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無理じゃない無理数

難易度：★★★ 　

ゆりあ 2015/01/22 20:39

a₁＝ √2, a_n+1＝(√2)^a_n　とする

　　　　　 ･･･　　　　 √2 　　　 √2 a_n＝ √2

（√2の肩に√2があり、その肩にさらに√2があり、a_nは√2がn個続く）

【ヒント１】（反転してください）
（任意の自然数nに対して、ある実数mがあり、「 a_n≦a_n+1　かつ　a_n≦m 」が成り立つならば、a_nは収束する。）
【ヒント２】
（1＜a_n＜2 を、数学的帰納法を用いて証明します）




	【n＝1のとき　1＜a[1]＝√2＜2 が成り立つここで、n＝kのとき　1＜a[k]＜2 と仮定すると 1＜√2^1＜a[k+1]＝√2^a[k]＜√2^2＝2 なので、数学的帰納法により任意のnについて 1＜a[n]＜2 が成り立つここで、f(x)＝log(x)/x とおくと、f'(x)＝(1－logx)/x^2 であり、 1＜x＜2 のとき、f'(x)＞0 なのでf(x)は単調増加関数であり、 f(2)＝log2/2であることから、 logx/x≦log2/2 すなわち x^2≦2^x よって、1＜x＜2 においては x^2＜2^x なので、1＜an＜2 よりxにa[n]を代入して a[n]^2≦2^a[n]＝a[n+1]^2　よって　a[n]≦a[n+1] 以上より、a[n]は有界な単調増加数列なので、収束してその極限値lim anを持つ。十分大きなnにおいてlim an＝lim a[n+1]が成り立ち、これをAとおくと A＝lim a[n+1]＝lim √2^a[n] ＝√2^A 1＜A＜2なので、A＝√2^A をといて A＝2 】