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無理じゃない無理数
難易度:★★★  
?ゆりあ 2015/01/22 20:39
a1= √2, an+1=(√2)an とする
       ・・・
     √2
    √2
an= √2
(√2の肩に√2があり、その肩にさらに√2があり、anは√2がn個続く)

問 anは収束することを示し、lim anを求めよ。


【ヒント1】(反転してください)
任意の自然数nに対して、ある実数mがあり、「 an≦an+1 かつ an≦m 」が成り立つならば、anは収束する。
【ヒント2】
1<an<2 を、数学的帰納法を用いて証明します
Answern=1のとき 1<a[1]=√2<2 が成り立つ
ここで、n=kのとき 1<a[k]<2 と仮定すると
1<√2^1<a[k+1]=√2^a[k]<√2^2=2
なので、数学的帰納法により 任意のnについて 1<a[n]<2 が成り立つ

ここで、f(x)=log(x)/x とおくと、f'(x)=(1−logx)/x^2 であり、
1<x<2 のとき、f'(x)>0 なのでf(x)は単調増加関数であり、
f(2)=log2/2であることから、 logx/x≦log2/2 すなわち x^2≦2^x

よって、1<x<2 においては x^2<2^x なので、1<an<2 よりxにa[n]を代入して
a[n]^2≦2^a[n]=a[n+1]^2 よって a[n]≦a[n+1]

以上より、a[n]は有界な単調増加数列なので、収束してその極限値lim anを持つ。

十分大きなnにおいてlim an=lim a[n+1]が成り立ち、これをAとおくと
A=lim a[n+1]=lim √2^a[n] =√2^A
1<A<2なので、A=√2^A をといて A=2
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    ヒント知らないよ

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