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数列型破り

難易度：★★★★ 　

ぼやき餅 2014/12/22 21:10

問　以下の数列の第k項を求めよ。(kの式で表して下さい。)
※一部、反則スレスレのものもあります。
(1)　　9　　99　　999　　9999　　99999 ･･･
(2)　　1　　11　　111　　1111　　11111　　111111 ･･･
(3)　　1　　3　　6　　10　　15　　21 ･･･
(4)　　6　　3　　2　　3　　6　　11　　18　　27 ･･･
(5)　　3　　3.1　　3.14　　3.141　　3.1415　　3.14159 ･･･
(6)　　15　　0　　3　　0　　3　　0　　15　　48 ･･･
(7)　　1　　1　　1　　2　　2　　2　　2　　2 ･･･
(8)　　0　　3010　　4771　　6021　　6990　　7782 ･･･
(9)　　√3　　－√3　　0　　√3　　－√3　　0　　√3 ･･･
(10)　　－1　　－1　　2　　－1　　－1　　2　　－1 ･･･

回答募集期間は長めにします。
全部答える猛者は現れるのか!?(無茶ぶり (^^;)

)
必要に応じてヒントも出します。




	【(1) 10^k－1 (2) 10^k－1／9 (初項1・公比10の等比数列の和) (3) 1／2×k(k＋1) (1からkまでの自然数の和) (4) (k－3)^2＋2 (5) [10^(k－1)π]／10^(k－1)　([]←ガウス記号) (6) \|(k－2)(k－4)(k－6)\|　(\|←絶対値記号) (7) [√k] (8) [10000×log10・k] (kを真数とした常用対数) (9) tan(kπ／3)　(弧度法で表してます) (10) {(－1＋√3i)／2}^k＋{(－1－√3i)／2}^k　(iは虚数単位)】

回答募集は終了しました。

▲ △ ▽ ▼ No.1

(1)　　10^k-1 (2)　　(10^k-1)/9 (3)　　k(k+1)/2 (4) (k-3)^2 + 2 (5)　　int(π*10^(k-1)) / 10^(k-1) (7)　　int( √k ) (9)　　 2*sin(60*k度) (10)　　2*cos(60*k度)　 ラジアン表記をするなら当然kπ/3 です

たっくん４ 2014/12/22 22:43

とりあえず一本の式で綺麗に表せるものを８個 (^_^)

↑しまったケアレスミス。下にもう一回アップします。

ぼやき餅 (9)は別解と言えば別解ですが、本解も同じようなものなので正解ということに。
(10)は別解です。(というかコッチの方が簡単じゃん (・o・∥)

)
それ以外は正解です (^^)

▲ △ ▽ ▼ No.2

(1)　10^n－1
(2)　(10^n－1)/9
(3)　n(n+1)/2
(4)　n^2－6n＋11
(5)　[10^(n-1)π]/10^(n-1)

(7)　[n/6＋4/3]
(8)　[10000log(n)]/10000　（省略したが、底は10）
(9)　2sin(2πn/3)
(10) 2cos(2πn/3)

(7)は、出題の項数では意図している規則性がわかりませんでしたが、
これでも8項までなら、出題と同じ数列になります。

ゆりあ 2014/12/22 22:45

(6)だけわからず。(7)はとりあえず。

ぼやき餅 (7)は別解です。項が少ないから分かりにくかったか (~。~)

(9)･(10)はたっくん4さんと同様。
(8)、なぜ10000で割っているのか (^^;)

それ以外は正解です

▲ △ ▽ ▼ No.3

ヒミツ

たっくん４ 2014/12/22 23:20

ゆりあさん同様(6)がわからないので、(6)以外にまじめな一本式で回答 (^_^)

オマケで、(6)もｋの登場回数５回、実質３種の場合わけというすごくみっともない式を書いてみました。こういうのでよければ数列問題は何でもありになってしまいますが (^^;)

ぼやき餅 (6)は割と分かりやすい形にしたつもりでしたが･･･ (^^;)

(実は「round」「INT」「ABS」の意味が分かっていません。解説お願いします (-_-;)

)

▲ △ ▽ ▼ No.4

(1+COS(-k*π/2))
* abs(k-4)
* (abs(k-4)+2)

たっくん４ 2014/12/22 23:31

(6)はこれならまだだいぶきれいかな (＞o＜)

　ｋの登場回数３回。

ぼやき餅これはすごい (○。○)

▲ △ ▽ ▼ No.5

(1)10^k-1
(2)(10^k-1)/9
(3)k(k+1)/2
(4)(k-3)^2+2
(5)[π*10^(k-1)]/10^(k-1)
(6)|(k-2)(k-4)(k-6)|
(7)[√k]
(8)[1000log(k)]
(9)2sin(120k)
(10)2-(2sin(120k))^2

ぴろろ 2014/12/23 03:55

適当にやってみた

ぼやき餅 (1)～(7)、正解です (＞o＜)

(9)ほとんど正解です。(正解に限りなく近い別解)
(10)は別解です。今のところその路線で考える人がほとんど(というか全員)ですが･･･
(8)はケアレスミス (^^;)

▲ △ ▽ ▼ No.6

答：　SekainoNabeAtsu(k)*3-1　

ヘルプ　SekainoNabeAtsu(k)：
k の整数部分が、３がつくか３の倍数なら１、それ以外なら０を返す関数。

たっくん４ 2014/12/23 12:36

＞３
　「ABS」は絶対値記号です。
　「INT」は整数値だけをとる（小数点以下を切り捨てる）
「round(k,m)」はkを小数点以下m桁目で四捨五入。
これは「INT」で代用することが可能です。　例　int(k*10^ｍ+0.5)/10^m
プログラミング言語なので、
abs(k)は｜k｜ですから当然使用可能として、int はどうでしょうか？
もし駄目だといわれれば別に考えます。

(10)は、↑こんなのはどうでしょう↑　（数学系にあるまじきナス狙い）

ぼやき餅これは・・・ (^o^)

なるほど、プログラミング言語でしたか。
もちろんオッケーです (^^)

▲ △ ▽ ▼ No.7

10^n-1
(10^n-1)/9
n(n+1)/2
n^2-6n+11
[π×10^(n-1)]/10^(n-1)
|n-6||n-4||n-2|
[√n]
-[-[2×10^4log n]/2]

I.T 2014/12/23 13:41

とりあえず1～8まで強引に

ぼやき餅はい、正解です (^^)

(若干書き方が違う箇所もありますが)

▲ △ ▽ ▼ No.8

-√3(n-3[n/3])(3n-9[n/3]-5)/2
-1+3(n-3[n/3]-1)(n-3[n/3]-2)/2

I.T 2014/12/23 13:59

9,10はさらに強引に

ぼやき餅すごい・・・ (^^;)

▲ △ ▽ ▼ No.9

1.
10＾k - 1
2.
(10＾k - 1)/9
3.
Σ[i=1,k]i
但し、Σは総和記号を示し、直後の[]はその和を取る範囲を示す
5.
Pi(x)を、円周率の小数点以下第x-1位(0位の場合、小数部がないものとする)までとり、それ以下を切り捨てた値を返す関数として定義するとき
Pi(k)
9.
Im(2e^(i2πk/3))
10.
Re(2e^(i2πk/3))

某 2014/12/23 15:55

思いつくとこだけ

ぼやき餅 (1)から(3)まで正解 (^^)

それ以外は別解です。

▲ △ ▽ ▼ No.10

[x]はガウス記号、|x|は絶対値記号、
round(x)は小数第1位を四捨五入、log(x)は常用対数とする。
(1) 10^k－1
(2) (10^k－1)/9
(3) k(k＋1)/2
(4) k^2－6k＋11
(5) [π・10^(k－1)]/10^(k－1)
(6) |(k－2)(k－4)(k－6)|
(7) [√k]
(8) round(10000log(k))
(9) 2sin(2πk/3)
(10) 2cos(2πk/3)

matcher 2014/12/25 01:11

(6)に悩まされましたが、これですっきりしているはず。 (^_^)

ぼやき餅 (1)～(9)正解です (^^)

(10)は別解です。

▲ △ ▽ ▼ No.11

ぼやき餅 2014/12/25 18:07

(10)は全員別解… (^^;)

(まあ当然か)
本解のヒントをだしましょうかねぇ。

▲ △ ▽ ▼ No.12

π:円周率
ω:1ではない1の三乗根の一つ
[x]:[x]≦x＜[x]+1を満たす整数
logは常用対数

(1) 10^k-1
(2) (10^k-1)/9
(3) k(k+1)/2
(4) k^2-6k+11
(5) [π*10^(k-1)]/10^(k-1)
(7) [√k]
(8) [10000*logk]
(9) 2sin(2πk/3)
(10) ω^k+ω^2k

りんじん 2014/12/27 09:21

(6)以外を

ぼやき餅おお！(10)も遂に本解が！ (○。○)

正解です

▲ △ ▽ ▼ No.13

ぼやき餅 2014/12/27 11:59

ヒントと言うには頼りないヒント
(6) 第2項、4項、6項が0だから･･･？ ※絶対値記号を使います。
(10) x^k＋y^k の形になります。(ただし、x、y は虚数です)
　　3項毎に出てくる「2」に着目。

▲ △ ▽ ▼ No.14

4.
11-7k+2Σ[i=1,k]i

6.
abs(k-2)*abs(k-4)*abs(k-6)
※absは引数の絶対値を返す関数とする

10.(本解狙い)
{(-1+√3i)/2}^k＋{(-1-√3i)/2}^k

某 2014/12/27 12:54

これで残りは7と8
7は群数列っぽいが

ぼやき餅 3つとも本解と一致しています (^^)

(4)は若干書き方が異なりますが。

▲ △ ▽ ▼ No.15

7.
直接式で表す方法は思いつかないが、値を求めるアルゴリズムはあるのがもどかしい。

1：n=1を定義
2：kから(2n+1)を引く
3：kが正かそうでないか判定
4：正でないならば、第k項はn(終了)
5：正ならばnの値を1増加
6：2に戻る

9.(本解狙いでさっき書き忘れたの)
{(1+√3i)/2}^k-{(1-√3i)/2}^k

某 2014/12/27 13:16

9書き忘れたのでもういっちょ。
だが、7に関する記述の方が長い (^^;)

ぼやき餅 (7)　実は意外に単純だったり (^^)

(9)　k=1の時、ルート3i...?

ちなみに(9)で虚数単位は使いません。(本解では)

▲ △ ▽ ▼ No.16

|x|:xの絶対値
π:円周率

(6) |(k-2)(k-4)(k-6)|
(10) 2cos(2πk/3)

りんじん 2014/12/27 14:05

ヒントで閃いた(6)を
あと実は(10)は先にこっちが思いついた

ぼやき餅 (6)正解です (^^)

(10)は別解です。回答者の皆さんは先にそれを思いつくみたいです (^^;)

▲ △ ▽ ▼ No.17

ω^k+ω^-k

ぴろろ 2014/12/27 23:53

10はこれが作意か

↓ω'=1/ω なので実質同じ式です

ぼやき餅具体値を代入したら合ってるので別解 (^_-)

本解とは多少書き方が異なります。

▲ △ ▽ ▼ No.18

（１）10^n -1 （２）(10^n -1)/9 （３）n*(n+1)/2 （４）n^2 -6n +11 （５）（記号　[x]を実数xを超えない最大の整数を表すガウス記号として） [π*10^(n-1)]/(10^(n-1))

Yss 2014/12/29 15:31

（１）から（５）までまず答えてみました。
（２）をまじめに計算して答えを出してから、
（１）を見てあっそうか、って思った(^^ゞ

（追記）解答をkではなくnで書いていましたm(._.)m

ぼやき餅正解です (^^)

▲ △ ▽ ▼ No.19

どちらが本解か分かりませんが、
（１０）
2cos(2πn/3)と、三角関数で表すか、
あるいは、意味的にかなり近い、複素数を使って
※複素数の極座標表示(r,θ)を使えば、
　r=1, θ=2π/3　の複素数は、
　-1/2 +(√3 i)/2　となるので、
以下のようにも表すことが出来る。
Re( 2*((-1+√3i)/2)^n ) )
※但し　Re(x)は複素数xの実数部分を表す

Yss 2014/12/29 15:57

（１０）の本解と別解というのは、こういうことかな？

ぼやき餅前半が別解、後半が本解です (^^)

▲ △ ▽ ▼ No.20

（７）ceiling(sqrt(n+1)-1)
但し、ceiling(x)はx以上の最少の整数、sqrtはルートですが根号に入る範囲を明示するために関数的に表示しました。
個人的には数字が切り替わる変わり目をxの式で表し、逆関数を求めるようにして、nの式を導く、その過程が面白かったです。

（９）
途中のコメントを拝見すると、
（１０）とは逆でこれが本解？
2cos(2nπ/3)
で、別解が、
Im((-1/2 + √3i /2)^n)*2
※但しIm(x)は複素数xの虚数部分（虚数単位iは除いたもの）とします。

Yss 2014/12/30 10:48

（７）と（９）を答えてみました。
（９）は考えてみると（１０）と双子の問題ですよね？
あとは（６）と（８）かー。（６）は丁寧にやればできそう・・・
（８）は皆目見当がつかなくて・・・orz

ぼやき餅 (9)正解です (^^)