8乗すると1になる数

Bが純虚数iを成分として持つとする。
すると、
i×iすなわち−1も成分として持つ。
ということは、
（−1）×（−1）すなわち1、および、
（−1）×iすなわち−iも成分として持つ。
以上より、B＝｛i,−i,−1、1｝である。

｛1,-1,i,-i｝
および
｛1,-1,i,-i,(1+i)/√2,(1-i)/√2,(-1+i)/√2,(-1-i)/√2｝
ただし、iは虚数単位

ヒミツ

1 , -1 , i , -i

複素平面上に書いた円の45度刻みの点８つ
(1+i)/√2,(1-i)/√2,(-1-i)/√2,(-1+i)/√2,
1,-1,i,-i

{x|x^4=1, x∈複素数}
{x|x^8=1, x∈複素数}
の2種類しかない。

(1)1,i,-1,-i
(2)(1)に以下の４つの要素を加えたもの。
√2/2 + √2i/2,
-√2/2 + √2i/2,
-√2/2 + -√2i/2,
√2/2 + -√2i/2
↑根号の範囲があいまいになってしまってますが、（もちろん）虚数単位のiは根号の外。
ニ分のルート２と二分のルート２アイです。


以下、解説です。

虚数単位をiとして表現すると、
題意からi^2、i^3、i^4もＢの要素でなければならない。
それぞれ、-1,-i,1となるため、

この集合Ｂには少なくとも、
1,i,-1,-iの４つの要素が含まれることが分かる。この４個だけを含むものが、ひとつの解である。

また、複素数同士のかけ算を、何度繰り返してもやはりＢの要素であり続けることから、
複素数C=R+Iiの絶対値を|C|=sqrt(R^2+I^2) ここでsqrt()は平方根
と表すと、
集合Ｂの要素bは、|b|=1を満たす必要がある。

これは、複素平面上で、半径１の円周上の点である。

さらに、要素の数は１０個以下であるとの条件から、
複素数を極座標表示したときのθが、
ｎπ／２　である集合（４乗で１回転）と、
ｎπ／４　である集合（８乗で１回転）がありうる。

純虚数を含まなければ５回、６回等で一回転する（５乗、６乗で１になる）集合も考えられるが、
純虚数を含むという条件下では、４、８、１２、など、４の倍数回数のものしか許されない。

要素が１０個以下という条件から、４回と８回のもののみが題意を満たす。（以上）

B={cos(2πk/n)+isin(2πk/n)|1<=k<=n}
n=4,8のときのBが題意を満たす。

ヒミツ

あっ、1の4n乗根か。
というと、題意に合う別解は8乗根だけですね。

ヒミツ

1,-1,i,-i

複素平面を八分割しても大丈夫なんですね。
上の答えに次の４つが追加されたのも答です

±(1±i)/sqrt2 複号自由

4乗すると1になる

(±1,±i)
(cos(45n)+isin(45n))

要素数を「有限」に拡張しても解は
(cos(kn)+isin(kn))のみ
ただし k=90/整数