FAQ
RSS
このクイズのヒント
-
ヒント知らないよ
このクイズの参加者（3人）
算数・数学クイズ
算数・数学クイズ
メイクテン
広告
広告
広告
クイズ大陸関連書籍
|
|
ツイート
|
 メイクテン千夜一夜
難易度：★★★★★
 s_hskz
2015/08/31 01:12
一夜（かずや）と千夜子（ちやこ）とは双子の兄妹です。そんなふたりのある日の会話を聞いてみましょう。
一夜「ねえねえねえ、おもしろいよこれ。」 千夜子「……っさいなあ、今『スターレッド』読んでるんだから静かにしてくれるぅ？」 一夜「いやいやいや、いますぐ見ろよ、面白いよ、チーの大好きな数学風のパズルだから。」 千夜子「……もし面白くなかったら腹筋百回する？」 一夜「オーケーオーケーオケハザマっ」 千夜子「あはは、ばあか。しかたないなあ、で、どんなの？」 一夜はイアン・スチュワート著の『数学ミステリーの冒険』（SB Creative）のページをパラパラとめくりながら千夜子に語りかけます。 一夜「ええと、１を２個と数学記号で数式を作ってその答えがいろんな自然数になるように次々に作っていくんだ。なかでも７を作るのは最難関らしいけど。で、その答えが笑わせるんだ。」 千夜子「みるまでもなく面白くなあいっ、腹筋百回。そんなのこうでしょ？たとえば。」 千夜子は式を手近のノートに書き出した。 -[-√√√√(([√√√((-[-√√√√√(([√√√((-[-√√(([√√√(11!)])!)])!)])!)])!)])!)] 千夜子「階乗とルートとガウス記号を使えばできそうなもんじゃないの？」 一夜「？……あれ？？ これ、この本に書いてあるのと同じ……？」 千夜子「てへえ。その本もう読んだよ。学校の図書室にあるもん。」 一夜「なんだ、そうかあ。でも微妙に式が違うよね。」 千夜子「うん。床関数はガウス記号で代用できるし、天井関数は、いったんマイナスにしてから床関数を通してもう一回符号を逆転すればいいから。理系高校生たるもののたしなみよ。」 一夜「あっそうか、なるほど。でさ、１０の作り方が面白いよね。」 千夜子「こうだよね。」 1/.1 一夜「そうそう、それ。 テンイチがレイテンイチだなんて初めて知ったよ。」 千夜子「まあでも、野球の打率とかそう書くし、Googleの電卓機能でもテンイチ、うけつけてくれて1/10だしね、アリなんじゃないの？」 一夜「そうかもなあ……」 千夜子「というわけでもろもろ知ってたっ、だからつまんないっ。私の読書タイムを邪魔したっ。約束通り腹筋百回、いますぐ始めてっ」 一夜「いやいやいや、ここまではネタで言えばマエフリ。ここから、ここから。」 千夜子「面白くなかったら腕立て百回追加ね。」 一夜「大丈夫、大丈夫。１を１個と数学記号で数式を作ってその答えが１０に出来るんだ。２個じゃないよ。１個だよ。条件をつけるから、チー、解いてみない？」 千夜子「う。それは新しい。知らない。この本にも書いてなかった。」 一夜「な？面白いだろ？じゃあ条件書くね。」 一夜が書いた条件のメモは以下のようなものでした。 === ・１０進法。 ・数式は一行。行列や二項係数の簡略表記などはアウト。 ・数値を意味する字は１個だけ、「1」を使える。πとかは使えない。 ・数学記号として使える字は下の一覧表のなかからなんどでも。 ! " # $ % & ' ( ) * + , - . / : ; < = > ? @ [ \ ] ^ _ ` { | } ~ √ ・$や\を通貨単位の意味として使わない。 ・%を百分率の単位として使わない。 ・プログラミング言語での独自の実装を使わない。 === 千夜子「……」 一夜「さあさあさあさあ、面白くなってまいりました。」 千夜子「たしかに。でもこれ、あんたが考えたの？」 一夜「お兄様とお呼びっ。うん、さんざんネットで数学記号について調べ回ったよ。」 千夜子「オレオレ数学記号じゃないのね？」 一夜「そんなわけない。広い世界でなのか狭い世界でなのかよくわからないけど、それなりに通用している数学記号だよ、使うのは。」 千夜子「」 千夜子は無言になりネット検索を始めました。一夜は読みたかった『スターレッド』を読み始めました。狙い通りです。 ●問題 双子のあいだで話題になったメイクテンを解いてください。 ●囁き欄について ありません。 ●ヒント 出すのは不可能かと。イコール、即、答えになりそうです。 === それではお楽しみください。
|
回答募集は終了しました。
囁き無しのほうがガチなのでしょうか…… それはともかく、これがウルトラマンに見える人に幸あれ。 ％ 基本、雑談もオーケーな問題スレッドです。 どうぞご自由にわきあいあいと情報交換してくださいまし。 スレッドといえば、問題文中の『スターレッド』は名作らしいです。 ●追伸 某プログラミング言語では、数値を意味する字を一切使わずに記号だけでメイクテンが出来ることをすっかり失念しておりました。このため、問題文で条件をひとつ追加いたしました。申し訳御座いません。 ●追伸２ あれれさんから有限集合の個数をあらわす数学記号があるよと教えていただきました。 s_hskz のレベルか1上がった。 HPが3上がった。 MPが2下がった。 (^○^)
#{!,$,%,&,/,<,=,>,?,@}
|{!,$,%,&,/,<,=,>,?,@}| どちらも集合の要素の数が10ということです。 これがありなら数字は不要です。 
s_hskz
card({!,$,%,&,/,<,=,>,?,@}) ですか。 参りました。目からウロコです。 用意していた解よりもはるかに簡単明瞭です。 引き続き皆様からの御回答をお待ちすることとさせて頂きます。
クイズ大陸での《メイクテン》の過去問題を拝見しておりましたところ、ある特徴があることに気がつきました。説明のために以下のような図を書いてみました。 〈なにかの数値Ａ〉 【演算記号】 〈なにかの数値Ｂ〉⇒ 〈なにかの数値Ｃ〉 従来型のメイクテンには、上の図に書いたような〈ふたつの数値どうしの〉〈演算〉を部品とみなし、それらの部品の発見／発明を行い、さらに部品どうしを組み立てて、完成品《メイクテン》を作り上げる、そうした基本的な特徴があるのでした。 ＋－×÷の四則演算などはその代表的なものでしょう。 こうした仕掛けの利用を【演算型】と呼ぶこととします。 さて、こうした２項間の演算のほかにも、従来型で、あまり目立ちませんが、使われていた仕掛けがあります。図に書いてみます。 〈なにかの数値Ａ〉⇒ 【化かす】 ⇒ 〈なにかの数値Ｂ〉 分かりやすいところでは、平方根を得る記号√ があります。 ひとつの数値から 化かして 別の数値を得る、こうした仕掛けも使っているのですね。 ４ ⇒ √ ⇒ ２ もうひとつの例をあげます。階乗を得る記号の利用ですね。 ４ ⇒ ! ⇒ ２４ また、ガウス記号や絶対値を得る記号も使いでがあることでしょう。 こうした【化かす】仕掛けを 関数型と呼ぶことにします。 従来型のメイクテンでは慣れ親しんでいる演算型がベースとなっていますし、ときおりそこに関数型をまぜこんでいる問題もありました。 さて、演算を取り除いた、ピュアな関数型のメイクテンの問題があれば面白いかもしれない、そう思っていたところ、千夜子と一夜が読んだ本を私も読んだのでした。 なんとそこでは関数型で１１を起点にメイクセブンが行われていたのです。その具体的な姿は問題文に掲げられている通りです。これが大きなヒントとなりました。 さてピュアな関数型の解を求める問題を作るためにはどうしたらよいのでしょうか。私は安直に『数値を表す字はひとつだけ利用可能』としました。また、√と階乗あたりのみでは処理が難しい起点《１》を選びました。ここからメイクテンできれば面白いと。 関数型の数値が化ける数学記号は少ないですが未知のものもありそうです。 本問題で、私が用意した回答では、実は相当に勉強しないと〈どうしてそうなった〉がわからない関数型の記号を利用しています。ご安心下さい。出題者の私も〈どうしてそうなった〉がよくわからないのです。テレビやスマホだってよくわからないまま使っていることですし。 と言い訳しつつ難易度は☆☆☆☆☆です。すみません。 ポイントは１から２ないし３ないし４をいかにして作ればよいのか、このあたりだと思います。ヒントを出します。２の超階乗は４です。４までくれば１０など目前です。最初私は１から２を作って（いえ、〈どうしてそうなった〉はわからないのですが）喜んでおりました。 次に、１から２を経由せずに３を作る方法もみつけました。別解です。この調子だと他にも解があるのかもしれません。 （あれれさんによる、関数型の素晴らしい解には全く気がつきませんでした。使える記号として{}をはずしておくべきでしたか……） === 解の探索にあたり私は以下のサイトも使いました。wolframalpha です。丁度、床関数を検索したところになっています。 h◎◎p://m.wolframalpha.com/input/?i=floor%28-x%29&js=off またWikipediaでいろんな階乗(さっきの超階乗なども)調べたりしていました。 wolframalphaのヘルプなどもかじりました。 さて、このへんでいったん筆をおきます。
s_hskz
口があんぐりと広がったままになりました。この#の正体は、いったいなんなのでしょう…… 試しに……メイクパイを致しました。 ((#/(#+#))!)((#/(#+#))!)(#+#+#+#)/#
WolframAlphaで計算すると、
(.1)!!=1.002281... となりましたので、-[-(.1)!!]=2です。 超階乗は$で表せるようですので、2$=4 4!=24です。 √((√24)!)=10.05... となりましたので、 [√((√(((-[-(.1)!!])$)!))!)]=10と思われます。 
s_hskz
速攻が実に素晴らしいです。 まさしく意図していた解の登場です。 超階乗がWolframAlphaでは処理できませんが問題はないものと考えられます。 （WolframAlphaでは他のタイプの超階乗が用意されているようです。そちらは記号だけでは記述できません） h◎◎p://mathworld.wolfram.com/Superfactorial.html wolframのサイトの上のページの冒頭に The superfactorial (=超階乗) of n is defined by Pickover (1995) とあり、 2$=4 と明記されています。 === ※なお、超階乗を使わないパターンの別解もあります。 ５回、いろいろと関数を通すと 9.9194... になりますから、あとは 符号をnegativeにしてガウス記号を通します。
横からちょっと失礼します
0.1!はガンマ関数ですよね しかし0.1!!の演算がどういうものかわかりませんでした。 ちなみに％はウルトラマンに見えます  ↑すみません自己解決しました 0.1!!=Γ(Γ(0.1))ですね しかしWolframalphaでは何か違う計算をしてるような…？？ 
s_hskz
応答が遅れて申し訳ありません。 No.7で、あれれさんが仰っている通りです。 3!! not = (3!)! となります。 !!自体が、ひとつの記号だとお考え下さい。二重階乗をせよという記号となります。!!を分割して!の!、階乗のそのまた階乗、ということではありません。 以上です。宜しくお願い致します。 % がウルトラマンに見える仲間がいて嬉しいです。
!!は二重階乗です。
自然数の場合は一つ飛ばしの積です。 6!!=6*4*2=48 7!!=7*5*3*1=105 となります。 実数に対してもガンマ関数を使って定義されています。
s_hskz
あれれさん、迅速なご説明をまことに有り難うございました。
……
まことに申し訳け御座いません、まさしく王様の耳はロバの耳でして……黙っていられなくなりました。 二重階乗は…負の偶数以外で値を持っています。 複素数の二重階乗は可です。 あー…………………
h_hskzさんあれれさん、ヒントありがとうございます。回答が遅れています
 一応2と、20.054くらいの数は作れましたが、まだ10にしていません  そもそも複素数値に対する二重階乗が、どういう積分なのかいまいち理解していません。 z!=Γ(z) = \int^\infty_0 t^{z-1}exp(-t) dt は知っているのですが z!!= int ?? このあとがわかりませんでした。すみません
s_hskz
二重階乗関数については以下をご覧頂ければと存じます。 h◎◎p://math-functions-1.watson.jp/sub1_spec_010.html ※私には意味がサッパリです。wolfram とは一致しているようです。
でっ..できました...ハァハァ
floor(sqrt((ceiling{sqrt(floor[sqrt(-(-(-0.1)!)!)!)])})!)) = 10 WolframAlphaでやったのですがceilingを記号に直すところで力尽きました # 2重階乗のサイトをありがとうございます ↓こんなに褒めてもらったのは何十年ぶりでしょうか。とてもうれしいです  また、式の修正をありがとうございました。老眼でカッコ( )が見にくすぎてでききれませんでした
s_hskz
……
爺ちゃんファイブさん、めっちゃカッコイイですっ。 完全に出題者の予想の上を軽々と越えてしまわれました。 普通の階乗しか使わないので……誰にも文句を言われない解ですね。よくぞここまで禁欲なさいました、脱帽です。勉強になりました。 2 や 3 4 を越えるためにはヒネクレタ関数を通すしかあるまいと出題者は睨んでいました。爺ちゃんファイブさんは私にとって未知の、王道の在処を教えて下さいました。有り難うございます。 === 些末な事項ですが、爺ちゃんファイブさんの解はwolframでの文法エラーを訂正すれば、Floor[Sqrt[Factorial[Ceiling[Sqrt[Floor[Factorial[Sqrt[-Factorial[-Factorial[-.1]]]]]]]]]] となります。天井関数を床関数に置き換えて、Floor[Sqrt[Factorial[(-Floor[-Sqrt[Floor[Factorial[(Sqrt[-Factorial[-Factorial[-.1]]])]]]])]]] になります。 これをwolframでも通用するギリギリの我々が普段目にする普通の書き方に似せれば、 Floor[√((-Floor[-(√(Floor[(√(-((-(-.1)!)!)))!]))])!)] となります。 Floor関数はガウス記号で置換できますので、以下がわかります。 10 = [√((-[-(√([(√(-((-(-.1)!)!)))!]))])!)] …… 感服致しました。
{{},{{}},{{},{{}}},{{},{{}},{{},{{}}}},{{},{{}},{{},{{}}},{{},{{}},{{},{{}}}}},{{},{{}},{{},{{}}},{{},{{}},{{},{{}}}},{{},{{}},{{},{{}}},{{},{{}},{{},{{}}}}}},{{},{{}},{{},{{}}},{{},{{}},{{},{{}}}},{{},{{}},{{},{{}}},{{},{{}},{{},{{}}}}},{{},{{}},{{},{{}}},{{},{{}},{{},{{}}}},{{},{{}},{{},{{}}},{{},{{}},{{},{{}}}}}}},{{},{{}},{{},{{}}},{{},{{}},{{},{{}}}},{{},{{}},{{},{{}}},{{},{{}},{{},{{}}}}},{{},{{}},{{},{{}}},{{},{{}},{{},{{}}}},{{},{{}},{{},{{}}},{{},{{}},{{},{{}}}}}},{{},{{}},{{},{{}}},{{},{{}},{{},{{}}}},{{},{{}},{{},{{}}},{{},{{}},{{},{{}}}}},{{},{{}},{{},{{}}},{{},{{}},{{},{{}}}},{{},{{}},{{},{{}}},{{},{{}},{{},{{}}}}}}}},{{},{{}},{{},{{}}},{{},{{}},{{},{{}}}},{{},{{}},{{},{{}}},{{},{{}},{{},{{}}}}},{{},{{}},{{},{{}}},{{},{{}},{{},{{}}}},{{},{{}},{{},{{}}},{{},{{}},{{},{{}}}}}},{{},{{}},{{},{{}}},{{},{{}},{{},{{}}}},{{},{{}},{{},{{}}},{{},{{}},{{},{{}}}}},{{},{{}},{{},{{}}},{{},{{}},{{},{{}}}},{{},{{}},{{},{{}}},{{},{{}},{{},{{}}}}}}},{{},{{}},{{},{{}}},{{},{{}},{{},{{}}}},{{},{{}},{{},{{}}},{{},{{}},{{},{{}}}}},{{},{{}},{{},{{}}},{{},{{}},{{},{{}}}},{{},{{}},{{},{{}}},{{},{{}},{{},{{}}}}}},{{},{{}},{{},{{}}},{{},{{}},{{},{{}}}},{{},{{}},{{},{{}}},{{},{{}},{{},{{}}}}},{{},{{}},{{},{{}}},{{},{{}},{{},{{}}}},{{},{{}},{{},{{}}},{{},{{}},{{},{{}}}}}}}}},{{},{{}},{{},{{}}},{{},{{}},{{},{{}}}},{{},{{}},{{},{{}}},{{},{{}},{{},{{}}}}},{{},{{}},{{},{{}}},{{},{{}},{{},{{}}}},{{},{{}},{{},{{}}},{{},{{}},{{},{{}}}}}},{{},{{}},{{},{{}}},{{},{{}},{{},{{}}}},{{},{{}},{{},{{}}},{{},{{}},{{},{{}}}}},{{},{{}},{{},{{}}},{{},{{}},{{},{{}}}},{{},{{}},{{},{{}}},{{},{{}},{{},{{}}}}}}},{{},{{}},{{},{{}}},{{},{{}},{{},{{}}}},{{},{{}},{{},{{}}},{{},{{}},{{},{{}}}}},{{},{{}},{{},{{}}},{{},{{}},{{},{{}}}},{{},{{}},{{},{{}}},{{},{{}},{{},{{}}}}}},{{},{{}},{{},{{}}},{{},{{}},{{},{{}}}},{{},{{}},{{},{{}}},{{},{{}},{{},{{}}}}},{{},{{}},{{},{{}}},{{},{{}},{{},{{}}}},{{},{{}},{{},{{}}},{{},{{}},{{},{{}}}}}}}},{{},{{}},{{},{{}}},{{},{{}},{{},{{}}}},{{},{{}},{{},{{}}},{{},{{}},{{},{{}}}}},{{},{{}},{{},{{}}},{{},{{}},{{},{{}}}},{{},{{}},{{},{{}}},{{},{{}},{{},{{}}}}}},{{},{{}},{{},{{}}},{{},{{}},{{},{{}}}},{{},{{}},{{},{{}}},{{},{{}},{{},{{}}}}},{{},{{}},{{},{{}}},{{},{{}},{{},{{}}}},{{},{{}},{{},{{}}},{{},{{}},{{},{{}}}}}}},{{},{{}},{{},{{}}},{{},{{}},{{},{{}}}},{{},{{}},{{},{{}}},{{},{{}},{{},{{}}}}},{{},{{}},{{},{{}}},{{},{{}},{{},{{}}}},{{},{{}},{{},{{}}},{{},{{}},{{},{{}}}}}},{{},{{}},{{},{{}}},{{},{{}},{{},{{}}}},{{},{{}},{{},{{}}},{{},{{}},{{},{{}}}}},{{},{{}},{{},{{}}},{{},{{}},{{},{{}}}},{{},{{}},{{},{{}}},{{},{{}},{{},{{}}}}}}}}}}}
初回答です。"10番目の自然数"です。 ↓以下の手法に従います。 0:={} suc(a):=a∪{a} 1={{}} 2={{},{{}}} 3={{},{{}},{{},{{}}}} 10={0,1,2,3,4,5,6,7,8,9}となります。 参照:h@@ps://ja.wikipedia.org/wiki/%E8%87%AA%E7%84%B6%E6%95%B0 "10番目の自然数"ならば、 1'''''''''もOKですね。
s_hskz
こんにちは。 これって、 1 を {{}} とし、ほげふがの successor を、 {{},ほげふが} としているのでしょうか？ やってみます。2 から順に、 2 {{},{{}}} 3 {{},{{},{{}}}} 4 {{},{{},{{},{{}}}}} 5 {{},{{},{{},{{},{{}}}}}} 6 {{},{{},{{},{{},{{},{{}}}}}}} 7 {{},{{},{{},{{},{{},{{},{{}}}}}}}} 8 {{},{{},{{},{{},{{},{{},{{},{{}}}}}}}}} 9 {{},{{},{{},{{},{{},{{},{{},{{},{{}}}}}}}}}} A {{},{{},{{},{{},{{},{{},{{},{{},{{},{{}}}}}}}}}}} あれ？………… よろしければ、ご教示をお願い申し上げます。 lengthさんによる追加の青文字による御解説を拝見致しました。 ご教示をまことに有り難う御座いました。 クイズ大陸のメイクテンでは、使える記号に、{、}、' があると破綻するのですね……
真面目な(？)答えも。
!!も$も.1も使わないで、 [√√((-(-(-|(√-1)!|)!)!)!)]=10 となります。 WolframAlphaならば、 floor(√√((-(-(-abs((√-1)!))!)!)!)) でエラーなしで計算できます。 さらに短いものを見つけました。 [|(-√√√√√-1)!|]=10 floor(abs((-√√√√√-1)!))=10 √を一つ増やすと約二倍になります。
s_hskz
とても綺麗ですね。私にはみつけられませんでした。 ……純虚数をΓ関数に渡す解が登場しました。せっかくですので、よく似ている二重階乗バージョンのものを記すことと致します。 -[-(|√-1!!|!)!!] Wolfram では、 -Floor[-((Abs[√(-1)!!])!)!!] となります。 === 純虚数の階乗や二重階乗は複素数になりますから絶対値をとって実数になおします。そのまま関数をいくつかくぐらせてから最後に丸めてみました、という解です。
(((√)+√)*((√)+(√)+(√)+(√)+√))/((√)√)=10
WolframAlphaは適切に√を置くと未知数として扱われるようです。 …だんだん別の問題になってきたような。 (√+√)(((√)+√+√)+√+√)/√/√=10 なんとなく改良。 √+√=√x+√x=2√x √+√+√=√(√x+√x)=√(2√x) a/b/c=a/(bc) 
s_hskz
いや、これは、……… なんだかよくわかりませんね、wolfram…… (^○^) √/√ ⇒ Sqrt[]/Sqrt[] ⇒ Sqrt[x]/Sqrt[x] を意味するようですね。wolframでは関数の定義の入力を許しているようですから、一種の省略記法なのでしょうか。 《なんとなく改良》をリスペクトしまして作りました⇒ ((√)+((√+√)+√)(((√+√)+√))/√)/√
[√([√√(((-[-|[-√-[-√√-1]]|])!)!)]!)]=10
floor(√(floor(√√(((-floor(-abs(floor(-√-floor(-√√-1)))))!)!))!))=10 自然数の階乗のみでもできました。 階乗無しでも3までならできるようです。 補足:WolframAlphaでは[a+ib]=[a]+i[b]となるようですね。
s_hskz
面白いですね。 Mathematica に組み込まれている種々の数学関数の中にある床関数も、実部、虚部ごとにそれぞれ働くようです。
そろそろロックの準備に入ります。 せっかくですので左階乗による解もご案内させて頂きたく存じます。 WolframAlphaで計算しますと、 -Floor[-Abs[Subfactorial[-.1]]] すなわち、 -[-|!(.1)|]=2 となります。 超階乗は$で表せますから、 2$=4 で 4!=24です。 √((√24)!)=10.05... ですから、 [√((√(((-[-|!(.1)|])$)!))!)]=10 となることでしょう。
■ごあいさつ
もうじきロックいたします。 関数に関数をくぐらせ、その結果をまた関数にくぐらせて１０にたどり着くという入れ子構造の仕掛けを考えていました。 千夜一夜物語もまた、物語のなかの登場人物がさらに物語を語り、その物語中の登場人物が更に物語を語る入れ子構造になっていまして、似ているかもしれないと思いました。表題はここからつけました。 とっつきにくい問題だったかもしれません。反省しております。 皆さん、有難うございました。 ■おまけ。 |(√(x))!!| について。 WolframAlphaで、xについて、-8と-9あたりでプロットしてみたところ値が莫大な数値になっています。 plot Abs[(√x)!!] (x = -8 to -9 ) 不思議なことです。たかが二重階乗のくせに。 メイクテンした結果をつっこみたいのですが、計算してくれませんでした。 |
問題へジャンプ