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シンプルなほど?
ぼやき餅
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ヒント知らないよ
このクイズの参加者（8人）
算数・数学クイズ
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瞬殺御免
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ヒミツ
うーん、示せません･･･20乗、100乗、500乗、5000乗等は証明できるのですけど、
1000乗は  何か全然別なやり方があるのかな  例の数について、何乗なら約数が存在するかを小さいほうからじっくり考えていたら全く別な解き方に思い当たりました。 お騒がせして申し訳ありません。 たしかに具体的な数値はぜんぜん意味のないレベルですね  
ぼやき餅
具体値の代入はあまり意味がありません。
「与えられた式はxxxxできるので、n≧2 の時素数じゃない。」 n^1000+4=(n^500+2n^250+2)(n^500-2n^250+2)
n^500-2n^250+2=(n^250-1)^2+1≧1 より、n=1のとき最小値1をとる n^500+2n^250+2≧5 とあわせて、n=1のとき素数5で、それ以外では2以上の自然数の積になるので素数ではない。
QED
ぼやき餅
正解です
n^250=Nとおくと、与式=N^4+4=N^4+4N^2+4-4N^2=(N^2+2)^2-4N^2=(N^2+2-2N)(N^2+2+2N)
n>1の整数の場合、2つの因数とも2以上の整数
スマホは入力しづらい
ぼやき餅
正解でーす
n^250=m と置くと
n^1000+4 = m^4+4 =（m^2 +2m +2)（m^2 -2m +2） 自然数n≧2 において、小さいほうの数（m^2 -2m +2）は１より大きいので、 （m^2 +2m +2)（m^2 -2m +2）それぞれは約数である。 ∴n^1000+4 は素数ではない。
というわけで QED。 ご迷惑をおかけしました
ぼやき餅
はい、正解でーす
x^4＋4＝(x^2＋2x＋2)(x^2−2x＋2) なので、x＞1のとき、
x^2＋2x＋2＞5, x^2−2x＋2＞1 であり、x＝n^250 とすれば与えられた式となる。 つまり、n≧2のとき n^1000＋4 は合成数となる。 なお、n＝1のときは n^1000＋4＝5 なので素数。
気づくのに時間がかかった。最初下１桁の考え方したけど5だけ無理だと悟った
ぼやき餅
正解です
ぼやき餅
正解です
(n^500+2n^250+2)(n^500-2n^250+2)
に因数分解でき、n=1以外のときはどちらの()も2以上なので素数ではない
シンプルな問題にはシンプルに
ぼやき餅
正解でーす
ぼやき餅
5の累乗の下一桁は必ず5なので、
その方法では示せません  ちなみにもっとシンプルです。
プログラミングしてかなり大きな数字まで確かめてみたのですが、
どうやらこの問題、1000乗というのが ゆりあさんが嵌りかけた（私は完全に嵌った）手法が 簡単に「別解」にならない、非常にうまい数字のようですね （前にも書きましたが、同じ趣旨で選ばれそうな20乗や100乗なら別の解法あり） 宮崎大の元ネタが気になります 
ぼやき餅
宮崎大の方は、「n4＋4(複二次式の有名な形)」という式で与えられていました。
1000という数字は適当に選びました (2015年問題として出したかったのですが、2015は4で割り切れない  ）
因数分解すると
(n^500 -2n^250 +2)(n^500 +2n^250 +2) n>=2のとき、上の( )の中身は明らかに1より大きい整数であるから不適。 n=1のとき、与式は5になり、これは素数。 よって示された。
数字の大きさにびっくりしましたが、そうでもありませんでした。
ぼやき餅
正解でーす
はい、解答公開
こんなの気づかないよー という方もおられるかもしれませんが、n250=x とおけば、複二次式の有名な形になります。 |
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