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累乗と一の位
難易度:
★
ぼやき餅
2015/01/15 21:35
自然数aに対し、
a+a
2
+a
3
+a
4
の一の位としてあり得る数字を全て求めよ。
うん。シンプル
【
0 と 4
】
回答募集は終了しました。
▲
△
▽
▼
No.1
0と4
きたちゃ
2015/01/15 22:02
これでいいでしょうか。
説明が必要なら、書きます。
ぼやき餅
正解です
説明するほどでもない問題
▲
△
▽
▼
No.2
0,4,
人内丶厂仁寸ロソ
2015/01/15 23:00
a^2+3a+1/a
5.0
10.5
18.3
28.3
40.2
54.2
ぼやき餅
正解でーす
▲
△
▽
▼
No.3
0と4
ゆりあ
2015/01/16 00:18
ぼやき餅
正解です
▲
△
▽
▼
No.4
0
4
某
2015/01/16 09:08
計算してみて驚き
ぼやき餅
正解です
▲
△
▽
▼
No.5
a=1の場合
それぞれの1の位の数は、
a=1 aの二乗=1 aの三乗=1 aの四乗=1 となり、与式の1の位の数は4となる
同様に、1の位の数だけを提示すると、
a=2 aの二乗=4 aの三乗=8 aの四乗=6 与式=0
a=3 aの二乗=9 aの三乗=7 aの四乗=1 与式=0
a=4 aの二乗=6 aの三乗=4 aの四乗=6 与式=0
a=5 aの二乗=5 aの三乗=5 aの四乗=5 与式=0
a=6 aの二乗=6 aの三乗=6 aの四乗=6 与式=4
a=7 aの二乗=9 aの三乗=3 aの四乗=1 与式=0
a=8 aの二乗=4 aの三乗=2 aの四乗=6 与式=0
a=9 aの二乗=1 aの三乗=9 aの四乗=1 与式=0
よって、aの1の位が1か6の時のみ、与式の1の位が4となり、それ以外の場合は与式の1の位は0となる
正解は、『0と4』!
chaka
2015/01/16 09:23
で、どうでしょうか?
ぼやき餅
正解!
▲
△
▽
▼
No.6
0,4
胃
2015/01/16 18:47
とても面白い問題だと思います
ぼやき餅
正解でーす
▲
△
▽
▼
No.7
(a a^2 a^3 a^4 → 和)
0 0 0 0 → 0
1 1 1 1 → 4
2 4 8 6 → 0
3 9 7 1 → 0
4 6 4 6 → 0
5 5 5 5 → 0
6 6 6 6 → 4
7 9 3 1 → 0
8 4 2 6 → 0
9 1 9 1 → 0
0と4しか現れない。
みれい
2015/01/16 20:00
百聞は一見にしかず。
ぼやき餅
正解です
▲
△
▽
▼
No.8
0と4
たぬきおやぢ
2015/01/16 22:18
久々上陸。
おもしろい。
なぜそうなるのかは不思議。
ぼやき餅
正解です
調べてみると面白い結果になったので出題しました。
▲
△
▽
▼
No.9
答:0,4
a=1, a=6 のときは直接計算する。
他の場合
(a-1)(a^4+a^3+a^2+a)=a^5-a
a^5 と a の1の位は同じなので1の位は0
a-1 は5の倍数ではないので
a+a^2+a^3+a^4=5の倍数
各項の偶奇は同じなので和は偶数。よって1の位は0
ぴろろ
2015/01/17 04:46
結果を見てから考えた
ぼやき餅
!!確かに
▲
△
▽
▼
No.10
a+a^2+a^3+a^4=Sとしておく
左辺の各項の偶奇は同じで、4項なので、Sは偶数である。
a=5nの場合(nは自然数)
S=5n+(5n)^2+(5n)^3+(5n)^4
=5n+25n^2+125n^3+625n^4
=5(n+5n^2+25n^3+125n^4)
Sは偶数で、5の倍数なので1の位の数は0
a=5n+1の場合(nは0以上の整数)
S=5n+1+(5n+1)^2+(5n+1)^3+(5n+1)^4
=5n+1+25n^2+10n+1+125n^3+75n^2+15n+1+625n^4+500n^3+150n^2+20n+1
=5(n+5n^2+2n+25n^3+15n^2+3n+125n^4+100n^3+30n^2+4n)+4
Sは偶数なので1の位の数は4
a=5n+2の場合(nは0以上の整数)
S=5n+2+(5n+2)^2+(5n+2)^3+(5n+2)^4
=5n+2+25n^2+20n+4+125n^3+150n^2+60n+8+625n^4+1000n^3+600n^2+160n+16
=5(n+5n^2+4n+25n^3+30n^2+12n+125n^4+200n^3+120n^2+32n+6)
Sは偶数で、5の倍数なので1の位の数は0
a=5n+3の場合(nは0以上の整数)
S=5n+3+(5n+3)^2+(5n+3)^3+(5n+3)^4
=5n+3+25n^2+30n+9+125n^3+225n^2+135n+27+625n^4+1500n^3+1350n^2+540n+81
=5(n+5n^2+6n+25n^3+45n^2+27n+125n^4+300n^3+270n^2+108n+24)
Sは偶数で、5の倍数なので1の位の数は0
a=5n+4の場合(nは0以上の整数)
S=5n+4+(5n+4)^2+(5n+4)^3+(5n+4)^4
=5n+4+25n^2+40n+16+125n^3+300n^2+240n+64+625n^4+2000n^3+240n^2+1280n+256
=5(n+5n^2+8n+25n^3+60n^2+48n+125n^4+400n^3+48n^2+256n+68)
Sは偶数で、5の倍数なので1の位の数は0
以上から、0、4
PDJ
2015/01/17 16:18
書き間違いありそうですが、ご容赦を
ぼやき餅
正解でーす
▲
△
▽
▼
No.11
aを5で割ったときの余りが、
1のとき、与式の一の位は4
それ以外の時は、一の位は0。
因数分解するとa(a+1)(a^2 +1)となり、
必ず偶数にはなる。そして、1の位というところから、
5のmodで考えてみると、整理できそうだと当たりをつけました。
nを整数として
a=5n
a=5n+1
a=5n+2
a=5n+3
a=5n+4
であるとき、
a=5n
→式から明らかに2と5を約数に持つので 0
a=5n+1
与式=(5n+1)(5n+2)(25n^2 + 10n + 2)
5のmodで考えると、
(5n+1)(5n+2)(25n^2 + 10n + 2) mod 5
=(1)(2)(2) mod 5
= 4 mod 5
→ 1の位は4
a=5n+2
与式=(5n+2)(5n+3)(25n^2 + 20n + 5)
5のmodで考えると、
(5n+2)(5n+3)(25n^2 + 20n + 5) mod 5
=(2)(3)(0) mod 5
= 0 mod 5
→ 一の位は0
a=5n+3
与式=(5n+3)(5n+4)(25n^2 + 30n + 10)
5のmodで考えると、
(5n+3)(5n+4)(25n^2 + 30n + 10) mod 5
=(3)(4)(0) mod 5
= 0 mod 5
→ 一の位は0
a=5n+4
与式=(5n+4)(5n+5)(25n^2 + 40n + 17)
5のmodで考えると、
(5n+4)(5n+5)(25n^2 + 40n + 17) mod 5
=(4)(0)(3) mod 5
= 0 mod 5
→ 一の位は0
Yss
2015/01/17 17:53
最初は、色々あって限定できないんじゃないか、と思いましたが・・・
ぼやき餅
正解です
PDJさんと同様の解法です。
▲
△
▽
▼
No.12
答 4 (mod(a,5)=1の場合)
0 (mod(a,5)=0,2,3,4)の場合)
mod(a,5): 5の剰余系
a+a^2+a^3+a^4 = a(a+1)(a^2+1)
a(a+1)の倍数であるので必ず偶数になる。
mod(a,5)=1の場合: mod(a(a+1)(a^2+1),5)=4
偶数でmod(a(a+1)(a^2+1),5)=4であるので
下一桁=4
それ以外の場合、
mod(a,5)=0 : aが5の倍数
mod(a,5)=2or3 : (a^2+1)が5の倍数
mod(a,5)=4: (a+1)が5の倍数
であるので、10の倍数。下一桁=0
たっくん4
2015/01/17 18:26
ぼやき餅
正解です
この解法の方がスッキリして良いな
▲
△
▽
▼
No.13
0,4
sqrt-1
2015/01/18 10:25
ぼやき餅
正解です
▲
△
▽
▼
No.14
ヒミツ
G_Beta
2015/01/20 20:05
特異点が思っても見ない数値にでてくるものだな
ぼやき餅
ケアレスミスしています!
▲
△
▽
▼
No.15
1の位が1のとき
1,1,1,1は4であった
だから,出てくるのは
0と4だけということになる
G_Beta
2015/01/24 13:33
痛いょ・・・.
ぼやき餅
正解です
▲
△
▽
▼
No.16
ぼやき餅
2015/01/30 15:13
そろそろ解答公開でも
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△
▽
▼
No.17
ぼやき餅
2015/01/31 21:45
はい、解答公開
私は直接書き出して計算しましたが、一部の回答者様の
5で割った時の余りで考える、という解法もカッコ良いですね
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▼
No.18
ぼやき餅
2015/02/03 17:00
そろそろロックしまーす
このクイズのヒント
ヒント知らないよ
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sqrt-1
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