ヒミツ

　
x^2 + 2( P_2 - P_3 )x + 3/4 - P_4 - P_6 + P_8 = 0
の実数解の有無について調べる前に確率を考慮して方程式を整理することにします。

1, 2, 3, 4, 5, 6 をランダムに並び替えた６桁の数を A, B とします。 よく知られた事実により、各桁の和が 3 の倍数となる自然数は 3 の倍数です。 ゆえに、 A, B ともに 3 の倍数です。すると、 (A - B) もまた、 3 の倍数です。これよりただちに、

P_3 = 1

とわかります。
A が 奇数である確率は 下一桁で決まりますから、 1/2 です。A が 偶数である確率も 1/2 です。 B についても全く同様です。 A と B とが、ともに奇数、ないし、ともに偶数のときに、 (A - B) は偶数です。このことからただちに、

P_2 = (1/2)*(1/2) + (1/2)*(1/2) = 1/2

とわかります。

(A - B) が 6 の倍数である確率は、 P_2 * P_3 ですから、

P_6 = 1/2 * 1 = 1/2

とわかります。

ここまでで P_2 P_3 P_6 について得られた値を所与の二次方程式に代入して整理します。すると、

x^2 - x + 1/4 - P_4 + P_8 = 0

が得られます。
この方程式が実数解を持つかどうかについての判別式を D とすると、

D = (-1)^2 - 4*( 1/4 - P_4 + P_8 ) = 4*( P_4 - P_8 )

となります。 ここで、 8 が 4 の倍数であることに注意すれば、 (A-B) が 8 の倍数になる事象は、 (A-B) が 4 の倍数になる事象に含まれていることに気が付きます。 すなわち、以下が言えます。

P_4 > P_8

従いまして、

D = 4*( P_4 - P_8 ) > 0

がわかりました。即ち、所与の二次方程式には、実数解があることになります。


※ P_4 と P_8 についての最後のくだりは、こんな説明でもよいのでしょうか。

P[2]=1/2
(偶,偶または奇,奇)
P[3]=1
(1+2+3+4+5+6=21)
P[6]=1/2
(P[2]∧P[3])
P[4]≧P[8]
(8n∈4n)
D=4(P[2]-P[3])^2+4P[6]-3+4P[4]-4P[8]
=4/4+4/2-3+4P[4]-4P[8]
=4P[4]-4P[8]≧0

判別式 1^2 - 4*19/150 > 0 より、実数解を持つ。


以下、導出です。

P2は、全ての場合の数のうち、
末尾１桁が偶数であるものの比率で計算出来るが、

A-Bを計算する際に、
A:偶数　B:偶数
A:偶数　B:奇数
A:奇数　B:偶数
A:奇数　B:奇数

の４つのグループに分けられる。
これらのグループに属する場合の数は、
１から６までの数字の中に偶数奇数が同数含まれて
いることから、全て同じになる。
引き算の結果が偶数になるのは１番目と４番目。

したがって、P2=1/2　

P3は、
設問のように数字を選ぶと、実は必ず３の倍数に
なるので（1+2+3+4+5+6=21　で３の倍数）、
3の倍数同士の引き算で、必ず３の倍数。

P3=1

P4は、論理的に導いて1/4としたかったのですが、
自信がなかったのでexcelで網羅的に表を作り、
数え上げてみましたところ、1/4でした。

P6は、P2かつP3の条件を考えれば良いので、
P6=1/2

P8も、論理的に導く自信がなかったので、
excelで巨大な表を作って数え上げてみましたら、
1824/14400となりました。
1/8に近いですが、1/7.9ぐらいになります。
ぴったり1/8ではありませんでした。

約分すると19/150です。

P8=19/150


ということから、
問題の方程式は、

x^2 + x + 19/150 = 0

となりまして、

判別式は、
1^2 - 4*19/150　>0

となります。

ついでに解いてみましたが、

x=(-1±sqrt(37/75))/2

と、なります。

根号の中を整理するとすると、

x=(-5±sqrt(37/3))/10

以上。

P2=1/2
P3=1
P6=1/2
P4＞=P8　（実際にはP4＞P8）

与式の判別式Ｄ
=　2(P2−P3)^2-4*(3/4−P4−P6＋P8)
=　1 - 1 + 4*(P4−P8) >= 0
よって与式は実数解を持つ。

問題を一読したときに、
P4 と　2*P8 の大小関係を証明しなきゃ解けないのだと思い込んでました。
「1から6までの数を各一回ずつ使う」ならば　P4＞2*P8
「何度使ってもよい」ならば　P4＝2*P8　になるのかな。