、1/3派に転身した理由の一部なんですよねー。 突き詰めてない、直感的な意見ですが、本人以外に客観的な第三者がいて、場合ＡかＢかで、重み付けを変える、みたいな想定が必須のような気がするんですよね。 1/2派の方がどう想定しているのか、すごく興味があります。
matcherさん、眠り姫プロジェクトにご参加を有り難うございます。 "面白そうなので私も参戦"とのこと、出題者として嬉しいです。 "森の射手の問題"についての分析をありがとうございます。 のちほどいくつか質問させて頂きたく存じます。 まずはごあいさつまで。
Yssさん、ご意見を有難うございます。 きちんとした応答になるかどうか、まだわからないのですが、私見を練っております。少々お時間を下さい。 ※ひとりで考えるよりも、大勢の方々との意見を伺いつつ考えたほうが、やはり有益ですね。
No.73のmatcherさんの書き込みについて。
>条件付き確率の概念をきっちり用いて考える問題 という姿勢には全面的に賛同します。 森の射手問題については全く同じ考えで答えも当然同じです。 眠り姫の方は一部考えが異なるところがあります。 matcherさんがP(C)として計算しているのは、「目覚めたとき、それが2日目」である確率です。 正しくは「目覚めたとき、それが2日目」という出来事が起こる確率です。 Aの場合もBの場合も「2日目に目覚める」という出来事が起こるのは間違いないですので、 P(C)=1です。 P(A∩C)は「場合Aに属していて、2日目に目覚める」という出来事が起こる確率です。 「2日目に目覚める」という出来事は確実に起こることですので、P(A∩C)=P(A)=1/2です。 よって問5の答えは、P(A∩C)/P(C)=1/2となります。 問2についても同様。 「目覚める」という事象をEとすると、P(E)=1,P(A∩E)=P(A)=1/2なので、 求める確率は、P(A∩E)/P(E)=1/2となります。 1/2派とか1/3派とかはこの問題の答えには全く関係ないのです。 --- ここではAは単純に場合Aという意味で書いています。 P(A)は場合Aが起こる確率ということです。 紛らわしくてすみません。
matcherさん、こんにちは！
＜A：目覚めたとき、自分が場合Aに属している P(A)＝P(B)＝1/2＞ お考えの中で、ワタシからダウトを投げかける最大のポイントはここです。 これ、＜目覚めた＞ことを全く追加的情報として加味しない考え方ですよね。 この問題で「地球を訪問した宇宙人が実験室の中で目覚める瞬間を見かけたとき」その人が状態Ａである確率は 1/3。この例題はどなたも異論がない計算だと思います。 「目覚めたとき」＝「宇宙人が目覚める瞬間を見かけたとき」ではない、というご理解なのでしょうね。 加えて、 「目覚めたこと」が情報であることをいっそう明確にしてみた No.47 も合わせてご覧いただけると幸いです。 森の射手については、結局＜自分がその森で生きていること＞が、追加的情報になりうるかどうかがキーポイントです。ちょっとひねくれた意見ですが、最初の「村一つ」の場合でも、1/2を解とする理屈はいくつか思いつきますよ。 案１：それぞれの村に500人を送り込まれる。1/2の確率で495人が死んでから天使が矢を打ち、もう1/2の確率では500人いるまま天使が矢を打つと考える。 案２：数多くの霊魂が、生まれ変わることを待っている。オレもその一人だ。神様が５あるいは５００の霊魂を生き返らせて森に送り込むらしい。「やった、オレは生まれ変わった！うぎゃぁ、途端に矢に打たれた！」
皆様、こんにちは。
いくつか尋ねられた点について私の考えを返答します。 Yssさん > 問７の40000/3万円。具体的にどういう状況で実現するのか。 身も蓋も無い答えで申し訳ないですが、「P(A)＝1/2、P(B∩C)＝P(B∩D)＝1/4と考える状況下」で実現するとしか言えません。 かのモンティ・ホール問題もわれわれの直感（ともに1/2）に反する答えが得られますが、その訳はと聞かれると、「条件付き確率の概念に則って計算した結果」としか言いようがありません。 そもそも確率において、ことさら条件付き確率においては人間の直感はあてにならないと私は考えているので、確率の定義・法則に則って得られた答えが（直感では）奇妙な値でも、「ほう、そんなもんか」程度にしか考えないようにしています。 （ただし、本当にP(A)＝1/2、P(B∩C)＝P(B∩D)＝1/4なのかどうかは相当な議論の余地があり、それが本問における議論の種になっているわけですが・・・） たっくん４さん > これ、＜目覚めた＞ことを全く追加的情報として加味しない考え方ですよね。 A、B∩C、B∩Dのいずれにおいても、「眠り姫プロジェクトの会場で目を覚ます」ことには変わりが無いので、得られる情報が無いと考えています。ですので、コイントスによるP(A)＝P(B)＝1/2を採用しています。 > 「目覚めたとき」＝「宇宙人が目覚める瞬間を見かけたとき」ではない、というご理解なのでしょうね。 まさにおっしゃるとおりです。 事象A'を「その日、会場にいる被験者全員からランダムで抽出した1人が場合Aである」とする場合には間違いなくP(A')＝1/3ですが、これは私の定義した事象A：「目覚めたとき、自分が場合Aである」とは別物だと考えています。 > No.47 この場合、Cを「眠り姫プロジェクトの会場で目を覚ます」に置き換え、新たにC'：「自宅で目を覚ます」と定義し、 P(A)＝1/2、P(A∩C)＝P(A∩C')＝1/4、P(B∩C)＝P(B)＝1/2、P(C)＝P(A∩C)＋P(B∩C)＝3/4と考えます。 P(A∩C)やP(B∩C)が本問とは異なる値になるので、そもそも別の問題である、と解釈します。 > 最初の「村一つ」の場合でも、1/2を解とする理屈 実際には案１、案２であったとしても、問題に出てくる人間自身がその事実を知らない限りは、確率は修正されないと考えます。 もちろん人間自身がその事実を知れば、確率は修正されるべきです。
ちょっと時間がとれましたので。 matcherさんはじめ皆さんにご教示を頂きたく、何卒宜しくお願い申し上げます。 ３）をつくりました。 === ３）あなたが目覚めた状況は １）と同じだが､神の声は次のように言った｡ 「私は､二つの森を作った。どちらの森にも天使が一人住んでおり、人間を見つけると、ただ１人を、ただ１回だけ、弓矢で射る。さて、一つの森は、その天使のほかに、５人の人間だけを含んでいる。もう一つの森は、天使のほかに、５００人の人間を含んでいる。人間たちは互いに出会うことはない。この二つの森を創り、この森はそのうちの一つなのだ｣ 神の声が消えてからしばらくして、木々のむこうから矢が飛んできて、あなたの肩に突き刺さった。ここで神の声がした｡ 「天使の矢に射られたな……｡さきほど私がおまえに話しかけたのち、おまえのいない森を消してきた。その後、おまえは射られたのだ。さて推測せよ、おまえのいるこの森はどちらの森か？ ５人を含む森か、５００人を含む森か｣ === この ３）の森は、１）と２）の森のどちらに似ているのでしょうか。矢に射られた瞬間には、ひとつしか森がない点では １）の森に似ていなくもなし、目覚めたときに 森がふたつあった点は ２）の森に似ていなくもなし、というつもりです。
>>80 s_hskz さん
これは「５０５人が存在した」ことを知っているわけですから、２のタイプでしょう。 以下、s_hskz さんが意図しただろうコトとは別に、「天使が人間を見つけると」という文章を「２つの森の天使２人の先着順」と読み取るのが可能（むしろ自然？）なので、「あなたの森の天使が矢を撃った」という、今までなかった情報が得られてしまいますね。５００人いる森の天使が先に人間をを見つけて撃つ確率は、１以下１/２強 の範囲に対して論理的な説明がありうるので、その確率を仮決めしない限り解けません。 >>79 matcher さん 「村一つ」の場合の「案２」は、 「その事実を知っている」と認識する教義の宗教が存在しますので、 こうなると本当に哲学の問題だなと思うわけです。 「神の作った世界に存在する自分」設定をワタシがあまり好きではなくて、 先ほどの投稿でも、自分の解を1/2とも5/505とも書いていない理由の ひとつです。
s_hskz
「森で目覚めたとき」も「矢でうたれたとき」も「森がどのようにして作られたかしったとき」も、確率について考えるチャンスがあるのですよね…眠り姫よりも複雑なのかもしれないと、頭を抱えております。
No.77 あれれさん
> Aの場合もBの場合も「2日目に目覚める」という出来事が起こるのは間違いないですので、 > P(C)=1です。 それはCを「2日目に目覚める」と定義した場合の話ではないのでしょうか？ 私のCは「目覚めたとき、それが2日目である」事象です。「目覚めたとき、それが3日目である」可能性がある以上、P(C)＝1という解釈には同意できません。 No.80 この問題に対する私の解釈は、概ねたっくん４さん（No.81）と同じです。 No.81 たっくん４さん > 「案２」は、「その事実を知っている」と認識する教義の宗教が存在しますので、 なら私はさしずめ、「その事実を知らない」と認識する教義の教徒といったところでしょうか というよりそもそも、知ったところで最初の前者のパターン（5人or500人）と大差ない気がするのは気のせいでしょうか・・・（同日23:05追加）
>>82 matcher さん
＜というよりそもそも、知ったところで最初の前者のパターン（5人or500人）と大差ない気がするのは気のせいでしょうか・・・（同日23:05追加）＞ 「なぜ自分はここにいるのか」についての哲学で、２つのどちらを選ぶかの答えが変わりますよ。 ・「霊魂から生まれる」なら、５人の森に生まれる確率は乏しくて ５/５０５（この問題の解は 1/2） ・「事実を知らない」なら、生後の自分の存在を前提と考えるので、存在確率は １：１（この問題の解は 500/505） この種の問題に関する私のスタンスは、という２個の考え方があるんだよね、で、思考停止することです。
No.82 matcherさん
>それはCを「2日目に目覚める」と定義した場合の話ではないのでしょうか？ 「2日目に目覚める」という出来事が起こったのであれば、 2日目に目覚めたときに、「目覚めたとき、それが2日目」です。 「目覚めたとき、それが2日目である」という出来事も起ったことになります。 逆に、「目覚めたとき、それが2日目である」という出来事が起こったのであれば、 目覚めた。目覚めたのは2日目だったということであり、 「2日目に目覚める」という出来事が起こっています。 「2日目に目覚める」という事象と「目覚めたとき、それが2日目である」という事象は同じものです。 少なくとも確率の計算をする際に同一視して問題ありません。 >「目覚めたとき、それが3日目である」可能性がある以上、P(C)＝1という解釈には同意できません。 事象CとDは排反ではありませんので、P(C)=1,P(D)>0であっても何の問題もありません。 分かりやすい例を書いておきます。 フェアなコイン1枚を2回投げて表がでるか裏がでるか調べたとします。 事象α:1回目に表か裏が出る 事象β:2回目に表が出る という2つの事象を考えると、αとβが同時刻に起こることがないのは間違いありませんが、 αとβがともに起こる確率は0ではなく、排反ではありません。 P(α)=1,P(β)=1/2,P(α∩β)=P(α)*P(β)=1/2 です。
matcherさん、みなさん、有り難うございます。
『論理サバイバル』という著書のなかで三浦俊彦氏が「森の射手問題」について以下のような説明をしています。 ===引用開始 選択肢が《単なる可能性》の場合と《実在物》の場合とでは、現実に何が真実らしいかという確率が違ってってくることがある。 === …… 私には到底理解できそうにありません。多数回試行が許されれば、そこから求められる「確率」についての評価値から、選択肢が《単なる可能性》の場合と《実在物》の場合とを識別可能ということになりますが……承知いたしかねます。例えばこの世界が（量子力学で検討された）多世界なのか否か、実験で判別できると解する物理学者はほぼ皆無と存じます。 私にとっては、「森の射手問題」の １）と、 ２）、そして私が付け足した ３）は全て同じ構造の確率問題にみえてしかたがありません。 １）では《単なる可能性》、 ２）では《実在物》……差があるのでしょうか。 確率論で云うところの根元事象に差はないと思うのですが、私の勘違いでしょうか。 さて、「眠り姫問題」で、《私が目覚めた》ときに、場合Ａの森と場合Ｂの森とのどちらか一方で目覚めるわけですから、《私が目覚めた》片方の森は《実在物》ですし、もう片方の森は《単なる可能性》に過ぎません。 ※注：私は両者を区別しませんが。 「森の射手問題」の １）と、 ２）とで、確率が異なるとおっしゃる皆さんは、「眠り姫問題」でも、「森の射手問題」の １）と同じ解釈をなさるはずと存じます。 皆さんのお答えを拝見しながら、少々悩み込むことになりそうです。
>>83 たっくん４さん
>>82を書いたあとでじっくり考え直してみましたが、「生き返りを待っている数多くの霊魂」の数をきっちりnと置いて計算しなければならない気がしてきました。 「神様が５あるいは５００の霊魂を生き返らせて森に送り込む」について、5か500かはコイントスによって、霊魂を生き返らせる前に決められるものとして計算すると、 P(A∩C)＝(1/2)・(n-1C4/nC5)・(1/5)＝1/2n P(B∩C)＝(1/2)・(n-1C499/nC500)・(1/5)＝1/2n P(C)＝P(A∩C)＋P(B∩C)＝1/n PC(A)＝P(A∩C)/P(C)＝1/2 確かに、知っていれば1/2というのはこれで合点がいきました。 そして案2の「オレ」の語り方は、この事実を知っていると考えたほうがいいと思い直したので、 >>82は完全撤回し、「案2の場合は1/2」を私の見解とします。 > この種の問題に関する私のスタンスは、という２個の考え方があるんだよね、で、思考停止することです。 私は「考え方次第で2通りの解が得られる問題」は、そもそも「何らかの原因で2通りの解釈ができてしまう問題」であり、その「何らかの原因」のほとんどは「言語の曖昧さ」だと考えています。 例として、算数オリンピックで出題された以下の問題があります。 人口１０００人の村に１０００軒の家があり、村の人はみんな１人で住んでいます。 この村では、お正月にすべての村の人が、自分の家から一番近い距離にある家に１枚だけ 年賀状をだします。家どうしの距離はみんな違います。 また、村の外から年賀状はきません。 「家どうしの距離」を互いの家の中心（重心）間の距離と考えると解は5枚になりますが、「家どうしの距離」を互いの家の最も近づく部分の距離と考えると解は999枚になります。 これは「家どうしの距離」という「言葉の曖昧さ」から生じたケースだと思います。この場合、「家どうしの距離は各家の重心間の距離とする」と断り書きを加えるだけで、解は1通りになります。 ですので私は2通りの解釈ができてしまう問題を見ると、「もっとちゃんと詳細な設定を作って、解を1通りにしろ！」と叫びたくなります。
>>86 matcher さん
＜「何らかの原因で2通りの解釈ができてしまう問題」であり、（中略）「もっとちゃんと詳細な設定を作って、解を1通りにしろ！」と叫びたくなります。＞ まさに私も同じ意見でこう語っています。だから、「関わりたくないから思考停止」するのです 以下雑談。 この問題は「撃たれる」だから多分その点はランダムだから良いですが、過去に「ある世界王である」という問題を見たことがあって、「これは王は王として生まれる」という世界観が試されているのだろうか、と、頭を抱えてしまいました
>>84 あれれさん
> 「2日目に目覚める」という事象と「目覚めたとき、それが2日目である」という事象は同じものです。 > 少なくとも確率の計算をする際に同一視して問題ありません。 ではこういうのはどうでしょうか。 ある被験者に眠り姫プロジェクト実行委員が質問をします。 「正直に答えてください。貴方は2日目に目覚めますか/目覚めましたか？」 これはどんな被験者でもYESと答えるでしょう。ですが、 （目覚めたばかりの被験者に対し）「正直に答えてください。今日は2日目ですか？」 これはYESかNOか、返答に悩む被験者が大半でしょう。 このことからも、「2日目に目覚める」事象と「目覚めたとき、それが2日目である」事象は全く同一視できないことがわかります。 > 事象CとDは排反ではありません CとDは排反です。 「CとDは排反である」は、「C∩D＝φ（空集合）」と同値です。 まさか、「目覚めたとき、2日目でありかつ3日目である」ことなんてことはあり得ませんし。 念を押しておきますが、これは「2日目に目覚め、かつ3日目に目覚める」事象とは根本的に違います。 >>87 たっくん４さん 発言の真意を汲み取れていませんでした。なるほど、そういう思考停止だったのですね
つたない表現になりますが、眠り姫プロジェクトの設問について、私がよってたつ立場を、いままでとは言葉を代えて記してみたいと思います。 私にとってこの問題／エピソードは、確かに《ひとつのおはなし》ではあるのですが、しかし、確率の問題としては、《ふたつのおはなし》が混ざってしまっている、そのように見えます。 【確率空間がふたつあるおはなし】に見えます。 以下、かなり大雑把な表現で申し訳ありません。 確率を計算するには、まず、いくつかの標本点＝根元事象を全て拾い上げ、その全体を標本空間とし、次に、根元事象に〈測度をいれる〉ことをします。サイコロ１個の出目について考えたければ、根元事象として、１、２、３、４５、６を拾い、標本空間を｛１、２、３、４、５、６｝とし、各根元事象に、１／６ といった確率を与え、全確率が１となるようにします。こうして、根元事象に確率を付与された標本空間を確率空間として捉えています。〈測度をいれる〉と申しましたが、表現を代えれば、〈何をもって【同様に確からしい】とするかのモノサシを設定する〉ことです。 眠り姫プロジェクトにおいては、確率空間はふたつあるようにみえます。〈何をもって【同様に確からしい】とするかのモノサシがふたつあり、このモノサシは、ご存じの通りに、お互いにあいいれません。ひとつの確率空間には矛盾する測度をふたつもつことは出来ませんから、眠り姫プロジェクトの設問に答えるためには、ふたつの確率空間を用意する必要があります。 第一のものを《コイントス》確率空間、第二のものを、《目覚め》確率空間と、私は名付けています。 振り返ってみますと、私たちは学校教育や、社会での勉強を通じて、確率の問題を解くさいに、常に、ひとつの問題につきひとつの確率空間を用意されてきていました。それでことたりてきていましたので、確率空間がふたつもある問題には出会って来ませんでした。このため、ひとつの物語、エピソードを、確率を通じて理解しようとした場合には、どうしても、ひとつの確率空間を設定してその上で、物語／エピソード上の全ての事象について確率を付与しようと努力します。これは正しい道なのでしょうか？ さて、《コイントス》確率空間での根元事象は、コインの表と裏とです。標本空間は｛表、裏｝とでも書いておくことができるでしょう。私たちはここに、フェアなコインが使われるという条件から、等確率の原理が使えるとみなして、〈何をもって【同様に確からしい】とするかのモノサシ〉を決定します。即ち、測度をいれます。各根元事象に１／２という値を設定します。これで《コイントス》確率空間の出来上がりです。 また、《目覚め》確率空間を考えます。（方針。各目覚めに等しい価値を与えます。実際に実験会場での被験者のチョーカーの色の分布からも推定できるのですが。） 根元事象として、赤チョーカー２日目の目覚め、青チョーカー２日目の目覚め、青チョーカー３日目の目覚め、を考えます。標本空間としては、｛赤チョーカー２日目の目覚め、青チョーカー２日目の目覚め、青チョーカー３日目の目覚め｝です。ここに測度をいれますが、〈何をもって【同様に確からしい】とするかのモノサシ〉については、各目覚めは等価だと捉えるモデルを採用できます。各根元事象には１／３の確率を与え、これで、《目覚め》確率空間の出来上がりです。 強調しすぎてもなお強調しておきたいところですが、これらふたつの確率空間における測度、〈何をもって【同様に確からしい】とするかのモノサシ〉は互いに相容れず矛盾します。 私は以上の見地に立ち、眠り姫プロジェクトの各設問に答えます。 問１。《コイントス》確率空間で答えるべき問いとします。 １／２。自明。 問２。《目覚め》確率空間で答えるべき問いとします。 １／３。自明。 問３。《コイントス》確率空間で答えるべき問いとします。 １／２。自明。 問４。《コイントス》確率空間で答えるべき問いとします。 １５０００円。自明。 問５。《目覚め》確率空間で答えるべき問いとします。 標本空間は｛赤チョーカー２日目の目覚め、青チョーカー２日目の目覚め、青チョーカー３日目の目覚め｝で、新たに与えられた情報は、《今日は二日目》ですから青チョーカー３日目の目覚めの事象が排除されます。残る事象のうち赤いチョーカーをつけている割合をみてとれば、答えは１／２。 問６。《コイントス》確率空間で答えるべき問いとします。 １／２。自明。 問７。《コイントス》確率空間で答えるべき問いとします。 １５０００円。自明。 === 以上のように考えます。元１/３派の者として、１/３派の方々に訴えますが、皆さんは、１日目の問１では、《コイントス》確率空間で解釈し、２日目以降の問２から問７までを《目覚め》確率空間で生きていらっしゃいます。（問１と問３での確率が異なる事由として）目覚めたことに確率改訂の力があるとお考えなのかもしれませんが、単に、確率空間を乗り換えただけですから、条件的確率を計算したのでもなく、ベイズ的確率改訂をしたのでもない、と私は考えております。皆さんはすでに確率空間を乗り換えていらっしゃるのですから、他の問においても適宜、確率空間を乗り換えていけば良いのではないかと存じます。いかがでしょうか？
大筋同意します。その確率空間から計算したらその答えになる。それはその通りだと思います。議論は、その確率空間を適用することが合理的かどうか、という点ですよね。
色々考えていて、私が１／３派を選んでいる理由がようやく言語化できてきたので（かなり長くなりそうなんですが）投稿したいと思います。準備中ですm(_'_)m
s_hskz
No.89 の内容を言語化できたのは、今朝の起き抜けになってからです。しばしば私が口にしてきた、《「赤チョーカーをつけていること」と「場合Ａであること」は、違う概念だ》の意味が、自分自身でもやっとわかってきました。
No.89の続きです。 眠り姫プロジェクトにおいては、各問について、どの確率空間で処理したのかを明示し、〈何をもって【同様に確からしい】とするかのモノサシ〉とするかが明らかになっていれば、（計算があっていれば）全て、数学的・確率論的には正解なのだと思います。 高名な「ベルトランのパラドックス」でも、測度のいれかたを違えれば（=確率空間を差し替えれば）、さまざまな異なる値の確率が計算されますが、《どれかひとつが正解》と言い切ることは、数学的、確率論的には、ありません。どの確率の値も、公理に従っていることが示されれば「正解」なんです。確率論は、測度の与え方について制約しませんので。
大作を書いてしまいました
長文投稿失礼します。 Ｔ派（１／３派）の主張 ・全ての目覚めの機会を、平等に扱うべき Ｈ派（１／２派）の主張 ・外の世界で１／２のものは、夢の世界でも（重み付けを変えて） 総和が１／２になるようにすべき Ｏ派の主張 ・あくまで、コイントス確率空間での確率を採用する。 目覚める回数によって重み付けを考える、などはしない。 Ｔ派のメリット ・確率の計算がシンプルで、計算上はいちばん矛盾がない Ｔ派の弱点 ・外の世界で実現するバイト代などの期待値が、普通に整合しない （夢の世界で決済するなどの、やや不自然な設定が必要） Ｈ派のメリット ・目覚め確率空間での、確率の計算が整合する ・コイントス確率空間での「バイト代期待値」等も整合している（ように見える） ↑これは実は偶然の一致です(Yss見解）。 Ｈ派の弱点 ・確率の計算が、怪しげな重み付けのせいで、とても不自然 ・条件が複雑になると、期待値も不自然な値になる Ｏ派のメリット ・最も直感的な値が出る（問２についてはやや疑義あり） Ｏ派の弱点 ・確率の計算が整合しない ・確率の計算が不可能な場合がある ・そのとき、ウッカリすると１／３派（Ｔ派）になってしまう（笑） オリジナルの設問だと、問題はシンプルで面白いんですが、異なる考えの結果が同じ確率に帰着してしまうことがあって、理屈を考える上では、少しやりづらいので、 誠に勝手ながら、少しばかり複雑にして、数値がかぶらないような、設問を考えてみました。 やや煩雑になりますので、確率の計算までやってみましたのでお付き合い頂ければ幸いです（たぶん計算そのものは大丈夫・・・です）。Ｏ派は生き残れるのでしょうか？というのがひと言でまとめた議題です。 場合Ｃを追加し、その場合は２、３、４日目に目を覚まして質問される、 という設定にします。 一覧では、こんな感じになります。 場合、起こされる日、の順で。 Ａ ２ Ｂ ２ ３ Ｃ ２ ３ ４ バイト代は、Ａ、Ｂ、Ｃについてそれぞれ１、２、３万円。 このように、場合をＡＢＣの３通りに分け、フェアなサイコロで１２、３４、５６で確率１／３ずつで割り振る。という風に設問を変えた場合、 それぞれの確率はどうなるのか、 ・ガチ１／３派 記号Ｔ ・ガチ１／２派 記号Ｈ あれれさんや、問２・問５を除くs_hskzさんは、私の解釈では、この問題では主観的確率は考えず、あくまで客観的な確率を求める、つまりコイントス確率空間での値を採用する派だと思ったんですが・・・とりあえず、Objectiveの Ｏと記号をつけさせて頂きます。 それで、設問を上のように変えたとき、赤、青、黄のチョーカー、 場合はＡ、Ｂ、Ｃと名前をつけることにします。 （Ｃと黄は、名前なくてもいいんですが念のため） この状況設定の時、以下の設問を考えてみます。 【何日目か知らされないときの質問群】 問８ 「さぁ、あなたは目覚めた。あなたの首にはめられたチョーカーの色が赤である確率は？」 問９ 「さぁ、あなたは目覚めた。場合Ａである確率は？」 問１０「さぁ、あなたは目覚めた。あなたのバイト代の期待値は？」 【二日目と知らされるときの質問群】 問１１「さぁ、あなたは目覚めた。今は二日めであると知らされた。あなたの首にはめられたチョーカーの色が青である確率は？」 問１２「さぁ、あなたは目覚めた。今は二日めであると知らされた。場合Ｂである確率は？」 さらに、 【三日目と知らされるときの質問群】 問１３「さぁ、あなたは目覚めた。今は三日めであると知らされた。あなたの首にはめられたチョーカーの色が青である確率は？」 問１４「さぁ、あなたは目覚めた。今は三日めであると知らされた。場合Ｂである確率は？」 【「二日目または三日目である」と知らされるときの質問群】 少し状況設定を変えて、二日目であると知らされることがないとして、 三日目であることが知らされることも、ないとして、 「二日目の人、三日目の人には必ず、『二日目または三日目である』と知らされる」 状況設定だとしたら、 問１５「さぁ、あなたは目覚めた。今は二日目または三日目であると知らされた。あなたの首にはめられたチョーカーの色が青である確率は？」 問１６「さぁ、あなたは目覚めた。今は二日目または三日目であると知らされた。場合Ｂである確率は？」 どう考えるのでしょう？
ひきつづき。
【Ｔ派の主張】 ガチ１／３派（Ｔ）だと、 Ａ、Ｂ、Ｃの場合の各日をすべて等価に扱うので全部で６パターンあって、 今目覚めたらたまたまそのどれかだったと考えます。 Ａ 1/6 Ｂ 1/6 1/6 Ｃ 1/6 1/6 1/6 ↑こんな感じ。 問８ １／６ 問９ １／６ 問１０ (1/6)*1 + (2/6)*2 + (3/6)*3 = 7/3万円 「二日目」と知らされたら、三通りの中のひとつだから１／３と考えます。 問１１ １／３ 問１２ １／３ 「三日目」と知らされたら、ふた通りの中のひとつだから１／２。 問１３ １／２ 問１４ １／２ 「二日目または三日目」なら五通りのなかのふたつなので２／５。 問１５ ２／５ 問１６ ２／５ 【Ｈ派の主張】 ガチ１／２派（Ｈ）だと、 （＝リンク先の理屈をそのまま持ってくると） Ａの一日間と、Ｂの二日間（の和）と、Ｃの三日間（の和）に、 同じ重み付けを与えるので、 Ａ 1/3 Ｂ 1/6 1/6 Ｃ 1/9 1/9 1/9 ↑こんな感じ。 問８ １／３ 問９ １／３ 問１０ (1/3)*1 +(1/3)*2 + (1/3)*3 = 2万円 「二日目」と知らされたら、重み付けをして、一日あたりでは以下の通り。 Ａ：1/3 Ｂ：1/6 Ｃ：1/9 (1/6)/(1/3 + 1/6 + 1/9) =3/11 したがって、 問１１ 3/11 問１２ 3/11 「三日目」と知らされたら、同様に重み付けをして、 Ｂ：1/2 Ｃ：1/3 (1/6)/(1/6 + 1/9) = 3/5 したがって、 問１３ 3/5 問１４ 3/5 「二日目または三日目」なら同様に重み付けをして、 (1/6 + 1/6)/(1/3 + 1/6 + 1/6 + 1/9 + 1/9) = 3/8 問１５ 3/8 問１６ 3/8 と、なるはずです。 【Ｏ派の主張】 あれれさんと、問２・問５を除くs_hskzさんはここですよね。 Ｏ派の場合、夢の世界は関係ないのかと思いましたが、 おそらく、「三日目である」という情報を得たときには、 Ａである確率は０ 赤チョーカーである確率も０と計算するでしょう。 つまり、夢の世界での出来事が、確率計算に一切関係ないということではなくて、 「三日目」と情報を得たら、「三日目」を経る可能性のある場合を、 平等に扱う、（三日目ならＢとＣなので場合の数２と考え、両方を平等に扱う） ということかと理解しました。（合ってますか？） 模式的に書くと Ａ1/3 ■ Ｂ1/3 ■ ■ Ｃ1/3 ■ ■ ■ ↑ あくまで確率はコイントスに紐付けされている。 したがって、ＡＢＣが均等に１／３となっていて、 夢の世界で何回目覚めたかは、関係ないと考える。 すると、 問８ １／３ 問９ １／３ 問１０ 2万円 「二日目」と知らされたら、二日目を経るＡＢＣどれもが均等と考える。 問１１ １／３ 問１２ １／３ 「三日目」と知らされたら、三日目を経るＢＣの両方が均等と考える。 問１３ １／２ 問１４ １／２ 実はここまでが前置きで、ここからが本題なんですが（すいません）、 では、Ｏ派の場合、 「二日目または三日目である」と知らされたら、 どう計算するのでしょうか？ ＡＢＣどれもが可能性がある、と考えるなら、 問１５ １／３ 問１６ １／３ となりますが、これはちょっと計算上問題があるんですね。
s_hskz
＞、問２・問５を除くs_hskzさんはここですよね
んー微妙にニュアンスが異なる気がします。コイントス確率空間で処理すべき設問だろうと判断すれば、目覚めの有無はいっさい関わってこないのです。一方、眠り姫プロジェクトで問２・問５は明らかに目覚め確率空間で処理すべきと感じました。私は確率空間を積極的に差し替えます。チョーカーが主題ならば目覚め確率空間で、バイト代が主題ならばコイントス確率空間で、です。
以下、矛盾についての説明です。
まず直感的な疑問。 「二日目である」という情報を得たときと、 「三日目である」という情報を得たときで、 確率の計算が違うのに、 「二日目である」という情報を得たときと、 「二日目または三日目である」という情報を得たときで、 確率が同じになるというのは、不自然ではありませんか？ （これが直感的な疑問） 以下、ちゃんと計算してみるとこうなります。 「目覚めたら、二日目であると知った」を事象Ｓ 「目覚めたら、三日目であると知った」を事象Ｔ 「目覚めたら、二日目または三日目であると知った」を事象ＳＴ ※事象STは S∪T と同義。←かどうかは少し議論の余地があるかも。 場合Ｂであるを 事象Ｂ 事象ＳとＴは排反ですので、 条件付き確率を、Aが起きた時Bが起きる確率：PA(B)と書き、また、 同時確率を、AとBが両方起きる確率：P(A∩B)と表記すると、 P(S∩B)=PS(B)・P(S) P(T∩B)=PT(B)・P(T) PST(B)・P(ST) =P((S∪T)∩B) = PS(B)・P(S) + PT(B)・P(T) と、なるはずですが、 Ｔ派（１／３派）の場合、 PS(B)=1/3 P(S)=3/6=1/2 PT(B)=1/2 P(T)=2/6=1/3 P(ST)=5/6 ですので、 PST(B) = 2/5 ←問１３・１４の答えになり、整合する Ｈ派（１／２派）の場合、 PS(B)=3/11 P(S)=(1+ 1/2 + 1/3)/3=11/18 PT(B)=3/5 P(T)=(1/2 + 1/3)/3 =5/18 P(ST)=(1+ 1/2 + 1/2 +1/3 +1/3)/3=8/9 ですので、 PST(B) = 3/8 ←問１３・１４の答えになり、整合する となって、それぞれ辻褄が合っているんですが、 （追記：↓ここから下の計算は、後にあれれさんのご指摘を受けて、間違いであることが分かりました。記録のために残してありますが、計算は違っています） Ｏ派の場合、ここに矛盾がでると思うんですね。 PS(B)=1/3 P(S)=1 PT(B)=1/2 P(T)=1 P(ST)=1 P(S)、P(T)、P(ST)の定義は難しいと思うんですが、 あれれさんのNo.77のように、必ず起こるからと、 P(S)=1, P(T)=1, P(ST)=1を採用すると、 PST(B) = 5/6 となります。 しかし、問１５ 問１６は １／３。 ここで、辻褄が合わなくなってしまいます。 そして、もっと衝撃的な展開が、ここからです。 ここでもしも、 P(S)とP(T)の値として、 二日目だと三通り、三日目だと二通りあるから、 ３：２の比率で重み付けをするような確率を定義すると、 次の質問が、Ｏ派の息の根を止める質問になります。 では、 「二日目、または、三日目、または、四日目である」 という情報を得た場合 （つまり、ただ目覚めた場合と同じ） どう計算するのか、という話。 二日目の確率：３ 三日目の確率：２ 四日目の確率：１ の比率で重み付けをした場合、 どうなるかというと、 実は、１／３派（Ｔ派）の答えと同じになるんです。 計算すれば分かりますし、 目覚めの機会を全て均等に扱うというのが１／３派の主張ですから、 結局そこに帰着してしまうわけです。 Ｏ派、つまりコイントス確率空間を重視する考え方の弱点は、 「二日目または三日目である」という情報を得たときに、 ・その確率は計算不可能 または ・計算できるが、条件付き確率の公式で辻褄が合わなくなる または ・結局１／３派に鞍替えせざるを得なくなる のどれかを選ばなければならない、 というところにあると思います。 （もうすこし概念的な表現ができたらいいのですが、私の知力ではここまでが限界・・・）
えー。
おつかれさまでした＞皆さま＆自分 私が、うまく言語化できず、夢の世界・外の世界と表現していたことを、 s_hskzさんが目覚め確率空間、コイントス確率空間と、適切に言語化して下さいまして、とってもスッキリしました。 Ｏ派（コイントス確率空間重視派）の困難点も、拙いながら指摘させて頂きました。（Ｔ派Ｈ派も） どの派が正しいという主張をするつもりは、いまはあまりなくて、それぞれの計算方法・立場に、どんなメリット・デメリットがあるかがハッキリしたら、それで有意義なのではないか、と考えています。 私はと言うと、今でも・・・自信なさげな１／３派（Ｔ派）です
No.88 matcherさん
事象C:「目覚めたとき、それが2日目である」 とします。 >「正直に答えてください。貴方は2日目に目覚めますか/目覚めましたか？」 これは「この実験中に事象Cが起こることはありますか？」という意味です。 >「正直に答えてください。今日は2日目ですか？」 これは「今事象Cが起こっていますか？」という意味です。 2つの質問の意味が異なっていますので答えが異なるのは当然です。 C∩Dは、 「目覚めたとき、それが2日目である」ことが起こる かつ、 「目覚めたとき、それが3日目である」ことが起こる ということです。 2つの目覚めが同じ日である必要はありませんので、空集合ではありません。 「目覚めたとき、それが2日目である」という事象が起こるというのが混乱を招いているようですので、 ちょっと切り口を変えてみます。 問6の文章を見直してみます。 問６「さぁ、あなたは目覚めた。今は二日めであると知らされた。場合Ａである確率は？」 今は二日目と知らされていますから、二日目に目覚めた場合の話です。 二日目に目覚めたときには必ず二日目であると知らされると考えていいでしょう。 これは二日目に目覚めたすべての場合、かつ二日目に目覚めた場合のみの話です。 要するに二日目に目覚めた場合ということです。 問6は、 「あなたは二日目に目覚めた。場合Ａである確率は？」 と同じ意味です。 二日目に目覚めるという条件下での場合Aが起こる確率を求めればよいということです。 事象A:場合Aが選択される 事象C:二日目に目覚める とすれば、P(C)=1,P(A∩C)=1/2ですので、 求める確率は、P(A∩C)/P(C)=1/2です。
No.92-95 Yssさん
確かに、私の考えだと結果的に、 場合A,B,Cが起こる可能性があれば それぞれの場合である確率はそれぞれの場合の発生確率に比例する ことになりますね。 ですので3日目だと知らされた場合にA,B,Cである確率は0,1/2,1/2であっています。 2日目または3日目だと知らされた場合は、1/3,1/3,1/3です。 しかしながら、指摘されているような矛盾は起りません。 事象SとTは排反ではないからです。 No.84で同じ趣旨の主張をしたばかりです。
あれれさん、ありがとうございます。
＞しかしながら、指摘されているような矛盾は起りません。 ＞事象SとTは排反ではないからです。 なるほどそういうことですか。これでようやく見えてきました。 s_hskzさんの言葉を借りて表現しますと、 目覚め確率空間で考えると、ＳとＴは排反なんです。 私は頭がこっちに固まっていたようです。 コイントス確率空間で考えると、確かにＳも起こりＴも起こることがあるので、 排反ではないですね。Ｏ派の計算をするときは、この点に留意すべきでした。 もう少し、整理してみます。
No.91の続きです。 いわゆる１/２派のなかには、以下の確率空間を採用なさる方々がいらっしゃいます。ここでは、《１/２派確率空間》と呼称いたします。 根元事象として、赤チョーカー２日目の目覚め、青チョーカー２日目の目覚め、青チョーカー３日目の目覚め、を考えます。標本空間としては、｛赤チョーカー２日目の目覚め、青チョーカー２日目の目覚め、青チョーカー３日目の目覚め｝です。ここに測度をいれますが、〈何をもって【同様に確からしい】とするかのモノサシ〉については、次のように定義します。 根元事象、赤チョーカー２日目の目覚めにたいして１/２ を与え、青チョーカー２日目の目覚め、青チョーカー３日目の目覚めの和事象に１/２ を与えます。根元事象、赤チョーカー２日目を場合Ａに対応すると考えています。また、事象｛青チョーカー２日目の目覚め、青チョーカー３日目｝を場合Ｂに対応させます。 この《１/２派》確率空間は、《コイントス》確率空間と似ていますが非なるものです。まず根元事象のとりかたが異なります。次に、「今日は二日目だ」という情報について、《コイントス》確率空間では意味をもたないのに対し、《１/２派》確率空間では、条件的確率の計算に効いてきてしまいます。 この差は銘記しておくべきことかと存じます。 たとえば、当初からのあれれさんは《コイントス》確率空間で全ての設問に答えていらっしゃいますので、いわゆる１/２派とは立場が異なるわけです。 …… やっと連投を書き終えました……
>>89 s_hskzさん
このまとめはおっしゃるとおりです。 これ、58の ＜世帯調査＞ ＜子供調査＞とまったく同じ構造で、 今回の問題は ＜コイン基準＞ か ＜目覚め基準＞ の解があります。 私は最初から 前者を 1/2派、後者を1/3派として語っていたのですが、 そうか、当初Yssさんが名乗った1/2派は微妙に違ってたのですね。 ※参考文献も今読んでみたらちょっとここが混乱しているような。 コイン基準を貫けば 問２－４は 1/2, 3/2万円 が解で、 目覚め基準を貫けば 問２－４は 1/3, 5/3万円 が解。 そのほかは全部 1/2, 3/2万円が解になって、 それ以外の答えは「はっきり間違い」と考えています。 特に、今日議論になっている ・「目覚めたとき、それが2日目である」ことが起こる ・「目覚めたとき、それが3日目である」ことが起こる については、 目覚め基準では排反事象ですが、コイン基準では排反事象でありません。 同一人物にそれらが両方起こる例は世の中にあふれてます ご自身の理論がどっち基準であるかを認識していないでいる勘違いだと思います。 付け加えれば、問２は＜目覚めベース＞、問３・４は＜コインベース＞を問われていると解釈しやすいので、この方向のブレが出る理由はとても理解できます。ただし、ご自身がそこで「文章の解釈を変えている」ことは認識しておくべきと考えます。
……みなさん頭の回転速いですね……スピードについていけません（しくしくしく） 私は時間かけないと…… >> No.100 たっくん４さん、問１でコイントス確率空間、問２では目覚め確率空間で処理している点、私とたっくん４さんとでは同じですね。 私の今日の立場の珍しい点は、積極的に文脈に従って確率空間を乗り換えてしまう点でした。 （明日は気分がかわるかもしれませんが、それはもはや、数学や確率というよりも、自己認識という哲学的感触の変更をともなうことになるのかもしれません。…） === 【追記】 === …私の視点の説明のために、複数の確率空間を使うので、確率には《なにをもって同様に確からしいかを示す》測度ないし確率空間を明記する添字ないしパラメータを付記すべきと考えました。こんなことは普通の確率の問題にはアリエナイことなのですが仕方がありません。添字は面倒くさいので《コイントス》確率空間での確率をＰ（事象）、《目覚め》確率空間での確率をＱ（事象）、とでも表そうと鉛筆を握ってマンガを書いていました。《目覚め》確率空間からみた、《コイントス》確率空間での根元事象の確率、あるいは、その逆……Ｐ（事象）とＱ（事象）との変換テーブル・インターフェースを書き下しておけば磐石＼ ／と思ったのですが。結果、ひどく狼狽しました。静的なインターフェースを書き下すことができません。与えられた情報によって確率改訂をする都度に、インターフェースが動的に差し変わるようです。恐ろしい ((((；゜Д゜))) ことです。 問１～４までで有効なインターフェースは、 問５～７では無効でした。 このことから私が推測したことは以下のとおりです。 《目覚め》確率空間での確率をＱ（事象）から《コイントス》確率空間での確率Ｐ（事象）を機械的に計算することが出来ないケースがある。 考えてみれば、ふたつの確率空間のあいだの関連性を論じた説明をみたことがありません。目覚めた私が場合Ａかどうか判断するには、《コイントス》確率空間での根元事象に与えられた確率を《目覚め》確率空間での根元事象に与えられた確率で表現できなくてはならないのですが…まあ難しいです。 やはりアドホックに確率空間を乗り換えたほうが楽です。 ちなみに、《１/２派》確率空間と《コイントス》確率空間とのあいだのインターフェースが作れるかどうかは確認しておりません。
s_hskz
クソガキさん、眠り姫プロジェクトにご参加を有り難うございます。  ごゆるりと御逗留ください
s_hskz
速っ……私はクソガキさんが一時間で転進したことを半年かけています。たぶん。
計算間違いのままでは気持ち悪いので、No.92で提起した問題に対し、
コイントス基準（Ｏ派）で、「二日目または三日目である」という場合に、 どうなるのか、再計算してみました。（自分で始末をつけます(^^ゞ Ａ ２ Ｂ ２ ３ Ｃ ２ ３ ４ Ｏ派の場合、あくまで確率はコイントス（改題した私の設定の場合はサイコロですが） に紐付けされていて、以下のようなイメージ。 Ａ1/3 ■ Ｂ1/3 ■ ■ Ｃ1/3 ■ ■ ■ 「二日目である」ときには、ＡＢＣどの可能性もあることから、 確率は1/3,1/3,1/3となる。 「三日目である」ときには、ＢＣの可能性のみなので、 確率は0,1/2,1/2となる。 「四日目である」ときには、Ｃの可能性のみなので、 確率は0,0,1となる。 このとき、 問１６「さぁ、あなたは目覚めた。今は二日目または三日目であると知らされた。場合Ｂである確率は？」 これを再計算してみました。 まず、普通に計算すると、ＡＢＣ全ての可能性があることから、１／３。 あとは、ちゃんと整合性があるかどうかの確認です。 記号は・・・とりあえず確率はQを使って表すことにします。 「目覚めたら、二日目であると知った」を事象Ｓ 「目覚めたら、三日目であると知った」を事象Ｔ 「目覚めたら、二日目または三日目であると知った」を事象ＳＴ ※事象STは S∪T と同義。 場合Ｂであるを 事象Ｂ 事象ＳとＴは、コイントス確率空間では、排反ではないので、 以下のような計算になります。 「二日目または三日目であると知ったとき、場合Ｂである確率」を、 コイントス基準で求める。 QST(B)・Q(ST) =Q((S∪T)∩B) =Q(S∩B)+Q(T∩B)-Q(S∩T∩B) = QS(B)・Q(S) + QT(B)・Q(T) -QS∩T(B)・Q(S∩T) と、なります。 全て値は求められるので、 QS(B)=1/3 （二日目である→ＡＢＣ全ての可能性のうちのＢの確率→1/3） Q(S)=1 （二日目である→ＡＢＣのうち「二日目がある」場合→全部なので1） QT(B)=1/2 （三日目である→ＢＣの可能性のうちのBの確率→1/2） Q(T)=2/3 （三日目である→ＡＢＣのうち「三日目がある」場合→ＢＣなので2/3） QS∩T(B)=1/2 （二日目かつ三日目→ＡＢＣのうちこの二日で目覚めるのはＢＣ。うちＢの割合は1/2） Q(S∩T)=2/3 （二日目と三日目の両方が起こる→ＡＢＣ中のＢＣ。→2/3） Q(ST)=1 （二日目または三日目に目覚める→ＡＢＣ全てにおいて→1） QST(B)・Q(ST) =(1/3)(1)+(1/2)(2/3)-(1/2)(2/3) =1/3 Q(ST)=1であるから、 QST(B)=1/3 ←問１６の答えと整合する。 となり、整合性がとれていて、計算上も、矛盾はありません。 （No.94の計算は違ってました。失礼しました。） ここまで考えて来て、 ■１／３派の考え方＜目覚め基準・目覚め確率空間＞ 「全ての目覚めを別々の事象として扱い、目覚め基準で確率を計算する」 ■Ｏ派の考え方＜コイントス基準・コイントス確率空間＞ 「コイントスを基準に考え、目覚めの中で起きたことは、 コイントス基準の、場合の数に影響するかどうかだけを考える」 のいずれも、無矛盾で、確率を計算できることが分かりました。 私が勝手に設定した設問の方ではなく、本来の問題に戻って・・・ たっくん４さんのNo.100の記述、 ＞ コイン基準を貫けば 問２－４は 1/2, 3/2万円 が解で、 ＞ 目覚め基準を貫けば 問２－４は 1/3, 5/3万円 が解。 ＞そのほかは全部 1/2, 3/2万円が解になって、 ＞それ以外の答えは「はっきり間違い」と考えています。 そういうことですね。同意します。 Ｈ派は・・・今となってはちょっと微妙です。 穿った見方をすれば、参考資料の中の１／２派（≒Ｈ派）の解説は、 わざと微妙な考え方を紹介して、１／３派を有利に見せるための、 ポジショントークだったのではないか・・・とも見えます。 少なくとも、 目覚め基準ｖｓコイントス基準 なら、どちらも、おかしなところはなく、あとは本当に、 問題文をどう解釈するか（国語的な問題）、 物事をどう捉えるか（哲学的問題）、 の話になったと思います。 参考資料よりも、本スレッドは内容が濃く、 深い理解ができたと、感動しております。 s_hskzさんの出題に感謝です。
s_hskz
Yssさん御出題のスレで私が気まぐれに《酔っぱらい鉄道》について雑談を書き込んだときには、まさかこのような展開になろうとは思ってもみませんでした。Yssさんから、眠り姫について私から出題するようにとお勧め頂いたことが、《始まり》になりました。ありがとうございます。 《酔っぱらい鉄道》時点では私は１/３派、YSSさんは１/２派でしたね。今となってはふたりとも遠くへ来たものだと思われてなりません。 さて、よくよく振り返ってみますと《酔っぱらい鉄道》では乗り越したときのタクシー代負担というペナルティが書いてあります。あのときは、今自分がどちら終点の列車に乗っているのかを知りたいといった心理的な動機付けを演出するためだけの小道具に過ぎませんでした。タクシー代の期待値など真剣に検討すべき課題とは思ってもいなかったのが実情です。鉄橋の轟音で目覚めるウタタの私と、タクシーに乗り財布の中身を見る私と、どちらも本当の私なのでした。 悩みに悩んだ末、あいまいな語義の問題としてとらえ直したく、場合Ａには二種類の概念がある、これをなんとか分離したいと願って被験者にはチョーカーをはめてもらうことにしました。 ところが、語義の問題ではないことが本スレッドのみなさんの討論により浮き彫りになって参りました。いちばん悩んだのがあれれさんによる筋の通った御主張でした。「場合Ａのとらえかたにふたつの語義の混在の問題がある」のではなく、「場合Ａのとらえかたにみっつ以上の【語義？？…それは語義なのか？】の問題がある」ことが、あれれさんと１/２派の方々、１/３派の方々との討論から推定されました。問６～７で確率改訂を必要とする立場と、そもそもそんなの視座にはいらない立場と。もはや出題時に考えていた二項対立ではなくなってしまいました。 ぜんぜん予想しなかった展開です。 おかげさまで私は眠り姫問題で、あらたな検討課題を得ることとなりました。 詳しくはwikipediaのベルトランのパラドックスの項をご覧いただきたいのですが、哲学・国語の問題の枠組みとしてではなく、複数の確率空間が与えられたときに、数学的にどれが適切かを決められる基準をあらたにぶちこむこと…ベルトランの問題の場合には、測度についての好き嫌いを許容してなんでもアリとする現代確率論の公理に、さらになにものか…客観的な基準を加えて、複数ある確率空間を絞り込む方向で解決をはかっている研究者がいます。眠り姫は、単一の確率空間を要請するベルトランの問題よりも複雑で、複数の確率空間が混在しているように（私には）みえます。確率空間を渡り歩くことは、私もそうですし、１／３派の方々もそうなさっておいでです。仮に渡り歩くことはダメだと数学的に禁止されたら、コイントス確率空間でのみ処理すべきか、１／２派確率空間でのみで処理すべきか、目覚め確率空間でのみで処理すべきか、私には選べません。そもそも複数の確率空間がみえかくれする眠り姫や森の射手は、確率論の問題としては（数学者にとっては）成立していないのかもしれません。 いつだったかもう忘れましたが、眠り姫問題が月刊誌『数学セミナー』で紹介されていて、恐ろしいことに、回答未掲載だったことを思い出しました。 私にとって、いろいろ未解決な難問の眠り姫ですが、みなさんからのご助力により、新たな展望が開けたことに深く感謝しております。道半ばですが、この散歩道の風景は豊穣で彩りに満ちています。風を感じながらぶらぶら歩いていきたいと思います。
>>100を見てすっきりしました。私の考えは立場が混ざっていたのですね。
コインベースを貫くなら、C：「目覚めたとき、それが2日目である」よりはC'：「目覚めたときに2日目だと知らされる」のほうが適切ですね。 これなら、あれれさんの説明にも合点がいきます。
雑談です。 ベンフォードの法則について、セオドア・ヒル（以下、愛称のテッド）という数学者が、面白いことを証明しています。 世界にはベンフォードの法則を満たさない確率分布を満たすものがたくさんあります。 ①これらの分布から無作為にひとつの分布を選びます。 ②その分布から、ひとつの標本を選びます。（素人の私の目線では、それを紙にでも書きたいところですが） ③ ①②を多数回繰り返します。すると、おのおのの分布から選ばれた標本が多数個たまります。 ④ ③まででつくられた標本全体の分布では、ベンフォードの法則が成り立ちます。 凄い 互いに相異なるベンフォードの法則が成り立たない確率空間から、別の確率空間を作ったら、そこに立ち上がる測度には、ベンフォードの法則が成り立つ意味での（同様に確からしい）性質が産まれてきます。 凄い さて、このことにヒントを得て、コイントス確率空間、あるいは全く別物ですが、１/２派確率空間から、なんどもしつこく標本を採取して得られたものをひとまとめにした集団には、目覚め確率空間が立ち上がってくるのではと鉛筆を握りましたが、大失敗でした。無理。（笑） 以上、おバカな体験談を雑談として恥も外聞もなく書いてしまいます。
…… そうでしたか…… 眠り姫プロジェクトの設問には、次の問ｚを置いておけばよかったのでしょうか……後悔…… ◇問ｚ「さぁ、あなたは目覚めた。今日が二日目である確率は？その確率から計算されるバイト代の期待値は？」 え？１/２派の方々も１/３派の方々も困らないですって？ そうでしたね。【私は困りますが。】 とりあえず答ｚとして私が用意するのは《目覚め》確率空間で計算した１/３になります。バイト代は……。新しく確率空間をつくることに対して日和ました。
解答ではなく雑談ですが・・・
いや、今回の設問は良かったと思います。 結果的に、何が本質なのかを明らかにしないと議論が収束しなかったわけですし。 私は大陸では新しい方ですが、ここの常連さんで確率の問題が得意な方がみんなで議論して下さるという展開になりましたし・・・すごく刺激になりました。 さらに雑談というかひとりごとですが・・・ ポリシーが一切ぶれなかった（しかもちゃんと無矛盾の方針を最初から選んでいた）、たっくん４さんとあれれさんは、さすがすごい・・・と思いました。私は途中で鞍替えしたり色々しましたが。 あっちのスレで問題出して下さいと申したときは、こういう展開は予想してなかったですが、結果的に、私が何となく期待していたレベルをはるかに超える議論になり、スレ主自ら、確率空間の話を出して、議論を収束させる展開になり・・・ お見事でした＞s_hskzさん さらに雑談ですが・・・ ＞『数学セミナー』で紹介されていて、恐ろしいことに、回答未掲載だった そういうこともあるんですね。編集部でどういう議論になったのか（絶対何か議論したはず）気になります。知ることは叶わないかもしれませんが。 ＞ベルトランのパラドックス 本問とはやや状況が違いますが、連続的な確率分布を考える場合、分布の形を定義しておかないと、簡単に複数の答えができてしまいますね。 ＞《酔っぱらい鉄道》 私はいまでも、あちらの問題では１／２（こちらでのコイントス確率空間に相当）だと考えています。どちらの駅に着くかは、明らかに起きてから確定する事象なので。 こちらの問題でも、最後に１／２がかなり数学的に辻褄が合っていることが分かって・・・かろうじて１／３派といったところでしょうか、今は（てへぺろ） ＞え？１/２派の方々も１/３派の方々も困らないですって？ そうでしたね。【私は困りますが。】 （笑） ポリシーの一貫した方のご活躍（？）で盛り上がりましたね。
s_hskz
やはりこの手の問題は、皆さんに伺うのが一番勉強になると、改めて感じております。 このスレで一番得しているのは私です。有難いことです。
またまた雑談にて失礼いたします。 No.6で、たっくん４さんがおっしゃるに ===引用開始 この種の問題で、私の基本的な考え方は「ギャンブルだとしたときに期待値がゼロとなるようにオッズを切り、それから逆算して確率を算出する」 ===引用終了 とのことでした。 興味深いことでしたので書店に行きまして関連する書籍をあさりましたところ、《ゲーム論的確率論》について詳しい、以下の本をみつけました。 小島寛之著『確率を攻略する ギャンブルから未来を決める最新理論まで』（ブルーバックス）講談社。 《ゲーム論的確率論》は確率論の定式化としては、新しい流れのようです。コルモゴロフに始まる現代確率論や、その上で新しい展開をみせたベイジアンの流れとも異なる、確率の定義を置き換えるもののようでして。これは新しい考えです。実に面白そうです。読むにあたっての難易度は、理系高３の学力があれば充分のようです。 なかでも（個人的にはとても）ビックリしたのは、根元事象に確率をキッチリと割り振ってから論じるわけではないらしい……という点です。そんなバカな…なのであります。 いま、コイントスをして表か裏かの結果に賭けてバクチをうつことを考えます。この試行をn回繰り返すとしましょう。《ゲーム論的確率論》では次のことがらをも許容する理論です。すなわち、n→∞のときに、コイントスの結果における表が出る回数の試行回数に対する比が収束しなくても確率論の範囲で分析してしまうのです。1/2に収束するんでも、その他の０≦α≦１なるαに収束するのでもなく、収束しなくても検討してしまうのです。収束するのならその値を根元事象に割り当てて《なにをもって同様に確からしい》とするかを決定できますから、その他の複合事象の確率について考えることは、できそうな気がしますが……そんな今までの確率論とは違う根本から確率論を再構築してしまうのですね、《ゲーム論的確率論》は。 それゆえに、物理的な減耗のせいで、あるときには表が出やすく、しばらくすると裏がでやすく、そうかと思えば再び表が出やすく…となるような、表が出る頻度がいつまでたっても収束しないコインを使ってのバクチまで、確率論で捉えてしまいます。 ちなみに、そうした変なコインを使っての丁半バクチでは、絶対にスルことなく胴元を破産に追い込む必勝法があることが定理になっています。 注。よくある、マルチンゲールによる偽物必勝法ではありません。次々に倍プッシュをしていくタイプの。クイズ大陸の過去問にもこの話題がありました。 ※条件がありまして、いくらでも細かい単位で掛け金を賭けてもよいこと、何回でも賭け続ける時間があることが必要ですが… ●御参考 大金持ちになれる確率理論？ http://d.hatena.ne.jp/hiroyukikojima/20150726/
なんとなく収束の方向になってしまいましたね、少しさびしい
>>107 s_hskさん ＜◇問ｚ「さぁ、あなたは目覚めた。今日が二日目である確率は？その確率から計算されるバイト代の期待値は？」＞ この出題は、目覚め派へ誘導する質問ですね 前段は目覚め派解釈をとるべき文脈でしかないと思います。「その確率から計算される」と問題文で指定されてしまうと、後段の答えが5/3となってしまう。ただしそれは、コイン派への反証にはまったくなってないです。この問題に対するコイン派の正しい反論は「前段の確率を、問題全体の期待値へ反映させるのは間違い」だと思います。 いまになって白状しますが･･･今回のログでは、ワタシはたくさんポジショントークをとっていて、似たようなことをしています。申し訳ありませんでした。 「さぁ、あなたは目覚めた。さて質問です。」ではなくて、 （目覚めたときに） 「さて質問です」だったらまだ、 コイン派にもなりうる可能性がすごくあるのですが つくづくこうなると明らかに、数学の世界ではないですね
s_hskz
私も少々さびしい限りですが、なんとなくの流れになってまいりました。 さて《その確率から計算されるバイト代の期待値は？》の青文字部分には、私の立場からも質問そのものを拒否したい気持ちが湧いてきます。 私の認識では《コイントス確率空間》では、二日目の確率を答えるための根元事象を用意していません。《１/２派》確率空間では答えることができることでしょう。それが生活者の実感と結び付くかどうかは別ものなのかもしれませんが。私はバイト代を聞かれたら《コイントス確率空間》で答えようと思っておりますので問ｚには困惑してしまいます。
No.1の投稿で話題に致しましたフェアなコインつながりで、更に雑談です。 表が出る確率が一定のフェアではないコインを使って、確率１/２で表が出るフェアなコインの代行（エミュレート）が出来ることをNo.1で話題にしたのでした。 では、同様にして、１/(π+ｅ) の確率で表が出るコインの代行（エミュレート）はできるのでしょうか。人間技でなくとも天使が神の力を借りてならできる……としたらどのような補助手段を使って？（例によってｅは自然対数の底、πは円周率です） この強烈な問いをクイズ大陸に出題しようかと真剣に検討いたしました。あきらめました。没ネタです。たぶん世界中の確率パズル好きがみたことのないパズルだと思います。没ネタでは惜しいのでこちらに、いきなり解つきで書いてしまいます。 まず、補助手段として、１/(π+ｅ)の値を２進小数展開した数表を神様に用意してもらいます。数表は循環しない無限小数ですから神の知識の中でだけ実在するもので構いません。 次に天使は１/２で表が出るフェアなコインを用意します。（さきほどの代行で構いません。） このフェアなコインを使い、表が出るまでコイントスを繰り返して、ｎ回目にはじめて表が出たなら以後コイントスはしません。神様に尋ねて、１/(π+ｅ)のｎ桁目を見ます。１ならば表が出たことにし、０ならば裏がでたことにします。これで１/(π+ｅ) の確率で表が出るコインの代行ができます。 さあて強烈です。このアイデアはある人から教わったものです。 実際には、１/(π+ｅ) でなくとも、２進小数展開が計算可能な0から1までの任意の実数にて代行が可能とのことです。（その実数が有限桁で終わる場合には、たとえば１/２のときには、無限小数表記に切り替えます。１/２ならば、0.1ではなく0.01111111111111...のように。1=0.9999999...のアレです。） 間違っていたらごめんなさい。 この大陸の住人の皆様、とりわけ眠り姫プロジェクトにご参加の皆様にはすぐにこの没ネタの真偽のほどがおわかりになることでしょう。 雑談を終わります。 うあっ…あたらしいネタ思い付いた（正確には忘れていました。）
しばらくぶりです。
自分は1/2派なのか？ 1/3なのか？ それがごっちゃになった混乱者なのか？ どれでもないなにかなのか？ 自分はこの問題を国語的（言語解釈の）問題と捉えてるのか？数学的（確率の）と捉えてるのか？混乱者なのか？どれでもないのか？ ・・・こんな疑問が頭を駆け巡り考えも文章もまとまらずにROMってました。 結局、私は実験開始前の説明で下記の認識をし、この認識を持ったままインタビューを受けます。 ①「1,000名募集のバイトに応募して採用された」 ②「コイントスにより500名が赤、500名が青のチョーカーを付けられた」 ③「会場には毎日、常に1,500名の人がいるが、その日が二日目なら私より一日先にバイトを始めた青500名と合流しているだけ、三日目なら一日後にバイトを始めた赤500名、青500名と合流しているだけ」 それで設問のどのケースでも自分と別の日にバイト開始の合流者に意味合いを見出せずにいます。 間違っているのかもしれませんが、赤も青も被インタビュー二日（一回）目も三日（二回）目も10,000円も20,000円も1/2（500/1000）と認識して・・・ 問1～3、5～6 1/2 問4,7 15,000円 と回答します。 ただどこかしっくりこないなにかを感じているのも事実です。 （自覚してるのは”自分は「数学的（確率の）問題」と捉えたいのに「国語的（言語解釈の）問題」として扱ってしまってるんじゃないか？の疑念”） （結果的にでも）「哲学的（観念の）問題」と捉えてる自分でだけはあって欲しくないんですが、それすらも怪しいです 正直、ぜんぜんみなさんのレベルに付いていけてないんですが、理解・消化出来なくてもROMってて興味深いですし、面白いです。 また繰り返し読んでみようと思います。 そしていくつかは私も質問対象になっているものがあったと思います（問4（7?)を15,000円と答えた人に対する「バイト代を16,000円にしますか？」など）が答えておらずすいません ↓＆↓↓ s_hskzさん、Yssさん、フォローありがとうございます！
s_hskz
jさん、お久しぶりです。 答えをしていないことにそこまで悔やむ必要はありません。 げんに私はjさんのお考えからも大いにヒントを頂きました。 わいわいがやがや、時にはＲＯＭる、それでよいではありませんか。 確率ってめんどくさい、だけどそれだからこそ、謎に満ちていて不可思議さに惹かれる、この姿勢でよいと思うのです。 (^O^) 私も問われた問いに全て答えているわけでもありません。出題者・スレ主・行事役としてはオソマツ至極ですが、皆さんは寛容でいらっしゃるということに甘えております。クイズ大陸ではジェントルであれば大丈夫と思います。
ｊさん
＞そしていくつかは私も質問対象になっているものがあったと思います（問4（7?)を15,000円と答えた人に対する「バイト代を16,000円にしますか？」など）が答えておらずすいません あれは１／３派のポジショントークみたいなものなのでお気になさらずに バイト代の期待値を計算する際、実験が全て終わったあといくらもらったか（＝コイントス確率空間に戻ってから検証）で計算したら、間違いなく答えは１５０００円です。 コイントス確率空間では場合Ｂの二日目の目覚めと三日目の目覚めは、場合Ｂの中で、重複して起こる事象と考え、二回にカウントしないのが正しいです。 一方、夢の世界で、一瞬目覚めの瞬間に１６０００円と交換するかどうか、みたいな考え方をしたら（＝目覚め確率空間の中にいるうちに検証）、期待値は５／３万円になるんです。こちらの確率空間では、目覚めの一回ずつが独立した事象と考え、場合Ｂの二日目の目覚めと三日目の目覚めは、一回のコイントスの結果であるけれど、ふたつの別の事象とカウントするのが正しいです。するとバイト代２万円の重み付けが変わり、期待値が上にずれます。 しかも目覚めた瞬間に、１６０００円と交換するかどうか、というような検証方法なら、この期待値には実体があるというか、本当に５／３万円の価値になります。 同じ実験で、しかももらえるお金という、一見ぶれなさそうなものの期待値が、検証方法、値を確認する方法次第で二種類も存在するという・・・怖い話です。（設定をうまく考えたら投資詐欺に使えそうな話です） 私は（そっちの方が面白いので）１／３派に乗り換えて、このスレでは最後までそれで通しましたが、本当にそういうバイトがあって、手元にいくら入るか期待値を計算するとしたら（＝生活がかかっていたら、笑）、１５０００円と計算するでしょうね。←その場合、問い自体が、本問とは異なりますが。 でも、夢の世界で１６０００円と交換するチャンスがある、という話があったら、５／３万円と計算して「交換しない」と答えるでしょう。そう考えると５／３万円という期待値は、なんか儚いですね。まるで「お金を儲けた夢を見たけど、目覚めたら消えてしまった」みたいな感じです。 ↑ポジショントークを外して語るとこんな感じです。
書き込みが大量過ぎてよく読んでいなかったのですが、
読み直してようやく目覚め基準の意味が分かりました。 あなたは目覚めました。 ・この目覚めは場合Aの2日目の目覚めである ・この目覚めは場合Bの2日目の目覚めである ・この目覚めは場合Bの3日目の目覚めである という事象について考えるということですね。 確かにこれらの事象は排反です。 しかし、これらの事象が等確率で起こるというのは全く自明ではないと思います。 場合Aが1/3,場合Bが2/3の確率で起こるというような実験をした場合も 三つの目覚めは等価とみなすのでしょうか？ 一方、場合Aと場合Bが等確率で起こるということは自明です。 すべてはこれを基に計算するべきだと思います。
No.107 への自己レスです。問ｚが発生した場合に確率空間を作ることをサボっておりましたので、反省しました。 ◇問ｚ「さぁ、あなたは目覚めた。今日が二日目である確率は？その確率から計算されるバイト代の期待値は？」 根元事象として、以下の四つを考えます。 場合Ａ２日目 場合Ａ３日目 場合Ｂ２日目 場合Ｂ３日目 標本空間は以下のようになります。 ｛場合Ａ２日目，場合Ａ３日目，場合Ｂ２日目，場合Ｂ３日目｝ 事象"場合Ａ"を以下のように定義します。 ｛場合Ａ２日目，場合Ａ３日目｝ 事象"場合Ｂ"を以下のように定義します。 ｛場合Ｂ２日目，場合Ｂ３日目｝ 事象"２日目"を以下のように定義します。 ｛場合Ａ２日目，場合Ｂ２日目｝ 事象"３日目"を以下のように定義します。 ｛場合Ａ３日目，場合Ｂ３日目｝ 事象"目覚め"を以下のように定義します。 ｛場合Ａ２日目，場合Ｂ２日目，場合Ｂ３日目｝ 根元事象に確率を割り当てて、なにをもって《同様に確からしい》かについて決めます。全ての根元事象に１/４を与えます。（事象"場合Ａ"と事象"場合Ｂ"との確率が等しくなること、事象"２日目"と事象"３日目"との確率が等しくなることを目標におきました。） これで確率空間が出来ました。 ※根元事象である"場合Ａ３日目"は眠り姫の各設問にアラワには登場しませんが存在しているとみなします。 問ｚに答える準備ができました。 まず前半部分。 「さぁ、あなたは目覚めた。今日が二日目である確率は？」 ⇒事象"目覚め"(｛場合Ａ２日目，場合Ｂ２日目，場合Ｂ３日目｝)が発生している条件下での、事象"２日目"(｛場合Ａ２日目，場合Ｂ２日目｝)の確率は、２/３ 。自明。 次に後半部分。 「さぁ、あなたは目覚めた。今日が二日目である確率は？その確率から計算されるバイト代の期待値は？」 ⇒事象"目覚め"(｛場合Ａ２日目，場合Ｂ２日目，場合Ｂ３日目｝)が発生している条件下での、事象"２日目"、事象"３日目"の条件は、バイト代の期待値計算には使われません。問いが不適切とも思われますが形式的に続行します。バイト代の期待値は、事象"目覚め"が発生している条件下での、"場合Ａ"の確率に、そのときのバイト代１００００円を乗じたものと、事象"目覚め"が発生している条件下での、"場合Ｂ"の確率に、そのときのバイト代２００００円を乗じたものとの、和です。 事象"目覚め"(｛場合Ａ２日目，場合Ｂ２日目，場合Ｂ３日目｝)の条件下での事象"場合Ａ"の確率は１/３、事象"目覚め"(｛場合Ａ２日目，場合Ｂ２日目，場合Ｂ３日目｝)の条件下での事象"場合Ｂ"の確率は２/３、ここから、事象"目覚め"の条件下でのバイト代の期待値は、 １/３・１００００＋２/３・２００００＝５/３・１００００円。 ※事象"目覚め"の条件下でバイト代の期待値は、５/３・１００００円ですけれども、事象"目覚め"の条件を外せば、もちろん、"事象Ａ"の確率・１００００＋"事象Ｂ"の確率・２００００＝１５０００円です。 ……個人的には非常に気持ちが悪い結果になりました。 さて、私はここで振り返ります。これらは、いわゆる１/３派の計算によく似ています。この大元の理由は、【根元事象である"場合Ａ３日目"は眠り姫の各設問にアラワには登場しませんが存在しているとみなします。】にその起源を遡れそうです。 これらのことから、以下の標本空間の根元事象に確率を割り当てる際に、 ｛場合Ａ２日目，場合Ａ３日目，場合Ｂ２日目，場合Ｂ３日目｝ 場合Ａ２日目には１/２、場合Ｂ２日目，場合Ｂ３日目の両者には１/４とし、場合Ａ３日目には０を与えたくなる気持ちは実によくわかります。 ただ、そうした場合に気をつけなくてはいけないことがありまして、《さあ目覚めた、今日が２日目である確率は？》と聞かれたときに、３/４と答えざるを得なくなります。 これはこれで気持ち悪いと感じます。
No.115 あれれさん
＜しかし、これらの事象が等確率で起こるというのは全く自明ではないと思います。＞ もちろん、自明ではないです。今回の設問に限り、１：１：１になるというだけです。 「この目覚めが２日目である確率」 ＝2/3 「この目覚めが２日目である場合、Ａである確率」＝1/2 ご指摘の場合Aが1/3,場合Bが2/3の確率で起こるなら、 １：２：２ になりますね。 「この目覚めが２日目である確率」 ＝3/5 「この目覚めが２日目である場合、Ａである確率」＝1/3
1/3派の人は3つの目覚めが等確率だという仮定から出発しているのではないのですか？
自明ではない仮定をして異なる答えが出てきたら、 単に仮定が間違っているというだけのことだと思うのですが。
No.116 s_hskz さん
参照の論文で名づけられた「1/2派」は、数学的に間違えています。 「コイン基準」・「目覚め基準」は、それぞれの前提で数学的に正しいです。 質問によって、「コイン基準」と「目覚め基準」のどちらに立って答えるべきかが変わってきます。「コイン基準」≠ 「1/2派」。 そもそも｛場合Ａ２日目，場合Ａ３日目，場合Ｂ２日目，場合Ｂ３日目｝ を排反だと考えるのは、「目覚め基準」です。 このアプローチのままで「コイン基準」の計算を導くことは不可能です。 「コイン基準」で排反的な事象を並べ立てようとしたら、 ｛場合Ａ（＝Ａ２）、場合Ｂ（＝Ｂ２）（＝Ｂ３）｝の２分類が正解です。 ＜場合Ａ２日目には１/２、場合Ｂ２日目，場合Ｂ３日目の両者には１/４とし、場合Ａ３日目には０を与えたくなる＞ 「コイン基準」であれば、 場合Ａ２日目が１/２、場合Ｂ２日目も１/２，場合Ｂ３日目も１/２、になります。 「目覚め基準」であれば、 場合Ａ２日目が１/３、場合Ｂ２日目も１/３，場合Ｂ３日目も１/３、になります。 ＜３/４と答えざるを得なくなります。＞ 「アプローチがそもそも間違えているので、算出した数字に全く意味がない」です。 「1/2派」については、お考えから捨てさることを強くオススメします。
s_hskz
たっくん４さん、ご忠告を有り難うございました。私はもう、１/２派にも １/３派にも あれれさん派にも 戻れない体になりました。どうかご心配なきようにお願い申し上げます。テキトー派メンバーより。
No.118 あれれさん
３つの目覚めが等確率であることは、この設問のＡ：Ｂが１：１という設問のもとでは、自明だとお答えしています。決して仮定ではありません。 ＜異なる答えが出てきたら＞ 「質問が何を尋ねているか」の解釈が２つ以上成り立てば、それぞれの立場で正解が生じうることは当然です。ワタシはこの問題は「設問のあいまいさ」がポイントであると語っています。 >>58 この例の「世帯基準」「人間基準」をご参照ください。構造的には今回の設問の「コイン基準」「目覚め基準」に該当しています。 あれれさんは今回の設問を「コイン基準」のままで解く質問タイプであることが自明だとお考えのようですが、ワタシはそうは考えません。 「首にはめられたチョーカーの色が赤である確率は？」 「誰かが目覚めるたび、首にはめられたチョーカーの色を記録する。赤である確率は？」 であれば、前者が1/2,1/3であることはあれれさんも異論がないのではないかと考えます。 「目覚めた首にはめられたチョーカーの色が、赤である確率は？」 「目覚めたあなたの首にはめられたチョーカーの色が赤である確率は？」 は、上記ふたつの中間で揺らいで全くおかしくない質問であると考えています。
●話題提供 《主観的確率》っなんなのでしょう。《主観的確率》にもとづいた《期待値》ってなんなのでしょう。特に後者は実生活で役に立つのでしょうか。 === シーン【せ】 セ太郎『今年の日本シリーズは5/8の確率でスワローズが勝つよ』 アタル『ではスワローズが勝ったら社食の定食を２回おごりましょう。そのかわりホークスが勝ったら３回おごってください。』 セ太郎『期待値では俺に有利な賭けだな。よし、のった。』 === シーン【ぱ】 パ次郎『今年の日本シリーズは3/4の確率でホークスが勝つよ』 アタル『ではホークスが勝ったら社食の定食を２回おごりましょう。そのかわりスワローズが勝ったら３回おごってください。』 パ次郎『期待値では俺に有利な賭けだな。よし、のった。』 === シーン【あ】 こうして、日本シリーズでどちらが勝ったとしても、アタルはひとりの友人に食事を２回おごり、もうひとりの友人から３回おごってもらうことになりました。めでたしめでたし。 ===
>>120
> 「首にはめられたチョーカーの色が赤である確率は？」 > 「誰かが目覚めるたび、首にはめられたチョーカーの色を記録する。赤である確率は？」 >であれば、前者が1/2,（ここ「後者が」が入りますよね？）1/3であることはあれれさんも異論がないのではないかと考えます。 ここに同意します。 どの確率空間を採用するか、ということと、どのようにサンプリングするか（実験が終わった、最終的な目覚めのあと赤チョーカーだったか青チョーカーだったか確認するのか、それとも、各日の目覚めの度に確認して記録するのか、など）ということは、セットで考えないといけません。 赤チョーカーであることを、目覚めの度に確認して、頻度をつけるのであれば、 自分の首に赤チョーカーを見る確率は１／３であり、これは目覚め確率空間の話。 実験終了時点で、そもそもどっちのチョーカーを付けたのか確認するのであれば、 自分の首に赤チョーカーが付けられた確率は１／２であり、これはコイントス確率空間の話。 同様に、たっくん４さんの主張のように、目覚めた瞬間に「バイト代をある金額で買い取る」というような形で、しかも目覚めの度にその権利を行使することができる、といった設定であれば、 決済が目覚めの度に行われていて、この場合の期待値は、目覚め確率空間で計算すべき。 逆に、実験が全て終わって目覚めたあとに、バイト代はいくらだったのか確認するのであれば、 その場合のバイト代の期待値は、コイントス確率空間で計算すべき、となります。 数学的には、どちらも自己矛盾のない系だと思います。 では、どちらを選択すべきなのか、という話は・・・難しいですよね。各人のこだわりとか、文章の解釈の仕方に依存する気がします。 ちなみにここまで来て私は・・・ 問２ 目覚め確率空間 問３ どっちもアリ 問４ どっちもアリだが、「バイト代」を受け取ることを考えると「コイントス寄り」 問５ 目覚め確率空間 問６ どっちもアリ 問７ どっちもアリだが、問４と同じで「コイントス寄り」 という感じです。 だいぶ揺り戻しが・・・
No.121、No.122がらみです。眠り姫と絡めます。 アタル君は、ふたりの主観的確率の値の差につけこんで儲けました。眠り姫においてアタル君の立場にたてる人物がいます。インタビュアーです。インタビュアーは、主観的確率において異なる立場にたつ２人の被験者の間を取り持って小遣い稼ぎができるのかもしれません。又は、実験の主催者と被験者の間を取り持って小遣い稼ぎができるのかもしれません。 そんなことでいいのでしょうか。 Yssさんご指摘による、２つの世界の住人どうしでの１回の賭けが難しいという事実の回避策として、橋渡しの中間者の存在により、中間者と被験者の間の賭け、主催者と中間者ととの間の賭けで間接的にリンクする試みです。 正解はわかりません。 === 追伸。Yssさん、テキトー派へようこそ、いらっしゃいました。
皆さんの議論を見させていただきましたが、全然理解できない私の頭の悪さにため息しか出ないです…
私の回答は1/2ですが、『1/2派』ではないというのだけはわかりました。 まぁ、ただの直感だしな～（笑）
おっ自分が何者なのか分からない仲間発見
！主観的確率は自分と相手で持ってる情報（量）に差があるときに威力を発揮しそうだと言うのが第一感。 野球賭博で言うなら・・・例えばSBは実は柳田の怪我が重くて出場出来ないとして、それを自分は知ってて相手は知らなかったら・・・ 相手はSBの勝利確率を柳田込みで計算するけど、自分は抜きで計算出来るとか。 主観的確率って用語を数学的に捉えきれてなくて語感だけで判断しちゃってますかね・・・ ？
言われてみれば、語感で判断かもしれません。
（数学的に捉えられるほど頭はよくない…（笑）） 私の中では、主観的確率＝被験者個人（私自身）から見た確率で、場合A（赤）または場合B（青）だと断言できない場合、確率はいつでも1/2。 単純というか、何も考えてないというか…これが私の考えです
黒犬さん、jさん、主観的確率ってめんどくさいですよね。 どうも私にもサッパリです。先日私が投稿いたしました、日本シリーズで食事を賭ける話にしても、セ太郎とパ次郎は、ただの思い込みでスワローズとホークスの勝率をアバウトに願っているだけなのかもしれません。日本語のサガですが、「主観的」には「根拠の無い思い込み」の意味が含まれているようでして…… 数学・確率論で言うところの主観的確率って、そうした思い込み的な推定で構わないのかどうか不思議でなりません。 === 話題を変えます。 プロジェクト主催者がバイト代を支払う代わりに、《目覚める【都度】》被験者に一回だけバクチをしてもらう設定にしたらどうなるか、考えてみました。既に先行する投稿で論じられていることとそれほど意味に変わりはないのですが。 「さあ、あなたは目覚めた。もしもあなたが『場合Ａに賭ける』と言って、実際に場合Ａだったときには、あなたには３万円進呈しよう、場合Ｂだったときには、あなたは何も受け取れない。もしもあなたが『場合Ｂに賭ける』と言って、実際に場合Ｂだったときには、あなたには２万円進呈しよう、場合Ａだったときには、あなたは何も受け取れない。さあ、どちらに賭けますか。」 １/２派の人は場合Ａにだけ賭けることでしょう。１/３派の人たちは場合Ｂにだけ賭けることでしょう。 さて主催者側にとって、損の期待値の意味で相手にしたくないのは１/２派の人と１/３派の人とではどちらでしょう。私には、１/３派が儲ける、主催者困る、……気がします。 モンテカルロシミュレータでもすれば一撃でテストできそうですよね。
>>no.129 s_hskzさん
《目覚める【都度】》被験者に一回だけ＝赤の目覚めは2日目に1回だけ（バクチ1回）、青は2日目に1回、3日目に1回（バクチ2回）で合ってますか？合ってるなら・・・ 1/2派の場合。 場合Aに賭けた場合 赤＝1/2＝場合A +30,000*1回＝+30,000 青＝1/2＝場合B +0*2回 場合Bに賭けた場合 赤＝場合A＝1/2 +0*1回 青＝場合B＝1/2 +20,000*2回＝+40,000 Aの期待値 15,000円 Bの期待値 20,000円 1/3派の場合 Aに賭けた場合 場合A＝1/3 +30,000*1回 場合B＝2/3 +0*2回 Bに賭けた場合 場合A＝1/3 +0*1回 場合B＝2/3 +20,000*2回 Aの期待値 10,000円 Bの期待値 8/3万円 なので1/2派もBに賭けませんか？ で、主催者的には赤と青を1：1で雇っている（バクチ（目覚め）の回数1：2ですが）わけですから・・・ 全員Aに賭けたら一人当たり15,000円の支払い、Bに賭けたら20,000円の支払いじゃないでしょうか？ Bに賭けられたほうが支払いが多いのは事実ですが・・・
No.130 jさん === 《目覚める【都度】》被験者に一回だけ＝赤の目覚めは2日目に1回だけ（バクチ1回）、青は2日目に1回、3日目に1回（バクチ2回）で合ってますか？合ってるなら・・・ === はい、その設定です。1/2派の思考では、他に何も情報が与えられなければ、場合Ａの確率１/２、場合Ｂの確率１/２、です。同じ確率ならば、どっちに賭けても勝率が同じですから賞金の高いほうを選びます。場合Ａに三万、場合Ｂに二万ですから、場合Ａに賭けるべきことでしょう。 === 実際には……主催者サイドに、たっくん４さんがいらっしゃれば…… 【「さあ、あなたは目覚めた。もしもあなたが『場合Ａに賭ける』と言って、実際に場合Ａだったときには、あなたには３万円を進呈しよう、場合Ｂだったときには、あなたは何も受け取れない。もしもあなたが『場合Ｂに賭ける』と言って、実際に場合Ｂだったときには、あなたには一万５千円を進呈しよう、場合Ａだったときには、あなたは何も受け取れない。さあ、どちらに賭けますか。」】というシナリオにすることでしょう。バイト代に相応する賭けを構築するならばですが。
>>131
あれ？場合Aの確率1/2、B1/2ですがBは20,000円が二回なので40,000円の受け取りじゃないですか？場合Bは1/2の確率ですが「必ず」二回発生します。 ＝＝＝後の設定だと・・・ 1/2派はどっちに賭けても期待値15,000円、1/3派はAに賭けると期待値10,000でBに賭けると20,000円ですか！ 主催者視点だと・・・・赤青の人数比は1：1（目覚め（バクチ）の回数比は1：2ですが）なので全員がAに賭けても、全員がBに賭けても支払いは赤青二人一組で30,000だと思いますが。
No.131《目覚める【都度】》のバクチでして……明日は明日の風が吹くのです。 元の眠り姫プロジェクトではバイト期間終了後に精算のイメージですが、実質、日給一万円なのです。インタビューを受けたら都度一万円をもらえる仕組みですね。改造した設定では被験者は記憶をなくすほどに眠りますから１日ごとに、１日ぶんのバイト料換算でバクチをして頂きます。
>>132 ｊさんへ。h_hskzさんのご指摘は、
そういう設定にすると、人は１／３派（目覚め確率空間）で期待値を計算するようになるのでは？ という問いかけなわけです。 そして、ｊさんはすでに、目覚め確率空間での期待値計算をされましたね。 １／２の確率でＡかＢが起こり、Ｂの場合は賭けのチャンス２回がある、ということは、 ３通りの目覚め（＆賭け）が、同じ確率で起こる、という計算になっていまして、 これは１／３派の前提なわけです。 もう、ほとんど無自覚に、瞬時に１／３派になってしまったわけですよね（笑） h_hskzさんの思惑通り、ということでしょうか。 なお、No.130で１／３派の計算として書かれている計算は、違っていると思います。 （「１／２派」で書かれたものの方が、１／３派の計算です）
No.129 につづいて。
もうひとつのオッズです。 プロジェクト主催者がバイト代を支払う代わりに、《目覚める【都度】》被験者に一回だけバクチをしてもらう設定にしたらどうなるか、【再び】考えてみました。 「さあ、あなたは目覚めた。これからフェアなサイコロを１回ふる。もしもあなたが『奇数に賭ける』と言って、実際に出目が奇数だったときには、あなたには２万円進呈しよう、出目が偶数だったときには、あなたは何も受け取れない。もしもあなたが『偶数に賭ける』と言って、実際に出目が偶数だったときには、あなたには２万円進呈しよう、出目が奇数だったときには、あなたは何も受け取れない。さあ、どちらに賭けますか。」 ……目覚めた被験者にとって賭けがフィフティ・フィフティならば勝てば二万円、負ければゼロで、日給一万円のバイト代に相応することでしょう。 ところがNo.129ではそうなっていません。 何かが起きているのです。
>>131
ありゃ、いつの間にかワタシが主催者サイドになっている このオッズは非常にフェアなオッズですね。 フェアなオッズを切るヤツだと信じていただけてうれしいです しかしワタシだったら、同じフェアな対応でも、もう一ひねりしたくなります 。こんなのはどうでしょうか？ 賭け１：ＡＢどちらに賭けて当たった場合も２万円、外れたらゼロ 賭け２：Ａに賭けて当たった場合６万円、外れたらゼロ Ｂに賭けて当たった場合１万２千円、外れたらゼロ 主催者はあなたの状態（ＡかＢか）を知った上で、どちらかの賭けをあなたに提案します。主催者は十分に確率計算にもゲーム理論にも詳しく、主催者にとってリスクの最も小さい戦略をとることが判っているものとします。 さて、あなたは目覚めました。賢いあなたは、この目覚めが状態Ａである確率が1/3であることを知っています。 問１： あなたが提案されたのは、賭け２でした。 この目覚めであなたが状態Ａである確率は？ 問２： 主催者は悪魔のようにあなたの気持ちを読むことをあなたは知っています。 あなたはＡ，Ｂ，どちらに賭ける戦略をとるべきでしょうか？
No.136 についてアレコレ考えておりましたところ、いつのまにか脇道に逸れてしまい別な地点に到着、そこから見える風景に愕然としてしまいました。 今私が迷い混んだ場所が現実ならば、以下のことが言えます。 １/２派のみなさんと、あれれさん派のみなさんにとって、唯一の確率空間だけでもって、眠り姫プロジェクトにおける解釈と整合性がある解釈を、持ち得ない設定の問題を作れます。 何を言っているかわかりにくいですね。 「さああなたは目覚めた、場合Ａである確率は１/２か？」にイエスと答えるには、複数の確率空間を渡り歩かなければいけない、そんな眠り姫問題の変種があります。 なお、この新しい設定でも、テキトー派は…例によって困りませんし、１/３派も、困りません。 （次回に続きます）
一晩過ぎたら別の設定が……
裏眠り姫プロジェクトが実は進行中でした。裏眠り姫では以下のみが異なります。 場合Ａ■表が出た場合 一日めに眠らされたあなたにはいったん３階で眠らされる処置がとられ三日目に一階におろされ赤いチョーカーが首にはめられる。このチョーカーはあなたにはみえない。あなたは三日めに起こされ、インタビューされ、その後チョーカーをはずされ、帰宅を許され、バイト代10000円が振り込まれるのを待つ。 眠りは記憶を消すほど深いので、目覚めたときに二日めか三日めかはわからない。そのままの状態でインタビューされる。 また、インタビューにおいては、以下が変更されます。問５、６、７はインタビューされずに、問８、９、１０に差し替えられます。 ◇問８「さぁ、あなたは目覚めた。今のあなたの目覚めは初回であると知らされた。あなたの首にはめられたチョーカーの色が赤である確率は？」 ◇問９「さぁ、あなたは目覚めた。今のあなたの目覚めは初回であると知らされた。場合Ａである確率は？」 ◇問１０「さぁ、あなたは目覚めた。今のあなたの目覚めは初回であると知らされた。 あなたのバイト代の期待値は？」 === === この裏眠り姫プロジェクトにおける問題の確率論的構造は、元の眠り姫プロジェクトと全く変わらないので、どの派の皆さんも、その立場を変える必要はまったくないことかと存じます。 === === さて実は【真】眠り姫プロジェクトが立ち上がっていました。被験者は眠り姫プロジェクトと裏眠り姫プロジェクトの存在をあらかじめ知らされ、よく理解した後に実験に参加します。最初にフェアなコインでコイントスが行われる直前に、フェアなダイスの偶奇でもって、眠り姫プロジェクトに配属されるのか裏眠り姫プロジェクトに投入されるのかが密かに決定されます。また、インタビューの設問にあたっては、眠り姫プロジェクトでは問５から問７までが問い８から問１０までに差し替えられます。設問から、どちらの眠り姫になっているのかについてわからなくするためです。 === === この【真】眠り姫プロジェクトにおける問題の確率論的構造は、どうなってしまうのでしょうか。 長くなったので次の投稿にうつります。
【真】眠り姫プロジェクトにおいても、１/３派の皆さんは確率の解釈を変えることはないことでしょう。【仮に】「あなたは表眠り姫だ」と教えられても、「あなたは裏眠り姫だ」と教えられても同じように答えるはずですし、ダイスによって半々の確率で自分が表眠り姫でも裏眠り姫でもありえたとしても、確率の解釈は変わらないし答えも変わらないことと思われます。 === === １/２派の人々は次のように主張することでしょう。 表眠り姫の〔場合Ａ〕の私と、裏眠り姫の〔場合Ａ〕の私の存在確率は等しくなっている。それぞれ１/４だ。両者を加えれば〔場合Ａ〕の私の存在確率は１/２だ。また、表眠り姫の〔場合Ｂ〕の私と、裏眠り姫の〔場合Ｂ〕の私の存在確率はそれぞれ１/４だ。なんの問題もない。ダイスとコインとで、目覚めた私の存在確率の分布が決まる。 …… 考えても考えても両派の主張に一理あると思われ、根をあげております。 ちなみに問２のチョーカーの色については私は全然困っていません。赤である確率は１/３。自明です。問題は、チョーカーの色と場合Ａには１対１の結び付きでいいのかというところです。
話が煮詰まっているところに新参者がおじゃまして申し訳ありませんが、もともとの問題はこのように簡略化できないでしょうか？
【問題】箱が２つあって、一方の箱には赤のチョーカーがひとつだけ入っており、「二日目」と書かれた札がついている。もう一方の箱には青のチョーカーが２つ入っており、それぞれ「二日目」「三日目」という札がついている。箱のひとつをランダムに選び、選ばれた箱からさらにランダムにチョーカーをひとつ取り出したときどうなるか？ 本質的にもともとの問題と同じに思われますがどうでしょう？
s_hskz
けんぎさん、眠り姫プロジェクトにご参加を有り難うございます。 ＞本質的にもともとの問題と同じに思われますが ⇒ 「同じではない」と応じる方々が少なくないようです。以下、少々代弁してみます。 ＞箱のひとつをランダムに選び、選ばれた箱からさらにランダム 乱択を２回行なっていらっしゃいますが、眠り姫では、乱択は１回のみです。青チョーカーをつけられた被験者は、赤チョーカーをつけられた被験者に比べ２倍の回数で目覚めます。ご提示の、乱択を２回行なう設定では、１対２の目覚め回数の比が欠落してしまいます。場合Ｂの被験者が「二日目」のマークのついた青チョーカーをつけて目覚め、インタビューを受け、再び眠らされた後、「二日目」のマークのついた青チョーカーをはずされ、「三日目」のマークのついた青チョーカーをつけられて目覚め、インタビューを受け、「三日目」のマークのついた青チョーカーをはずされ、帰宅を許されたとしましょう。一度着脱したチョーカーは洗濯のために洗い物カゴに放り込まれます。場合Ａの被験者の赤チョーカー「二日目」も洗い物カゴに放り込まれます。眠り姫プロジェクトでは大勢の被験者が毎日長期間にわたり参加していますから、洗い物カゴにもチョーカーが溜まる一方でしょう。洗濯業者がときおりやってくるのですが…プロジェクトの中身を一切知らない私がもしもその業者であって、洗い物カゴからひとつだけチョーカーを取り出したとしたならば、その色が赤である確率は、概ね１/３だと考えると思います。 こうした事情がありますから、ご提示の乱択２回モデルは、ちょっと違うのかなあと思います。このモデルですと、洗濯業者が赤チョーカーを見る確率は１/２ほどになりそうな気がいたします。以上が代弁です。宜しく御願いいたします。
洗濯業者は単なる外部視線でしょう。この問題は被験者の主観の問題だと思います。今現在目覚めた被験者の主観にとって、仮にチョーカーが青だったとしても、その時点は「二日目」か「三日目」のどちらかひとつです。箱のたとえは、まさにそれを示したかったのです。別の考えをもうひとつ。目覚めの間隔が１日あるので、そこに何か実在感があるのですが、間隔が１時間であれば、何か問題が薄くなった感じがしないでしょうか。間隔を１分とし、起こされてすぐ眠らされ、またすぐ起こされるなら、それは単に起こされたのと実質どう違うのかわからないと思います。
けんぎさん。もしもよろしければ、問１～７までについてのお考えをお聞かせ頂けませんでしょうか。 どのような感覚でいらっしゃるのかについてご教示頂ければとと存じます。
…実はオリジナルの眠り姫問題にはチョーカーが存在しません。眠り姫プロジェクトで導入した理由のひとつには、洗濯カゴを使えば目覚めた私たちと実験者の間とでチョーカーの色についての確率を共有できる可能性があると見込んだのでした。 ところで、チョーカーがない、オリジナルの眠り姫問題では、フェアなコインをトスするタイミングを変更可能です。少し考えてみましょう。コイントスは一日目ではなく、二日目のインタビューが終わってからとします。 この後投げ設定で、【さあ、あなたは目覚めた。場合Ａである確率は？】という問いと、【さあ、あなたは目覚めた。今日は２日目だと聞かされた。場合Ａである確率は？】という問いについて、私たち目覚めた被験者はどのように答えるべきなのでしょうか。 《今日は２日目だと聞かされた。場合Ａとなる確率は？》にたいして、いわゆる1/3派の人たちは迷うことなく「1/2。ファイナルアンサー。」と答えることでしょう。 《今日は２日目だと聞かされた。場合Ａとなる確率は？》にたいして、いわゆる1/2派の人たちは、「2/3。」と答える人たちと「1/2。」と答える人たちとに分岐するかもしれません。後者の人たちは、「え？これからコイントスするのでしょう？表が出て場合Ａになる確率は1/2でしょう？」と思うことでしょう。前者の人々は次のように考えるはずです。「２日目だなんて教えられる前は場合Ａである確率は1/2。２日目とわかった以上、確率改訂が必要。2/3。(1/2)/(1/2+1/4)。」と考えることでしょう。
眠り姫プロジェクトに次に述べる隠し設定があったと考えてみていただけないでしょうか。 主催者・実験者たちのボスは、日々、フェアな下駄を右脚に履き、右脚を振り回し、下駄を宙に飛ばし、着地させます。このときに、この下駄の表が出る確率は1/2、裏が出る確率も1/2とします。 さて、ボスは下駄の表・裏によって全ての部下たちに指令を出します。 下駄が表の場合。被験者たちのうち２日目の者の首にはめる赤チョーカーには金の刺繍で小さな円を描いてあるものを使用、青チョーカーには銀の刺繍で小さな円を描いてあるものを使用、三日目の青チョーカーには同じ色の刺繍が施してあるものを継続使用します。 下駄が裏の場合。被験者たちのうち２日目の者の首にはめる赤チョーカーには銀の刺繍で小さな円を描いてあるものを使用、青チョーカーには金の刺繍で小さな円を描いてあるものを使用、三日目の青チョーカーには同じ色の刺繍が施してあるものを継続使用します。 以上の裏設定のルールはひどく簡単です。 さて、この裏設定についてを、被験者たちに一日目に知らせたとしましょう。そしてこう尋ねるのです。 《さあ、あなたは目覚めた。チョーカーの刺繍の色が金である確率は？》 1/2派のひとたちも1/3派のひとたちも、「1/2」と答えると思われます。 また、こう尋ねたらどうでしょう。 《さあ、あなたは目覚めた。今日は２日目である。チョーカーの刺繍の色が金である確率は？》 1/2派のひとたちも1/3派のひとたちも、「1/2」と答えると思われます。 チョーカーの刺繍の色に関する質問において《さあ、あなたは目覚めた》と云う情報や、《さあ、あなたは目覚めた。今日は２日目である。》と云う情報が、1/2派のひとたちにとっても1/3派のひとたちにとっても確率の改訂に寄与していないようにみえますし、両派の意見は数値的には一致すると思われてなりません。 コイントスによる表裏の情報と、下駄による表裏の情報との価値が違ってくることには、興味が惹かれますし、刺繍の色についての両派の意見が一致することにも興味が惹かれます。 きちんと理解したいと思っています。
私はこの問題を、「実験中の被験者が今目覚めた時の主観の立場」で答えようとしたのですが、このとらえ方そのものが、他の方とは違っているかもしれません。主観ですから、外部視線（客観）とは異なる答えになる可能性もあることは承知した上で、ということです。この解釈で回答するなら、そのモデルは先に述べた、赤１個の箱と青２個の箱のどちらかが選ばれ、青の箱の場合はさらにランダムに２個のうちどちらか一方が選ばれたとするものです。こうすると、問１は１／２、問２は１／２、問３は１／２、問４は１５０００、問５と問６は、青である場合の２個のうち１個が欠落したことによるベイズ改訂より、ともに２／３、問７は４００００／３となります。
けんぎさん、No.146 でのお返事をありがとうございます。 いわゆる1/2派に属する御解釈と存じます。1/2派も1/3派も、問5と問6において条件的確率の条件が変わったので計算しなおすという点では一致していますし、また、1/2派も1/3派も《目覚めた》ことを契機とする主観的確率・一人称的確率を重視していることに替わりはございません。両派の違いは、《なにをもってして、同様に確からしいとするか》の基準です。 また、他の解釈もございまして、問１から問７まで、1/2 15000円で答えきるという考えです。コイントスの確率だけに依拠し《目覚め》には価値を認めません。 私は上の３つの解釈とは一線を画しておりまして（ありがたいことに、この出題における皆さんのご意見を拝聴しているうちにこの立場に気がついたのですが）、第４の解釈を持っています。骨子は以下のふたつです。 １）互いに独立な確率空間がふたつある。問いごとに使い分けなければいけない。 ２）客観的確率と主観的確率との解離については、本問に限り、これを認めない。情報は全て第一日目に与えられていて《目覚め》による情報増加はない。その一方、「今日は２日目だ」という情報は、【チョーカーの色の確率には】変動を与える。これは単なる条件的確率計算であって、主観的確率・客観的確率の差異とは無関係。 以上、本スレッドにて現れた解釈を総ざらえしてみました。もしもよろしければご参考になさって頂ければと存じます。 この他、細かな論議もございました。たとえば、（主観の世界と客観の世界の両方に存在するインタビュアーを介在させるなどして）、被験者と実験者との間にてバクチをとりおこなえば、どの派の解釈が成り立つのかについて、確認が取れるという提案が1/3派からあがりました。 エトセトラ・エトセトラ…… なかなかに色々でございまして、私には良い勉強になっております。
ひとつだけ、いわゆる１／３派が見逃していると思われることを述べてみたいと思います。①場合Ａの二日目、②場合Ｂの二日目、③場合Ｂの三日目、の３つの可能性が等確率で生じる、というのは正しいのですが、それが生じたとき、①である確率が１／３というのが誤りです。それぞれの確率をｐとしたとき、②または③が生じる確率は、２ｐではなく、２ｐ－ｐ＊ｐです。よって、確率ｐの事態が実際に発生したとき、それが①である確率はｐ／（ｐ＋２ｐ－ｐ＊ｐ）＝１／（３－ｐ）です。ｐが小さいならば、ほぼ１／３ですが、ｐが大きいと、その違いは無視できません。ｐ＝１なら、１／２になります。その事態を「目覚め」とするなら、ｐ＝１と考えられます。
(゜▽゜*) α:"①場合Ａの二日目、②場合Ｂの二日目、③場合Ｂの三日目、の３つの可能性が等確率で生じる、というのは正しいのですが" Ω:"それが生じたとき、①である確率が１／３というのが誤りです。" === 「①場合Ａの二日目」、「②場合Ｂの二日目」、「③場合Ｂの三日目」で全事象を尽くしていて、３つの可能性が等確率で生じていることが、おっしゃる通りに《等確率》であるならば、①の確率は1/3です。 なにか記述のミスをなさいましたでしょうか。
s_hskz
「①場合Ａの二日目」、「②場合Ｂの二日目」、「③場合Ｂの三日目」で全事象を尽くしていないのであれば、それはそれでひとつの議論ではあります。《足りない》あるいは《過剰》…… こういう議論になるならば、私は、「それでは根元事象は何でしょう？」「何をもって同様に確からしいとなさっておいででしょうか？」と伺いたくなります。
似て否なる問題を作り、自分なりに答えを用意してみました。 === 【似て否なる問題】 一日めに、あなたに関して、ある実験が始められる。まず、あなたは眠らされる。そのあとフェアなコインが投げられ、表か裏かによって、次の二つの措置が選ばれる。 場合Ａ■表が出た場合 一日めに眠らされたあなたには赤いチョーカーが首にはめられる。このチョーカーはあなたにはみえない。あなたは二日めに一度起こされ、インタビューされ、また眠らされ、三日めに起こされ、インタビューされ、その後チョーカーをはずされ、帰宅を許され、バイト代10000円が振り込まれるのを待つ。眠りは記憶を消すほど深いので、目覚めたときに二日めか三日めかはわからない。そのままの状態でインタビューされる。 場合Ｂ■裏が出た場合 一日めに眠らされたあなたには青いチョーカーが首にはめられる。このチョーカーはあなたにはみえない。あなたは二日めに一度起こされ、インタビューされ、また眠らされ、三日めに起こされ、インタビューされ、その後チョーカーをはずされ、帰宅を許され、バイト代20000円が振り込まれるのを待つ。眠りは記憶を消すほど深いので、目覚めたときに二日めか三日めかはわからない。そのままの状態でインタビューされる。 場合Ａ場合Ｂのいずれの場合もあなたは、実験の手続きについてはすべて事前にわかっている。目覚めたときに自分が二日めにいるか三日めにいるか、そしてコインは表だったのか裏だったのかがわからないだけである。 ちなみに、コイン投げがなされるタイミングについては、あなたが最初に起こされる前である。 さて、あなたへのインタビューは次のようなものである。 ◇問１「今は第１日め、実験開始の直前である。場合Ａである確率は？」 ◆私の答え 1/2 ◇問２「さぁ、あなたは目覚めた。今日は場合Ａの二日目か、場合Ｂの二日目か、場合Ｂの三日目かのどれかであると聞かされた。 あなたの首にはめられたチョーカーの色が赤である確率は？」 ◆私の答え 1/3 (条件的確率の基本) ◇問３「さぁ、あなたは目覚めた。今日は場合Ａの二日目か、場合Ｂの二日目か、場合Ｂの三日目かのどれかであると聞かされた。場合Ａである確率は？」 ◆私の答え 1/3 (条件的確率の基本) ◇問４「さぁ、あなたは目覚めた。今日は場合Ａの二日目か、場合Ｂの二日目か、場合Ｂの三日目かのどれかであると聞かされた。あなたのバイト代の期待値は？」 ◆私の答え 1/3の確率で場合Ａであり、このときにはバイト代は10000円、2/3の確率で場合Ｂであり、このときにはバイト代は20000円、だから、バイト代の期待値は、50000/3円 ◇問５「さぁ、あなたは目覚めた。今は二日めであると知らされた。あなたの首にはめられたチョーカーの色が赤である確率は？」 ◆私の答え 1/2 ◇問６「さぁ、あなたは目覚めた。今は二日めであると知らされた。場合Ａである確率は？」 ◆私の答え 1/2 ◇問７「さぁ、あなたは目覚めた。今は二日めであると知らされた。 あなたのバイト代の期待値は？」 ◆私の答え 15000円 === 上記は、1/2派の方々に1/3派の方々の気分を味わって頂くために作成しました。 問２と問３とで1/3と答えないような1/2派の方々はいないと思いまして。条件的確率の基本であり、産業界、経済界で当たり前のように使われています。 === この、眠り姫問題とは似て否なる問題について、私の答えは、眠り姫問題についての1/3派の答えと綺麗に対応しています。 ですが、似て否なる問題の確率空間は、眠り姫問題について1/3派により与えられる確率空間とは異なる、というのが私の見方です。 異常な確率空間を設定せざるを得ない、そんな眠り姫問題は矛盾を内包しており、場合Ａと赤いチョーカーとが、分離してしまうのです。
（似て否なるほうではなく）眠り姫問題の異常性は、私の見地によれば、以下の問いに集約されます。 ◇問α「今は第１日め、実験開始の直前である。場合Ａである確率は？ また、次にあなたが目覚めたときに場合Ａである確率は？ 両者の確率が等しくないとすればそれはなぜか？」 ◇問β「さああなたは目覚めた。今は第２日めである。場合Ａである確率は？ 第１日目に場合Ａである確率が1/2としたあなたにとって、もしも第２日めの場合Ａである確率が等しくないとすれば、それはなぜか？」 私は、眠り姫問題にはふたつの確率空間が設定されていることに気がつくべきだと考えます。赤チョーカーである確率を計算するには、各目覚めを同様に確からしいとして処理する確率空間を用意すべきでしょう。場合Ａである確率を計算するには、コイントスの表裏を同様に確からしいとして処理する確率空間を用意すべきでしょう。 眠り姫のケースで、更にいろいろと変種の問いを作った場合、問われる内容については、多くの場合、各目覚めを同様に確からしいとして処理する確率空間を使ったほうが実際的でしょう。 問αを問われたら私は躊躇なく、ふたつの確率空間を明示し、コイントスを基準とすればホゲホゲ、目覚めを基準とすればフガフガと答えたいところです。
「似て否なる問題」、「問α」は素晴らしいですね。「問α」に対し、等しくない理由など説明できない（Ｉ ｃａｎ ｎｏｔ）から、等しい、とするのが私を含め１／２派の立場だと思います。「できない」だけなのです。また、「似て否なる問題」をさらに一歩進めると（進めていいかどうかは別として）、明確な解が得られるかもしれません。思い切って、４つのケースを「実在」と見なすのです。４つのケースから、場合Ａの三日目のケースを除外して最初から３つにしてしまうと、この３つに対称性がないので、この３つが等価であることを示すのは困難です（というか、前に少し書きましたが、等価ではないことは示せると思っています）。ケースが４つあれば、場合Ａと場合Ｂが対称、二日目と三日目が対称なので、４つは等価といえます。そして場合Ａの三日目に当たった場合は、「目覚めない」のです。「当たる」とは何か、の説明はもちろんできませんが、とりあえず外部視線で三日目に眠っている被験者を想像することはできます。実験前、「目覚めなかった」可能性が１／４あったので、「目覚めた」場合は場合Ａの確率が変化し、問αへの答えになります。この１／４を、残り３つのケースに均等割すれば、解答完成。もちろんこんなことが認められるどうかは別です。
s_hskz
＞前に少し書きましたが、等価ではないことは示せると思っています）。 詳しくお願いいたします。今のところ腑に落ちませんのでして、申し訳ありません。 また、問βの段階で、『等価ではない』こてが効いてきてしまいかねないと存じますがいかがでしょうか。
お、久しぶりに見てみたら、けんぎさんの参加でまた書き込みが
確かこの議論は、 場合Ａで二日目、場合Ｂで二日目、場合Ｂで三日目、を等価に扱う、 目覚め確率空間で考える、１／３派（Ｔ派） と、 場合Ａ、場合Ｂ、を等価に扱い、 「今日は何日目です」という情報は、コイントスによる事象が限定されるかどうかの判定にのみ使う、 コイントス確率空間の、（私が勝手に名付けました）Ｏ派 が、 それぞれ無矛盾な体系を作っている、 で、決着がついたのではありませんでしたっけ？ あとは、問題によってどちらの確率空間を採用するか日和見する「イイカゲン派（by s_hskzさん）」もあるよね、という話。 文献にもあった「１／２派」は、場合Ｂの二日目、三日目目覚めにそれぞれ、１／４、１／４という確率を当てていますが、これはおそらく、間違いで（たっくん４さんもNo.100で参考文献が「混乱しているような」と書かれています）、この計算をして出てくる、問７の４／３万円というのは、どう実験を組んでも実現することのない期待値だと思います。 この問題で、ひとつ分かりにくい点は、まるでＯ派が、主観確率を考えていないように見えてしまうことです。（実際はそんなことない）私がNo.92-95で指摘した点に、あれれさんもNo.97で同意されていますが、 もしも場合Ａ、Ｂ、Ｃがあって、最初に確率１／３ずつで割り振り、「今日は三日目である」と知ったら、場合ＢまたはＣであることが分かるような実験系があったら（この設定はNo.92で書きました）、実験中の目覚めで得た情報を考慮に入れ、主観確率を計算し、場合Ｂと場合Ｃが１／２ずつの確率であると考えるわけです。情報を得る前はＡ、Ｂ、Ｃが１／３ずつだったのを改訂した。 この点、その時点でs_hskzさんも、No.93へのレスで「コイントス確率空間で処理すべき設問だろうと判断すれば、目覚めの有無はいっさい関わってこないのです。」と書かれていますが（いまでもそのお考えでしょうか？）、 私は、主観的な確率を考えない計算結果と、正しく主観確率を計算した（但しコイントス確率空間で）計算結果が、たまたま一致しただけだと考えています。 だから、No.92からの設問を考えてみたわけなのですが、Ｏ派は、 場合Ａ、場合Ｂ、を等価に扱い、 「今日は何日目です」という情報は、コイントスによる事象が限定されるかどうかの判定にのみ使う、 というルールなのだと考えています。 ということではありませんでしたっけ？ 久しぶりに議論に参加してみた
Yssさん、私の解釈についての綺麗なまとめを有難う御座いました。 ＞No.93へのレスで「コイントス確率空間で処理すべき設問だろうと判断すれば、目覚めの有無はいっさい関わってこないのです。」と書かれていますが（いまでもそのお考えでしょうか？） はい。テキトー派の私はそのように考えております。ところが、あのあとに、私の中では、テキトー派原理主義者が勢力をのばしつつありまして。穏健派と、しのぎをけずりあっております。 テキトー派原理主義者の言い分は以下の通りです。 ・目覚め基準の確率空間で処理をするときめたときには、チョーカーの色についての確率は計算できる。しかし場合Ａかどうかについて確率を申し立てることをしてはいけない。なんとならば、それは別の確率空間の根元事象だから。（ふたつの確率空間が矛盾せずに同居可能な確率問題は多数あり、その場合にはこんなことは言わない。たとえば先日投稿したばかりの似て非なる問題では矛盾がおきないからオーケー） ・コイントス基準の確率空間で処理をするときめたときには、場合Ａかどうかについての確率は計算できる。しかしチョーカーの色についての確率を申し立てることをしてはいけない。なんとならば、それは別の確率空間の根元事象だから。（実際に苦しいことに。場合Ｂの二日目の目覚めの確率が1/4だと主張するにはトリッキーな仮定を必要。） 私のなかでは、あれこれ原理主義者がやかましく、穏健派は困っております。(^ω^) 追記：過激派がメガホンをもってがなりたてつつ言うことには ひとつの確率空間だけで処理できる問題ならば、その確率空間にそなわる根元事象にたいして、いかなる確率を割り当てても数学的にはかまわない、これはベルトランのパラドックス（本当はパラドックスではありませんが）で、明らかになっています。1/2派だろうと1/3派だろうと数学的に正しいのでしょう、もしも眠り姫プロジェクトが〈ひとつの確率空間だけで処理できる問題〉だったならば。
Yssさんがおっしゃるに ＞私は、主観的な確率を考えない計算結果と、正しく主観確率を計算した（但しコイントス確率空間で）計算結果が、たまたま一致しただけだと考えています。 私はこういうときに、たまたまなのかどうか考え込んでしまいます。 一致するということは、情報の追加や逸失がないからだ、と考えたほうがわかりやすい気がいたしますので。
そういえば、ベルトランのパラドックスは面倒くさい内容なので、美味しいところ（【何をもって同様に確からしい】とするかについて複数の解釈がある）がある、数え上げるだけですむ問題を探しておりましたところ、先日、海外サイトで出くわしました。 === ある金持ちが新築の自宅の居間に絵画の額縁を６枚かざるスペースをもうけました。以下。 □ □ □ □□□ 金持ちは画家をやとい、６枚の絵を描いてそれぞれ額縁にはめるように言いました。条件はたったひとつで、それ以外は画家の裁量にまかせ、好きなように描いてよいというものでした。 ◆条件 Ｌ字型のスペースのうち縦にならぶ４枚のうちどれか１枚には必ず風景画があること、そしてまた、横に並ぶ３枚のうちどれか１枚には必ず風景画があること。 〈問〉Ｌ字型の角にあたる１枚が風景画である確率を求めよ。 === なんというアバウトな！ この問題は答えなしで出題され、読者がチャレンジし、しばらくしてから出題者により解説がまとめられました。 読者の反応は、概ね、２派にわかれました。 第一の派は、６枚の絵のそれぞれにおいて、風景画の描かれる確率は1/2とし、2^6=64通りのうち金持ちによる条件を満たさないものを排除し、角に風景画があるケースを数え上げるものでした。 第二の派は、画家が何枚の風景画を描くか、１枚から６枚までの確率を等しいとし、おのおのの枚数において、金持ちによる条件を満たさないものを排除し、角に風景画があるケースを数え上げ、最後に、１枚のときの確率、２枚のときの確率、など、枚数ごとの確率を平均化するものでした。 ２派が算出した確率は異なりました。〈何をもってして同様に確からしいとするか〉について異なれば確率の値は異なりますが、どちらかが数学的に間違いだ、というわけにはいかない問題として、ベルトランのパラドックス同様に面白い問題です。
相変わらず私は、あれこれと設定を微妙に変更した場合についての各派の模範解答を模索しております。 ちょっとつまずきましたのでご教示を賜りたく、宜しくお願い申し上げます。特に１/３派の皆様、お知恵を拝借いたしたく……以下です。 元の眠り姫プロジェクトにおいて、フェアなコインを二種類用意します。10円玉と5円玉とします。被験者には以下を伝えます。 《実験者サイドは10円玉と5円玉のどちらか一方を1/2の確率でランダムに選び、それをコイントスし、表が出たら場合Ａ、裏が出たら場合Ｂに振り分けます。振り分けに使われなかったコインもトスしておきます。 インタビュアーによる問を追加します。 問亀。さああなたは目覚めた。10円玉が表であった確率は？ 問虎。さああなたは目覚めた。5円玉が表であった確率は？ 問雀。さああなたは目覚めた。場合Ａと場合Ｂの振り分けに使われたのは10円玉であると知らされた。 5円玉が表であった確率は？ 問竜。さああなたは目覚めた。場合Ａと場合Ｂの振り分けに使われたのは10円玉であると知らされた。 10円玉が表であった確率は？ この四神の問い、１/３派の精神をわかっていたはずの私にはよくわからないのです。
コインの枚数を１万枚くらいにすると、場合の振り分けに使われたかどうか不明な、特定の一枚が表である確率は１/２にかなり近いのかなあ……？ その特定のコインの表裏とチョーカーの色とは概念が異なるのかも。
目覚め基準で回答しますね。
問亀。さああなたは目覚めた。10円玉が表であった確率は？ ⇒ 7/12 問虎。さああなたは目覚めた。5円玉が表であった確率は？ ⇒ 7/12 問雀。さああなたは目覚めた。場合Ａと場合Ｂの振り分けに使われたのは10円玉であると知らされた。5円玉が表であった確率は？ ⇒1/2 問竜。さああなたは目覚めた。場合Ａと場合Ｂの振り分けに使われたのは10円玉であると知らされた。10円玉が表であった確率は？ ⇒ 2/3 使われていれば2/3、いなければ1/2。その確率が半々なので、算術平均が答えです。 全部書き出しても解けます。 10円玉-５円玉の順に、 ●：使われた表 ○使われなかった表 ■使われた裏、□使われなかった裏 Ａ１ ●○、●□、○●、□● の４通り Ａ２ ●○、●□、○●、□● の４通り Ｂ１ ■○、■□、○■、□■ の４通り １０円玉５円玉共に、１２通りのうち、○●が７通りです。
たっくん４さん、早速の御検討をまことに有り難うございます。 手元の表の間違いをみつけました。助かりました。 ひとつ質問をさせて下さい。 五円玉の表裏の分布・事象と、十円玉の表裏の分布・事象とは、独立だと考えられます。 引用（Wikipedia） "2つの事象が独立といった場合は、片方の事象が起きたことが分かっても、もう片方の事象の起きる確率が変化しないことを意味する。2つの確率変数が独立といった場合は、片方の変数の値が分かっても、もう片方の変数の分布が変化しないことを意味する。" 四神の問いと、上の引用からは、五円玉と十円玉とは独立ではないように見えてきました。（私が基本事項について誤解しているだけなのかもしれませんが…） 悩んでおります。
No.160の、たっくん４さんの計算に、基本的に同意します。
（但し、場合A、場合Bの振り分けが設問と逆になっていますが・・・読み替えれば・・・同意します） 正しく書き直すと、目覚め基準での全事象は以下の通りでしょう。 Ａ２ ●○、●□、○●、□● の４通り （場合Ａの二日目なのでＡ２としました） Ｂ２ ■○、■□、○■、□■ の４通り Ｂ３ ■○、■□、○■、□■ の４通り コイントス基準で考えれば、五円玉と十円玉の表裏は独立で、問題ないと思います。 全事象は、コイントス基準で考えると、 ●○、●□、■○、■□、 （五円玉が採用された） ○●、○■、□●、□■、 （十円玉が採用された） の８通りで、この限りにおいては五円玉と十円玉の表裏は独立なのですが、 目覚め基準で考えたときには、 五円玉が採用された場合のうち、 五円玉が表であったときは目覚めが一回で、 五円玉が裏であったときは目覚めが二回ある関係で、 五円玉が表であるとき、十円玉が表である確率 ２／５ 五円玉が表であるとき、十円玉が裏である確率 ３／５ 五円玉が裏であるとき、十円玉が表である確率 ３／７ 五円玉が裏であるとき、十円玉が裏である確率 ４／７ と、明らかに独立ではありません。（上の表から数え上げました）
Yssさん、綺麗なまとめをまことにありがとうございます。 うう…またしても場合ＡとＢとを間違えた私です。昔からの癖なのです。ああ！！
No.158 - No.162 までを 折に触れ思い出しては考えているのですが、いわゆる１/３派の立場にたつと、『独立事象』の定義に抵触するような気が致しましてしかたがありません。 １/２派の立場にたっても安心できない気がいたします。【今日が二日目だと知らされた場合の確率改訂】の時点で……ちょっと個人的には混迷を深めております。
お久しぶりです。
最近この問題を考え直してみて、やはり1/3派は間違っていると思いました。 この問題(の問2、問3)は次の問題と本質的に同じことだと思います。 等しい確率で白い玉1個、または赤い玉2個、を箱の中に入れます。 その箱の中から無作為に1個を取り出したとき、それが白い玉である確率は？ 白い玉が場合A、赤い玉が場合B、玉を取り出すことが目覚めです。 この確率が1/2でないという人はいらっしゃいますでしょうか？ 白い玉1個と赤い玉2個をすべて箱の中に入れて、 無作為に1個を取り出したときに白い球が選ばれる確率は？ と考えているのが1/3派だと思います。 |
広告
広告
広告
広告
広告
広告
広告
広告
広告
広告
広告
広告
広告
広告
広告
広告
広告
広告
広告
広告
広告
広告
広告
広告
広告
広告
広告
広告
広告
広告
広告
広告
クイズ大陸関連書籍
問題へジャンプ