2×(a^2-a+1)
aは3の三乗根

囁き欄ではsupが使えないはずなので、以下、立方根を [3]√ と表記する。

(1) a=[3]√3 とすると
(与式) = 8/(a+1) = 8(a^2-a+1)/(a+1)(a^2-a+1) = 8(a^2-a+1)/(a^3+1)
= 8([3]√9 - [3]√3 + 1) / (3 + 1)
= 8([3]√9 - [3]√3 + 1) / 4
= 2([3]√9 - [3]√3 + 1)

(2) a=[3]√3、b=[3]√4 とすると
(与式) = 1/(a^2+ab+b^2) = (a-b)/(a^2+ab+b^2)(a-b) = (a-b)/(a^3-b^3)
= ([3]√3 - [3]√4) / (3 - 4)
= - ([3]√3 - [3]√4)
= [3]√4 - [3]√3

簡略化のため、以下の√は全て3乗根の意とする（2乗根は使用しない）

(1) 8/(√3＋1)

a＝√3とおくと、分母は a＋1 であり、
　　(a＋1)(a^2−a＋1)＝a^3＋1＝4
なので、分母、分子に a^2−a＋1＝√9−√3＋1 をかけて

∴　8/(√3＋1)＝2(√9−√3＋1)


(2) 1/(√9＋√12＋√16)

a＝√3, b＝√4とおくと、分母は a^2＋ab＋b^2 であり、
　　(b^2＋ab＋a^2)(b−a)＝b^3−a^3＝1
なので、分母、分子に b−a＝√4−√3 をかけて

∴　1/(√9＋√12＋√16)＝√4−√3


(3) 1/(1−√2＋√3＋√4＋√6＋√9)

a＝√2, b＝√3とおくと、分母は 1−a＋b＋a^2＋ab＋b^2 であり、
　　(1−a＋b＋a^2＋ab＋b^2)(b−a−1)
　　＝b^3−a^3−3ab−1
　　＝−3ab

　　−3(a^3)(b^3)＝−18
なので、分母、分子に (b−a−1)(a^2)(b^2)＝2(√9−√6−√3) をかけて

∴　1/(1−√2＋√3＋√4＋√6＋√9)
　　＝2(√9−√6−√3)/(−18)
　　＝(√3＋√6−√9)/9


(3)は、手始めにb-aをかけて整理したら、X=b-aとしてX^2+X+1となったので
b-a-1をかけてさらに整理するとb-aで因数分解できた結果、
はじめからb-a-1だけをかければいいじゃん！ということになったやつ

何を思って3^2＝6と計算しているのか・・・

(3)
分母分子にかけるのは　√36(1＋√2−√3)　で

(√36＋2√9−3√4)/18

(1)　答：2*(3√9-3√3+1)

3√3＝aとおく
(a+1)*(a^2-a+1) = (a^3+1) = 4
(a+1)*(a^2-a+1) = (a^3+1) = 4
与式 = 8/(a＋1) = 2*(a^2-a+1)

(2)　答：3√4 - 3√3

3√9=a,3√12=b,3√16=c　とおく
3√3=s, 3√2=t　とおく

(a＋b＋c)(a^2＋b^2＋c^2−ab−bc−ca) = (a^3＋b^3＋c^3−3abc) = 9+12+16-3*12 = 1
与式 = 1/(3√9＋3√12＋3√16) = (a^2＋b^2＋c^2−ab−bc−ca)
= s^4 + s^2*t^4 + t^8 - s^3*t^2 - s^1*t^6 - s^2*t^4
= 3s + 4*t^2 - 3*t^2 - 4s = t^2 - s

答え 9^1/3 は 9の3乗根を意味します。他も同様です。

(1) 2(9^1/3-3^1/3+1)
(2) 4^1/3-3^1/3
(3) 36^1/3(1+2^1/3-3^1/3)/18