０と４

0,4,

0と4

0
4

a=1の場合
それぞれの1の位の数は、
a=1 aの二乗=1 aの三乗=1 aの四乗=1 となり、与式の1の位の数は4となる

同様に、1の位の数だけを提示すると、
a=2 aの二乗=4 aの三乗=8 aの四乗=6 与式=0
a=3 aの二乗=9 aの三乗=7 aの四乗=1 与式=0
a=4 aの二乗=6 aの三乗=4 aの四乗=6 与式=0
a=5 aの二乗=5 aの三乗=5 aの四乗=5 与式=0
a=6 aの二乗=6 aの三乗=6 aの四乗=6 与式=4
a=7 aの二乗=9 aの三乗=3 aの四乗=1 与式=0
a=8 aの二乗=4 aの三乗=2 aの四乗=6 与式=0
a=9 aの二乗=1 aの三乗=9 aの四乗=1 与式=0

よって、aの1の位が1か6の時のみ、与式の1の位が4となり、それ以外の場合は与式の1の位は0となる

正解は、『0と4』!

0，4

(a a^2 a^3 a^4 → 和)
0 0 0 0 → 0
1 1 1 1 → 4
2 4 8 6 → 0
3 9 7 1 → 0
4 6 4 6 → 0
5 5 5 5 → 0
6 6 6 6 → 4
7 9 3 1 → 0
8 4 2 6 → 0
9 1 9 1 → 0

0と4しか現れない。

0と4

答：0,4

a=1, a=6 のときは直接計算する。

他の場合
(a-1)(a^4+a^3+a^2+a)=a^5-a
a^5 と a の1の位は同じなので1の位は0
a-1 は5の倍数ではないので
a+a^2+a^3+a^4=5の倍数
各項の偶奇は同じなので和は偶数。よって1の位は0

a+a^2+a^3+a^4=Sとしておく
左辺の各項の偶奇は同じで、4項なので、Sは偶数である。

a=5nの場合(nは自然数)
S=5n+(5n)^2+(5n)^3+(5n)^4
=5n+25n^2+125n^3+625n^4
=5(n+5n^2+25n^3+125n^4)
Sは偶数で、5の倍数なので1の位の数は0

a=5n+1の場合(nは0以上の整数)
S=5n+1+(5n+1)^2+(5n+1)^3+(5n+1)^4
=5n+1+25n^2+10n+1+125n^3+75n^2+15n+1+625n^4+500n^3+150n^2+20n+1
=5(n+5n^2+2n+25n^3+15n^2+3n+125n^4+100n^3+30n^2+4n)+4
Sは偶数なので1の位の数は4

a=5n+2の場合(nは0以上の整数)
S=5n+2+(5n+2)^2+(5n+2)^3+(5n+2)^4
=5n+2+25n^2+20n+4+125n^3+150n^2+60n+8+625n^4+1000n^3+600n^2+160n+16
=5(n+5n^2+4n+25n^3+30n^2+12n+125n^4+200n^3+120n^2+32n+6)
Sは偶数で、5の倍数なので1の位の数は0

a=5n+3の場合(nは0以上の整数)
S=5n+3+(5n+3)^2+(5n+3)^3+(5n+3)^4
=5n+3+25n^2+30n+9+125n^3+225n^2+135n+27+625n^4+1500n^3+1350n^2+540n+81
=5(n+5n^2+6n+25n^3+45n^2+27n+125n^4+300n^3+270n^2+108n+24)
Sは偶数で、5の倍数なので1の位の数は0

a=5n+4の場合(nは0以上の整数)
S=5n+4+(5n+4)^2+(5n+4)^3+(5n+4)^4
=5n+4+25n^2+40n+16+125n^3+300n^2+240n+64+625n^4+2000n^3+240n^2+1280n+256
=5(n+5n^2+8n+25n^3+60n^2+48n+125n^4+400n^3+48n^2+256n+68)
Sは偶数で、5の倍数なので1の位の数は0

以上から、0、4

aを５で割ったときの余りが、
1のとき、与式の一の位は４
それ以外の時は、一の位は０。


因数分解するとa(a+1)(a^2 +1)となり、
必ず偶数にはなる。そして、１の位というところから、
５のmodで考えてみると、整理できそうだと当たりをつけました。

nを整数として
a=5n
a=5n+1
a=5n+2
a=5n+3
a=5n+4
であるとき、

a=5n
　→式から明らかに２と５を約数に持つので　０
a=5n+1
　与式＝(5n+1)(5n+2)(25n^2 + 10n + 2)
　５のmodで考えると、
　(5n+1)(5n+2)(25n^2 + 10n + 2)　mod 5
=(1)(2)(2) mod 5
= 4 mod 5
　→　１の位は４

a=5n+2
　与式＝(5n+2)(5n+3)(25n^2 + 20n + 5)
　５のmodで考えると、
　(5n+2)(5n+3)(25n^2 + 20n + 5) mod 5
=(2)(3)(0) mod 5
= 0 mod 5
　→　一の位は０

a=5n+3
　与式＝(5n+3)(5n+4)(25n^2 + 30n + 10)
　５のmodで考えると、
　(5n+3)(5n+4)(25n^2 + 30n + 10) mod 5
=(3)(4)(0) mod 5
= 0 mod 5
　→　一の位は０


a=5n+4
　与式＝(5n+4)(5n+5)(25n^2 + 40n + 17)
　５のmodで考えると、
　(5n+4)(5n+5)(25n^2 + 40n + 17) mod 5
=(4)(0)(3) mod 5
= 0 mod 5
　→　一の位は０

答　4　(mod(a,5)=1の場合)
　　0　(mod(a,5)=0,2,3,4）の場合)
　mod(a,5): ５の剰余系

a＋a^2＋a^3＋a^4 = a(a+1)(a^2+1)
a(a+1)の倍数であるので必ず偶数になる。

mod(a,5)=1の場合: mod(a(a+1)(a^2+1),5)=4
偶数でmod(a(a+1)(a^2+1),5)=4であるので
下一桁=４

それ以外の場合、
mod(a,5)=0 :　aが５の倍数
mod(a,5)=2or3 :　(a^2+1)が５の倍数
mod(a,5)=4:　(a+1)が５の倍数
であるので、10の倍数。下一桁=０

0,4

ヒミツ

1の位が1のとき
1,1,1,1は4であった

だから，出てくるのは
0と4だけということになる