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ヒント知らないよ
このクイズの参加者（2人）
算数・数学クイズ
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 どんだけ組み合わせる気だ(>_<)
難易度：★★★★
 ぼやき餅
2015/10/10 13:06
問 自然数 k に対し、
a＋b＋c＋d＝k を満たす0以上25以下の整数の組(a,b,c,d) のすべてについて、 25Ca×25Cb×25Cc×25Cd を計算して足し合わせたものを Sk とおく。 例えば、S1＝25＋25＋25＋25＝100 である。 (1) Sk を k で表せ。 (2) N＝Σ[k＝1〜100]Skとおく。 N は30桁以上であることを示せ。 (log102＝0.3010 を用いてよい) (参考 数学オリンピック) 難しいのでヒントも用意  大ヒント(反転) 区別された100個のボールが、4つの箱 A,B,C,D に25個ずつ入っている。 Aからa個、Bからb個、Cからc個、Dからd個のボールを取り出すとき、 取り出し方の総数は、25Ca×25Cb×25Cc×25Cd 通り。 ※問題文赤字部分は修正箇所です。
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回答募集は終了しました。
ぼやき餅
残念ながら異なります
 挑戦していただきありがとうございます。 
(ぼやき餅のぼやき)
問題文に示されてる S1 についてちょっと考えてみましょうか  まず k＝1 なので、これを満たす組が、 (a,b,c,d)＝(1,0,0,0)、(0,1,0,0)、(0,0,1,0)、(0,0,0,1) の4つ。 25C0＝1 であることに注意して S1 を求めると、 S1＝25×13＋25×13＋25×13＋25×13＝100 ところで、k＝1 を満たす組(a,b,c,d) の1つ1つについて 与えられた組み合わせの積を計算し、その総和をとるという行為は何を表すのでしょう? 
ぼやき餅
(1)正解です!!
 ヒントを出しておいてよかった 
ヒミツ
ヒントとNo.2がなければムリでした ぼやき餅さんありがとう
 あれ？一桁違ってしまいました...間違ってたらすみません  
ぼやき餅
すいません、私が1桁間違っていました
 (1)の正解者は爺ちゃんファイブさんだけなので、 大して影響はないと思いますが。 ところで、囁きはほとんど正解ですが、Nの値が微妙に違います。
ぼやき餅
いえ、異なっていたのは
(先ほどの囁きで)1行目ではなく3行目の方でですね 証明にほとんど影響はないのですが、気になってしまい 
(1)の答 100Ｃk 考え方：要するに、「4つのクラスに生徒が25人ずついます。全生徒の中からk人を選ぶ組み合わせは？」という問題を、「どのクラスから何人選ばれたか」の組み合わせ別に丁寧に数え上げた場合の解が Skですよね。 最初から解だけが必要ならば、そんなことをしなくても、100Ｃk で終了！
ヒントを見ずに(1)に挑戦。いつものワタシらしく、全く数学的な記述になってませんが許してください
ぼやき餅
その通りです
ヒントなしとはおみそれしました 
要するに N＝Σ[k＝1〜100]Sk が意味するのは、100人の生徒を選ぶ全ての組み合わせ-1（０人を選ぶ組み合わせが欠けているから）。
N=2^100-1。 2^10-1＝1023 > 10＾3であるから、 N= 2^100-1 > 10＾30 、31桁以上の数である。
(2)みたいな問題は不得手なんですが、これならなんとかなりそう
これも今一歩数学的な記述になってませんが 
ぼやき餅
正解です
 追記 常用対数使ってないので感服メダルにします
マズイ…だいぶ考えたのに自分の間違い箇所がわからない…
二項展開の行でしょうか？ 私がクイズ大陸に初めて知ったのは、ぼやき餅さんの問題でした 確か、今年の６月くらいです。あの複素単位円を８等分する問題です そのため、なにか(勝手に)親しみを感じております
ぼやき餅
なんと説明すればよいか
Σ[k＝1〜100]Sk の二項係数による表記は合っていたのですが(No.4のコメ)、 その後の N の値に関する記述が惜しいというか (ちなみに証明に大きな影響はありません) 爺ちゃんファイブさんのコメントを見て、私が最初にクイズ大陸を知った問題は数学の問題だったなぁと思い出しました。 これからもマイペースに問題を作っていくので、時間に余裕があるときはお付き合いください
N = _{100}C_1 + _{100}C_2 + _{100}C_3 + ... _{100}C_{100}
一方、(a+b)^100を展開すると (a+b)^100 = _{100}C_0 a^100 + _{100}C_1 a^{99}b + _{100}C_2 a^{98}b^2 + ...+ _{100}C_{100} b^100 となり、初項（_{100}C_0 a^100）が足りないだけでa=b=1のときの値と一致する（←このへんは懐かしいテクニックです...使うのはいったい何年ぶりでしょう)。 よって、求めるシグマの値は2^100から1(つまり_{100}C_0)だけ引いたものに等しくなる。両辺の常用対数をとって log_{10}N = 100 log_{10}2 = 100×0.3010 = 30.10 となるので N = 10^{30.10} > 10^{30}. これはゼロが３０個つく、31桁台の数となる。このような数からたとえ1を引いたとしても、最悪でも30桁の桁数は確保できる。従って与式のNは少なくとも３０桁以上の数である。
間違った箇所がわかったような気がしますので、再回答いたします いろいろありがとうございました
ぼやき餅
正解です
ぼやき餅
別に消去しなくても構わないと(私は)思います
あくまでも「クイズ」なので、問題文以外からも解答の糸口が掴める程度の緩さはあってもいいかなと。
(ぼやきという名のヒント2)
S1 を、問題文のヒントと組み合わせて考えてみます 以下反転↓ (a,b,c,d)＝(1,0,0,0)、(0,1,0,0)、(0,0,1,0)、(0,0,0,1) の4組にヒントを適用すると、 (1,0,0,0)→箱Aだけからボールを1個取り出す。取り出し方は25通り。 (0,1,0,0)→箱Bだけからボールを1個取り出す。取り出し方は25通り。 (0,0,1,0)→箱Cだけからボールを1個取り出す。取り出し方は25通り。 (0,0,0,1)→箱Dだけからボールを1個取り出す。取り出し方は25通り。 以上4つの取り出し方をすべて足すと100通り。これがS1 です。 S2でも同様な考察が可能です。ちなみに、S2＝4950
はい、解答公開しました。
解説を書くのは少々時間がかかるので止めておきます。申し訳ありません  ただ、コメント募集の時間を長めにとるので、 どうしても分からない！！解説欲しい  という方がおられましたら、遠慮なくコメントをください。 |
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