取り急ぎ最初の５分間で問１２３。
４は５分考えましたが漸化式ができた段階。これってどうやって解くんだったかな。
入試なら問４には漸化式を書き込んで「以下これを解く」としておいて、
とりあえず他の問題を読みに行くのが正しい戦略ですので、いったん休憩

�Dは携帯だと打ちにくいので概要だけ
ただこれだと展開不可能なんですよね

これ、pとqをひっくり返したら（q：p＝x：y）、
すごいきれいな一般解が得られるんですね 　
　　（想像するだにどこかの大学入試で既出だろうと思います）
感動したのでそっちから先にあげておきます。　
　　←とっとと本解を答えんかい！

問３の出しなおしと問４です。
問４の形の漸化式を解いたのは大学入試以来。（３０年以上昔）
相当サビついていて驚くほど時間が掛かりました･･･
問５　(x, 3)については漸化式としては書けているのですが、これは私には到底解けません。ギブアップします

問1.　x＋y−2　秒後
問2.　2^t　通り
問3.　
　(1,1)→(2,1) の移動確率は 1/2
　(k-1,1)→(k,1) の移動確率は 1/k
　よって(x,1)に移動する確率は (1/2)×(1/3)×・・・(1/x) ＝ 1/x!
問4.　
kは自然数（1≦k≦x）とし、(k,1)→(k,2)の移動があった場合の(x,2)への移動確率は
　　｛1/k!｝×(k/k+1)×｛2/(k+2)×2/(k+3)×･･･×2/(x+1)｝
　＝2^x-kk/(x+1)!

よって求める確率は Σ[k=1→x] 2^x-kk/(x+1)! である
ここで、S＝Σ[k=1→x] 2^x-kk とおくと

　　　　　2S＝2^x×1＋2^x-1×2＋･･･＋2²(x-1)＋2x
　 　−）　S＝　　　 　2^x-1×1＋2^x-2×2＋･･･＋2(x-1)＋x
----------------------------------------------------------------------
　　　　　 S＝2^x＋2^x-1＋･･･＋2　−x
　　　　　　 ＝2×(2^x−1)−x

以上より、求める確率は (2^x+1−x−2)/(x+1)!

問5.
m,nは自然数（1≦m≦n≦x）とし、(m,1)→(m,2)かつ(n,2)→(n,3)の移動があった場合の(x,3)への移動確率は、問4と同様に考えて
　　｛1/m!｝×(m/m+1)×｛2/(m+2)×･･･×2/(n+1)｝×(n/n+2)×｛3/(n+3)×･･･×3/(x+2)｝
　＝2^n-m3^x-nmn/(x+2)!

よって求める確率は、Σ[1≦m≦n≦x; m,n∈N] 2^n-m3^x-nmn/(x+2)!

ごりおしで、(x,3)への移動確率は
(5/2)×3^x+2＋9/2−x×2^x+2−x²−14x−27
―――――――――――――――――――――
　　　　　　　　　　　(x+2)!

計算ミスしてたらごめんなサイバイマン


同様の考え方で、(x,y)への移動確率は　｛ΣΠ k_s(s＋1)^k_s+1−k_s｝/(x+y-1)!
Σは [1≦k₁≦･･･≦k_y-1≦x; k₁,･･･,k_y-1∈N]
Πは [s＝1→y-1] ただしk_y＝x

展開できるかどうかは、知りません

どのような計算をされたかわかりませんが、(x,3)への移動確率はそのような答えにはなりません。
試しにx=1を入れたらいきなり分子が分母を上回るので驚きました。それでなくとも定数項の整理くらいはしておいてほしかったです。

そこの答えは、同じ書き方をするなら
3^x+2-(x+3)2^x+2+(1/2)x²+(5/2)x+3
――――――――――――――――――
　　　　　　　　　(x+2)!
です。いくつか値を入れて確かめたので合っているはずです。